Девятая Всероссийская командная олимпиада школьников по программированию

1. Девятая Всероссийская командная олимпиада школьников по программированию

Разбор задач
23 ноября 2008 года
Санкт-Петербург

2. A. Место у прохода, пожалуйста

Автор задачи – Андрей Станкевич
Условие – Андрей Станкевич
Подготовка тестов – Владимир Ульянцев
Разбор – Владимир Ульянцев

3. Обозначения

n – количество кресел
l – длина салона
w – ширина салона
x – длина кресла
y – ширина кресла
a – ширина прохода

4. Расположение кресел по длине

Максимальное количество кресел в
ряду rowSize = l / x
Случай rowSize = 0

5. Расположение кресел по ширине

Необходимое количество рядов
rows = (n + rowSize - 1) / rowSize
Допустимое количество проходов
aisles = (w - rows * y) / a
Условие на количество проходов

6. Ответ на задачу

Расположение проходов после
нечетных рядов
2 * aisles * rowSize – максимальное
количество кресел, которое можно
поставить у прохода
Ответ - min(n, 2 * aisles * rowSize)

7. B. Мост

Автор задачи – Андрей Станкевич
Условие – Андрей Станкевич
Подготовка тестов – Антон Феськов
Разбор – Антон Феськов

8. Река

Берега реки –
ломаные, бесконечные
в обе стороны
Требуется построить
мост через реку
минимальной длины

9. Мост

Если ответ – L, то всегда
существует мост длины L,
построенный через вершину
ломаной, образующей один из
берегов реки
Достаточно для каждой
вершины каждой ломаной
проверить расстояние до
каждого отрезка и луча второй
ломаной

10. Расстояние от точки до отрезка

Найдем расстояние от
точки C до отрезка AB
Если
a c b
2 2
2
b c a
2
2
2
то расстояние до отрезка есть расстояние до
прямой, содержащей этот отрезок
Иначе это min(a, b)

11. C. Почти беспрефиксные коды

Автор задачи – Антон Феськов
Условие – Андрей Станкевич
Подготовка тестов – Сергей Поромов
Разбор – Сергей Поромов

12. Определение

Почти беспрефиксный код уровня k –
набор слов, у которых наибольший
общий префикс имеет длину не более k

13. Решение с сортировкой

Отсортируем
все
строки
в
лексикографическом порядке
Будем добавлять в искомый набор
слово, если его общий префикс с
предыдущим не превышает по длине k

14. Решение бором

Добавим все слова в бор
Будем
выводить
всевозможными
способами префиксы длины (k+1),
далее только одно их продолжение
Требует много памяти

15. Пример бора

Для строк: aaa, aab, ac, ba, bb, ca

16. Решение хешами

Вычислим значения хеш-функции для
префиксов длины (k+1) всех строк
Отсортируем значения хеш-функции
Для каждого значения хеш-функции
выведем одного представителя

17. D. Обход в глубину

Автор задачи – Елена Андреева, Виктор
Матюхин
Условие – Андрей Станкевич
Подготовка тестов – Олег Давыдов
Разбор – Антон Феськов

18. Исходный код

Если функция dfs вызвана для вершины
u, то среди программа находит
минимальную по номеру непосещенную
вершину v, такую что в графе есть ребро
(u, v) и вызывает dfs(v)

19. Будем называть:

Непосещенные
вершины – белыми
Полностью
обработанные
вершины – черными
Те вершины, которые
находятся в стеке
вызовов (остальные) –
серыми

20. Если мы в вершине v:

В черные вершины нет
дополнительных ребер
Ребро (u, v) можно
добавить только если
w<v
Рассмотрены все пары
вершин

21. E. Драгоценные камни

Автор задачи – Федор Царев
Условие – Федор Царев
Подготовка тестов – Антон Феськов
Разбор – Антон Феськов

22. Какие пары считать?

Строка S
Определены упорядоченные пары типов
камней: (a1, b1), (a2, b2), . . . , (ak, bk)
Найти количество пар индексов (i, j)
таких что 1 ≤ i < j ≤ n и существует такое
число q (1 ≤ q ≤ k), что Si = aq и Sj = bq

23. Как решать?

Представим пары таблицей логического типа
M[a,b] = true если пара (a, b) красивая и false
иначе
Прибавляем по символу в конец текущей
строки. Храним количество символов каждого
типа в текущей строке (cnt[c])
Пересчет: для j-го символа:
for c = ‘a’ .. ‘z’
if (M[c, Sj]) then inc(result, cnt[c]);

24. F. Интересные числа

Автор задачи – Федор Царев
Условие – Федор Царев
Подготовка тестов – Сергей Поромов
Разбор – Федор Царев

25. Какие числа интересны?

Число x является интересным, если
максимальная степень k, на которое x
делится, нечетна
110002 = 2410 делится на 8=23, но не
делится на 16=24

26. Легко найти

Количество
интересных чисел,
не превышающих
некоторое число y
Принцип включенияисключения
f ( y)
y
c ( m) m
k
km y
( 1)
m 1
m 1
c(m)

27. Двоичный поиск

Необходимо найти минимальное y, что
f(y)=n
Инвариант f(hi) ≥ n, f(low) < n
while (low + 1 < hi) {
long middle = (low + hi) / 2;
if (calc(middle, k) >= n) {
hi = middle;
} else {
low = middle;
}
}
out.println(hi);

28. Альтернативный подход

Строим число, подбирая цифры со старших
разрядов
f(L) – количество чисел длины L, в которых
первая и последняя цифры – не нули
f ( L) (k 1) k
2
L 2

29. Альтернативный подход

Определим длину искомого числа
Количество интересных чисел заданной
длины g(L)
При восстановлении важно хранить позицию
последней ненулевой цифры
g ( L)
2 l 1 L
f ( L 2l 1)
l 0

30. G. Оптимизация

Автор задачи – Сергей Копелиович
Условие – Роман Сатюков
Подготовка тестов – Роман Сатюков
Разбор – Роман Сатюков

31. Обозначения

M – число частей проекта
mi – время выполнения i-ой части
проекта
pi
– номер работника, которому
назначена i-ая часть проекта
wi – время выполнения всех работ,
назначенных
работнику
номер
pi
(i=1..M).

32. Критерий оптимизирующей операции

Каждую
операцию
можно
задать
номерами частей проекта, которые
меняются местами – (i, j).
Пара (i, j) – оптимизирующая, если и
только если выполняются условия:
mi m j
w
m
w
m
i
i
j
j

33. Сведение к задаче о количестве инверсий в последовательности

Отсортируем части проекта в порядке
возрастания величины mi.
Пусть pi = –(wi – mi).
Тогда
надо
найти
количество
инверсий в полученном массиве p.
Эта задача решается за O(MlogM).

34. H. Шкафы

Автор задачи – Владимир Гуровиц
Условие – Андрей Станкевич
Подготовка тестов – Федор Царев
Разбор – Федор Царев

35. Динамическое программирование

f(h) – максимальное число полок,
находящихся не выше высоты h, которые
можно открыть
Интересных высот мало – рассматривать
высоты внутри полок нет смысла
f (h) max( f (h a) 1, f (h b) 1, f (h 1))

36. Жадный алгоритм

Из двух самых нижних полок разумно
выдвинуть ту, которая ниже
Дальше – аналогично

37. I. Архимедова спираль

Автор задачи – Владимир Ульянцев
Условие – Федор Царев
Подготовка тестов – Владимир Ульянцев
Разбор – Роман Сатюков

38. Уравнения движения

α(t) = ω∙t
ρ(t) = R + V∙t
x(t)= ρ(t) ∙ cos(α(t))
y(t)= ρ(t) ∙ sin(α(t))
x(t)= (R + V∙t) ∙ cos(ω∙t)
y(t)= (R + V∙t) ∙ sin(ω∙t)
Найти минимум и максимум каждой функции
при 0 ≤ t ≤ T

39. Преобразование уравнений

Несложными преобразованиями задача
сводится к задаче поиска максимума
функции
f (t ) (a t ) cos(t )
при условии
t [tmin ; tmax ]
Замечание:
tmax – tmin<2
можно
считать
что

40. График f(t) при a=2

41. Варианты решения

1. Для поиска максимума выпуклой
функции можно применить тернарный
поиск.
2. Максимумы функции находятся в
корнях
ее
производной.
Корни
производной можно найти с помощью
двоичного поиска.

42. Варианты решения

3. Перебрать все t из диапазона [tmin;tmax]
с некоторым шагом ε и найти значение
t1 с наибольшим значением f(t1). После
этого перебрать все t в некоторой
окрестности t1 с некоторым шагом ε2
(уточнить найденное t1).

43. Тернарный поиск

Задача: Дана функция f(t), выпуклая
вверх на отрезке [a, b]. Требуется найти
её максимум.
Инвариант:
максимум
функции
достигается где-то на отрезке [a, b]
Разделим отрезок на три равные части:
[a, x1], [x1, x2], [x2, b].

44. Тернарный поиск

Возможны два случая:
≤ f(x2)
f(x1) > f(x2)
f(x1)
В первом случае максимум не может
достигаться на отрезке [a, x1]. Переходим к
отрезку [x1, b].
Во втором случае максимум не может
достигаться на отрезке [x2, b]. Переходим к
отрезку [a, x2].
Длина отрезка [a, b] каждый раз уменьшается
в полтора раза.

45. Тернарный поиск: Код

while (a + ε < b) {
double x1 = (2·a + b) / 3;
double x2 = (a + 2·b) / 3;
if (f(x1) ≤ f(x2))
a = x1;
else
b = x2;
}

46. J. Сумма

Автор задачи – Роман Сатюков
Условие – Роман Сатюков
Подготовка тестов – Роман Сатюков
Разбор – Роман Сатюков

47.

Представим числа A, B и C в следующем
виде:
A 10 A
a
B 10 B
b
C 10 C
c
Числа A’, B’ и C’ не делятся на 10
Утверждение: Задача для чисел A, B, C
имеет решение задача для чисел A’, B’, C’
имеет решение

48.

Найдем натуральные x, y и z, такие что:
A 10 B 10 C 10
x
y
z
Тогда исходная задача имеет решение:
b c x
A 10
B 10
a c y
C 10
a b z

49. Случай когда A,B,C не делятся на 10

A 10 B 10 C 10
n
m
k
Можно считать, что не более двух чисел из
n, m, k больше нуля (если нет – уменьшим
n, m и k на единицу).
Утверждение: Максимум одно из чисел из
n, m, k больше нуля.
Получается три случая: n=m=0, n=k=0 и
m=k=0.

50.

Случай n=m=0:
Получается
уравнение A+B=C·10k.
Поскольку числа A, B и C заданы в
десятичной системе исчисления, то найти
такое
k
можно
за
время,
пропорциональное числу цифр в числах A,
B, C.
Случай n=k=0:
Получается
уравнение A+B·10m=C, которое
преобразуется к уравнению C–A=B·10m.
Это уравнение аналогично уравнению,
полученному в случае n=m=0.
Случай m=k=0: Аналогично
предыдущему случаю.

51. Спасибо за внимание! Вопросы?