1. паралллельность прямых и плоскостей — копия

1. Аксиомы

Параллельность прямых и
плоскостей в пространстве
Аксиомы
В
А
Сα
α
А
С
β
a
Следствия
α
в
а
●М
а
М
α
α

2. ВЕРНЁМСЯ В ПРОСТРАНСТВО

Каково может быть взаимное расположение
прямых в пространстве?
B1
C1
D1
А1
B
А
C
D
AB
CD
B1C
C1C
AD1
A1D
BC
AA1
B 1 C A 1D

3. Параллельные прямые в пространстве

Случаи взаимного расположения
прямых в пространстве
прямые пересекаются
прямые не пересекаются
прямые
параллельны
прямые
скрещиваются

4.

Определение:
Две прямые в пространстве называются параллельными
если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Параллельность прямых a и b обозначается так: a||b
d
На рисунке прямые
a и b параллельны,
а прямые a и c, a и d
не параллельны.
b
a
c
α

5.

Теорема:
Через любую точку пространства,
не лежащую на данной прямой,
проходит прямая, параллельная
данной, и притом только одна.

6.

Два отрезка называются параллельными,
если они лежат на параллельных прямых.
Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, а
также параллельность двух лучей.
На рисунке отрезки CD
и EF параллельны
(CD||EF), а отрезки AB
и CD не параллельны,
отрезок AB параллелен
прямой а (AB||a).
E
D
C
В а
А
F

7.

Параллельность трёх прямых
Лемма:
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную
плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
? Прямые a и b параллельны,
а пересекает плоскость в точке
М. Докажите, что прямая b также
пересекает плоскость, т.е. имеет
с ней только одну общую точку. α
b
a
M

8.

Теорема:
Если две прямые параллельны
третьей, то они параллельны.
с
b
a
α

9. Задача

Дано: М – середина BD
N – середина CD
Q – середина АС
P – середина АВ
АD = 12 см; ВС = 14 см
Найти: PMNQP .
Задача
D
M
B
N
Р
A
Q
C

10. Задача

Дано: С АВ; А α;ВВ1 || СС1
ВВ1 ∩ α = В1; В1 α;
СС1 ∩ α = С1; С1 € α;
АС : СВ = 3 : 2;
ВВ1 = 20 см.
Найт и: СС1
С
3
α
А
2
В
В1
С1

11. Способы задания плоскости

А1
Т1
●А
Т2
●В
●С
а
α
b
а
α
●М
α
а
b
О
α

12. Скрещивающиеся прямые

Две прямые называются скрещивающимися,
если они не лежат в одной плоскости
b
а

13. Теорема:

Если одна из двух прямых лежит в
некоторой плоскости, а другая прямая
пересекает эту плоскость в точке, не
лежащей на первой прямой, то эти прямые
скрещивающиеся.
В
А
α
Допустим, что прямые
АВ и СD лежат в
некоторой плоскости β.

14.

Параллельность прямой и
плоскости
Случаи взаимного расположения
прямой и плоскости в пространстве
прямая лежит
в плоскости
В
А
α
прямая и
плоскость не
имеют ни одной
общей точки
прямая и плоскость
пересекаются (имеют
одну общую точку)
а
а
М
α
α

15.

Определение:
Прямая и плоскость называются параллельными,
если они не имеют общих точек.
Теорема:
Если прямая, не лежащая в данной
плоскости, параллельна какой-нибудь
прямой, лежащей в этой плоскости, то
она параллельна данной плоскости.

16.

Признак параллельности прямой и
плоскости.
а
а1
α
а
а || а1 а || α
а1

17. На модели куба укажите плоскости, параллельные прямой DC. Как установить параллельность прямой и плоскости?

B1
DC || (AA1B1)
DC || (A1B1C1)
C1
A1
D1
B
C
A
D

18. На модели куба укажите плоскости, параллельные прямой DD1. Как установить параллельность прямой и плоскости?

B1
DD1 || (AA1B1)
C1
A1
D1
DD1 || (B1C1C)
B
C
A
D

19.

Если плоскость проходит через
данную прямую, параллельную
другой плоскости, и пересекает
эту плоскость , то линия
пересечения плоскостей
параллельна данной прямой.
а
b
α
β

20.

а
с
b
Если одна из двух
параллельных
прямых параллельна
данной плоскости, то
другая прямая либо
также параллельна
данной плоскости,
либо лежит в этой
плоскости.

21.

•С
Е
α
А
Р
РЕ ║ α
•В

22.

Отрезок АВ не пересекает плоскость α. Через середину отрезка С
и концы отрезка А и В проведены прямые, параллельные между
собой и пересекающие плоскость α в точках А1 , В1 и С1.
Вычислить длину отрезка СС1, если АА1= 5, ВВ1= 7.
А
А1
С
С1
В
В1
α

23.

Точка М лежит на отрезке АВ. Отрезок АВ пересекает плоскость α
в точке В. Через А и В проведены параллельные прямые,
пересекающие α в точках А1 и М1.
а) Докажите, что А1, М1 и В
лежат на одной прямой.
б) Найдите длину отрезка
АВ, если АА1 : ММ1 = 3 : 2,
А
АМ = 6.
М
В
α
М1
А1

24.

Дан треугольник МКР. Плоскость, параллельная прямой
МК, пересекает МР в точке М1, РК – в точке К1. Найдите
М1К1, если МР : М1Р = 12 : 5, МК = 18 см.
Р
М1
К1
α
М
К