Визначник другого та третього порядків. Алгебраїчні доповнення

1. Визначник другого та третього порядків

2. План

Визначники
Мінори
Алгебраїчні
доповнення

3. Визначники

До квадратної матриці А порядку n
можно зіставити число detA А( або
), яке називається її визначником
(детермінантом) наступним чином:

4.

5. На відміну від матриці визначник обмежується справа та зліва одинарною лінією.

6.

Щоб знайти визначник другого порядку,
множимо елементи головної діагоналі та
віднімаємо добуток елементів побічної
діагоналі:
Обчислення визначника другого порядку ілюструється
схемою:

7.

Приклад:

8.

При обчисленні визначника 3-го порядку зручно
користуватися правилом трикутників (або Саррюса),
яке схематично можна записати наступним чином:
Щоб знайти визначник третього
порядку, будуємо шість добутків таким чином:

9.

Приклад:

10. Мінори

Означення.
Мінором Мij, що відповідає елементу аij
матриці, називається визначник, який
відповідає матриці, утвореній з
матриці
викреслюванням i-го рядка та j-го
стовпця.

11. Алгебраїчні доповнення

Означення. Алгебраїчним доповненням Аij,
що відповідає елементу аij матриці,
називається відповідний мінор, взятий зі
знаком “+”, якщо сума його індексів парна, і
зі знаком “-”, якщо сума його індексів
непарна.
i j
Aij ( 1) Mij

12.

Приклад: Дано матрицю
Обчислити мінори М12 і М22 та алгебраїчні
доповнення А12 і А22.

13. Алгебраїчні доповнення: теореми.

Теорема 1. (Теорема Лапласа)
Значення визначника п-го порядку, що
визначає матрицю, дорівнює сумі добутків
елементів довільного рядка або довільного
стовпця
на відповідні алгебраїчні доповнення.
Для визначника
виконуються такі
рівності:

14.

Приклад: Обчислити визначник
розкладаючи
його за елементами третього рядка:

15.

Теорема 2. Сума добутків елементів будьякого
рядка або стовпця визначника на
алгебраїчні
доповнення відповідних елементів іншого
рядка,
чи стовпця дорівнюють нулю.

16. Запитання для самоконтролю

1. Що називається визначником n-го
порядку?
2. Що називається мінором та
алгебраїчним доповненням елементу
визначника ?
3. Які способи обчислення визначників ?
4. Які операції над визначниками не
змінюють їх?