Сложение колебаний Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

1. Сложение колебаний

2.

Сложение гармонических колебаний одного
направления и одинаковой частоты:
х1 = А1 cos ( t + 1), х2 = А2 cos ( t + 2).
Результирующее колебание х = х1 + х2 должно
быть гармоническим колебанием той же
частоты , что и складываемые колебания, то
есть х = А cos ( t + ). Задача заключается в
нахождении амплитуды А и начальной фазы
результирующего колебания.

3.

Сложение гармонических колебаний проведём на
векторной диаграмме.

4.

Результирующий вектор, определяемый по
правилу параллелограмма, будет изображать
результирующее колебание х = х1 + х2.
Амплитуду А результирующего колебания
определим из векторной диаграммы по теореме
косинусов:
и начальную фазу из

5.

Амплитуда результирующего колебания
получается наибольшей (А = Амакс) при их
синфазности, т. е. при разности фаз кратной
чётному числу :
Амакс = А1 + А2 при 2 - 1 = 2m ;

6.

При разности фаз складываемых колебаний
кратной нечётному числу они оказываются в
противофазе, и амплитуда результирующего
колебания получается минимальной.
Амин = А1 - А2 при 2 - 1 = (2m + 1) ; m = 0, 1, 2, …

7.

При равенстве амплитуд А1 = A2 складываемых
колебаний амплитуда результирующего
колебания становится равной нулю.
Противофазные колебания с равными
амплитудами полностью погашают друг друга.

8.

БИЕНИЯ
х1 = А1cos ( t + 1)
х2 = А1cos ( + )t + 2)], где .
Результирующий вектор с амплитудой А = А1 + A2
будет при этом пульсировать по величине (по
модулю) и вращаться с переменной скоростью.

9.

В результате сложения этих двух колебаний получаем
х = Аcos t + Аcos ( + )t = = 2А[cos ( /2)t] cos t

10.

Биениями называют периодические изменения
амплитуды результирующего колебания от
сложения двух однонаправленных колебаний с
близкими частотами: - частота биений.

11.

Сложение перпендикулярных колебаний.
Задача нахождения траектории
результирующего движения заключается в
исключении параметра t и связывании
напрямую координат у и х.

12.

После необходимых математических
преобразований (выразить косинус суммы
аргументов, найти чему равны sin t и cos t)
получаем уравнение эллипса с произвольной
ориентацией его осей относительно осей Х и У.

13.

Частные случаи:
а) = 0 (или 2 m) - колебания по х и у синфазны:
б) = (2m + 1) - колебания по х и у
противофазны.
Траектория – прямая линия.
В
-А
0
-В
Y
=0
А Х
=

14.

в) = 2 - колебания по х и у фазно-ортогональны.
Уравнение траектории: х2 А2 + у2/В2 = 1 - уравнение
эллипса приведённого к осям координат.
При равенстве амплитуд складываемых взаимноперпендикулярных колебаний эллипс вырождается
в окружность.
У
Случаи = /2 и = В
R
/2 отличаются
направлением
0
-А -В
0 В А Х
движения точки по
эллипсу или
-В
окружности (по или
против часовой стрелки).

15.

Фигуры Лиссажу.
Частоты взаимно перпендикулярных
колебаний не
одинаковы. При
кратности частот
траектория становится
замкнутой, причём
число пересечения ею
осей Х и Y повторяет
соотношение частот
соответствующих колебаний.

16.

ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

17.

.
Сила трения (или сопротивления)