Формула Грина

1.

Формула Грина связывает криволинейный
интеграл по замкнутому контуру
с двойным интегралом по области,
ограниченной этим контуром.

2.

Если
функции
P(x,y)
и
Q(x,y)
непрерывны
вместе
со
своими
частными производными в области D,
то имеет место формула
Q P
D x y dxdy L Pdx Qdy
Где L – граница области D и интегрирование по L
ведется в положительном направлении.

3.

Рассмотрим
в
плоскости
ограниченную контуром L.
ХОУ
область
D,
За положительное направление выбираем обход
против часовой стрелки.

4.

y
B
d
D
A
C
c
E
a
b
x

5.

Преобразуем двойной интеграл:
P( x, y )
P( x, y )
D y dxdy a dx y ( x ) y dy
1
b
где
b
y2 ( x )
y y1 ( x)
- уравнение линии АЕС
y y2 ( x)
- уравнение линии АВС
b
P( x, y) y ( x ) dx P( x, y2 ( x)) P( x, y1 ( x) dx
a
y2 ( x )
1
a

6.

b
a
a
b
P( x, y2 ( x)) dx P( x, y1 ( x)) dx
P( x, y) dx P( x, y) dx
ABC
CEA
Сумма этих интегралов будет криволинейным
интегралом
по
контуру
L,
обходимому
в
отрицательном направлении.

7.

P
D y dxdy L Pdx
1
Аналогично можно показать:
Q( x, y )
Q( x, y )
D x dxdy c dy x ( y ) x dx
1
d
где
x2 ( y )
x x1 ( y)
- уравнение линии ЕАВ
x x2 ( y)
- уравнение линии ЕСВ

8.

d
d
Q( x, y) x ( y ) dy Q( x2 ( y), y) Q( x1 ( y), y dy
x2 ( y )
1
c
c
d
d
c
c
Q( x2 ( y ), y ) dy Q( x1 ( y ), y ) dy
Q( x, y) dy Q( x, y) dy
ECB
BAE
Сумма этих интегралов будет криволинейным
интегралом
по
контуру
L,
обходимому
в
положительном направлении.

9.

Q
D x dxdy L Qdy
2
Вычитаем из (2) (1):
Q P
D x y dxdy L Pdx Qdy