Содружество музыки и математики

1. Содружество музыки и математики

Работа ученицы 8 класса
МОУ СОШ с Старый Хопер
Белоусовой Валерии
Руководитель учитель
математики Белоусова Н.Д.

2. «Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не сознавая». Готфрид Лейбниц

«Музыка есть таинственная
арифметика души; она
вычисляет,
.
сама того не сознавая».
Готфрид Лейбниц

3.

• По представлениям
Пифагора и его школы, • Пифагор (575-500г до н.э.)
в мире должна царить
гармония,
проявляющаяся во
всем: в строгости
математических
соотношений, в
совершенстве движений
небесных тел, а в
музыке - в
гармонических
соотношениях частот
(тонов) звучаний
музыкальных
инструментов.

4.

• . «Почтенный Пифагор
отвергал оценку
музыки, основанную на
свидетельстве
чувств. Он
утверждал, что
достоинства её
должны
восприниматься умом,
и потому судил о
музыке не по слуху, а
на основании
математической
гармонии и находил
достаточным
ограничить изучение
музыки пределами
одной октавы».
(Плутарх)
• Плутарх (ок. 45-127 )

5.

• Путем долгих, сложных исследований, с
помощью математических правил и законов
древним ученым все-таки удалось это
доказать. Пифагор заметил, что отношение
частот двух соседних нот всегда отличается,
а отношение частот двух нот, отстоящих друг
от дружки на четыре позиции, наоборот,
всегда постоянно и составляет 3/2. Такое
созвучие теперь называют квинтой. Взяв
квинту за основу, Пифагор вывел
музыкальную формулу, которая позволяет на
основе частоты базовой ноты, от которой
ведется отсчет, и порядкового номера
заданной ноты получить искомое значение
частоты следующей ноты.

6.

Спустя столетия проблема была
решена Андреасом
Веркмейстером (немецкий теоретик
музыки, 1645-1706гг). И при этом не
обошлось без математики.
Веркмейстер вместо природного
звукоряда создал собственный,
положив в основу системы три
постулата:
отношение частот
одинаковых нот в соседних октавах
должно быть равно двум;
между этими частотами
должно лежать ровно двенадцать
нот, по числу полутонов в октаве;
все полутона должны быть
равны.

7.

• один из учеников Аристотеля Аристоксен из Тарента (середина
IV в. до н. э.). Философ, историк и
музыкант, он внес в пифагорейское
учение много нового, так что эта
форма пифагорейства стала
называться неопифагорейством. В
частности, в музыке Аристоксен
настаивал на приближении ее к
запросам публики. Музыка должна
быть приятной для слуха, и тогда
она благозвучна. Аристоксен ввел
так называемый чистый строй
Против такой излишней
математизации музыкального
строя выступил
Аритоксен Тарентский (около
360 до н.э.)

8.

• А. Шенберг сформулировал
свой собственный метод
композиции, основанный на
осознании им того факта, что
в процессе сочинения
музыки автор подспудно
стремится избежать ранее
использованных элементов.
Этот метод, примененный к
высотам музыкальных тонов,
а также идея частой смены
тональностей, которая
привела к появлению
политональности и
атональности, и послужили
фундаментом теории
сочинения музыки на основе
двенадцати тонов
(додекафонии).
Арнольда Шенберга (австрийский и американский
композитор, 1874-1951гг).

9.

1
4
Самое известное
применение математики в
музыке это то, что
длительности
музыкальных нот
заимствовали свои
названия у дробей.
Половинная нота или
называется так, потому
что звучит вдвое короче
целой ноты. Из четырех
четвертых нот
составляется целая нота.
Длительность нот можно
подсчитывать также как
дробные числа.

10. Параллели в музыке можно обнаружить не только в нотной записи, но и самом звучании музыки. Параллелизм в звучании достигается, например, в т

Параллели в музыке можно обнаружить не только в нотной записи,
но и самом звучании музыки. Параллелизм в звучании достигается,
например, в том случае, когда мужской и женский голоса вместе
исполняют одну и туже мелодию. . В «Сцене под Кромами» из оперы
Мусоргского «Борис Годунов» Грозно звучит тема народного
восстания, исполняемая хором для четырех голосов. Если начертить
график партий в том же масштабе, в каком напечатаны ноты, то
расстояние между линиями, изображающими партии, будет
одинаковым. То есть, параллельно звучащие мелодии изображаются
параллельными прямыми. (Говоря научным языком ,
эквидистантными).

11.

• Окружающий нас мир полон
ритмов. Ритмично стучит
дождь по стеклу, ритмично
звучат за окном двигатели
проезжающих мимо
автомобилей, ритмично
звучит музыка льющаяся из
репродуктора, ритмично
звонит колокол, ритмично
расположены окна по
фасаду здания… Но стоит
нам услышать слово «ритм»,
как наши мысли невольно
обращаются к музыке, и это
вполне понятно: ведь ритм –
один из важнейших
элементов музыки.

12.

Ритмы можно обнаружить и среди
чисел. Например:
Период получившейся десятичной дроби можно считать её ритмом,
который отличается необыкновенной правильностью: 012345679. Дробь
таит в себе и другой ритм:
81
1│
10 0,0123456790123..
100
190
280
370
460
550
640
730
100 здесь впервые вновь встретился первый
190
остаток от деления,
280
далее весь цикл повторяется.
1
0,01234567901234567901234567901...
81

13.

Очень красивым примером правильных и
неправильных ритмов в математике может служить
таблица первых ста натуральных чисел, записанная
в виде изящной правильной фигуры – пифагорова
квадрата.
1
2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
.
Выделены числа кратные 3:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 12, 13 … Мы пришли к правильному
музыкальному ритму, звучащему как музыкальный размер 3 .
4

14. Математическое понятие симметрия относительно прямой, можно определить как «зеркальное отражение».

• Среди чисел тоже встречаются симметричные: 88, 8008,
8808008088 и т. д. Примером зеркального отражения
(симметрии) музыке может служить инверсия – ритм,
обращенный во времени, звучащий от конца к началу. С
мелодией при зеркальном отражении происходит
преудивительная метаморфоза.

15. Если спеть исходную мелодию, и её отраженный вариант на два голоса так, чтобы исполнитель отраженного варианта вступил на одну четверть по

Если спеть исходную мелодию, и её отраженный вариант на два
голоса так, чтобы исполнитель отраженного варианта вступил на
одну четверть позже, то получится один из простых канонов Баха.
Эта вариация является зеркальным обращением (симметрией)
или инверсией.

16. В курсе математики есть раздел «Последовательности». Самая известная последовательность, – последовательность натуральных чисел. С ней м

В курсе математики есть раздел «Последовательности». Самая
известная последовательность, – последовательность
натуральных чисел. С ней мы сталкиваемся ежедневно. Из
числовых последовательностей можно строить изящные
пирамиды, например:
1×8 + 1 = 9
12×8 + 2 = 98
123×8 + 3 = 987
1234×8 + 4 = 9876
12345×8 + 5 = 98765
123456×8 + 6 = 987654
1234567×8 + 7 = 9876543
12345678×8 + 8 = 98765432
123456789×8 + 9 = 987654321.

17. Из фрагментов некоторых музыкальных произведений тоже можно строить пирамиды

Партия сопрано в многоголосном произведении –
мессе голландского композитора Обрехта (XV век).

18. Взятые вместе первые три фрагмента образуют пирамиду. Если добавить оставшиеся четыре фрагмента, то основание пирамиды станет ещё шире.

19.

• Пока композиторы
возмущаются и опасаются,
программисты делают свое
дело. Появляются
программы, в которых
реализованы различные
алгоритмы сочинения
(точнее говоря,
формирования) музыки.
Увлечённый музыкой
математик Ларс Кидерман
разработал программу
MusiNum (полное название
The Music in the Numbers),
моделирующую сочинение
музыки на основе
фрактальных объектов. Ведь
если мир - фрактал, то
музыка часть мира. Хотя,
возможно, и наоборот, мир часть музыки?

20.

• «Раздумывая об искусстве и
науке, об их взаимных связях
и противоречиях, я пришёл
к выводу, что математика
и музыка находятся на
крайних полюсах
человеческого духа, что
этими двумя антиподами
ограничивается и
определяется вся
творческая духовная
деятельность человека и ,
что между ними
размещается всё, что
человечество создало в
области науки и искусства»
(Генрих Нейгауз, известный
русский пианист и педагог,
1888-1964гг).

21.

• Можно долго спорить о том
кто же прав: Г.Нейгауз или Г.
Лейбниц. Но нельзя не
согласится со словами
выдающегося византийского
философа Григория
Нисского ( богослов,
философ, ок. 335 – ок. 394):
«... порядок мироздания
есть некая музыкальная
гармония, в великом
многообразии своих
проявлений подчиненная
некоторому строю и
ритму, приведенная в
согласие сама с собой,
себе самой созвучная и
никогда не выходящая из
этой созвучности,
нимало не нарушаемой
многообразными
различиями между
отдельными частями
мироздания».

22.

• «Музыка – это
математика
Божественной
реальности, в ней –
уточнение и
поправка проблем
самой жизни.»
(Рихард Шварц,
композитор и
музыкант, г.р.1935).

23.

• Дальнейший прогресс
математики возможен через
музыку, но и саму музыку надо
сблизить с реальностью.
Содружество математики и
музыки неизбежно обогатит друг
друга.