Вища математика. Лекція 1. Визначники: означення, основні властивості

1. Вища математика

Лекція 1
Тема: Визначники: означення, основні
властивості.
Обернена матриця
Авдєєва Тетяна Василівна

2. Квадратна матриця

a11 a12
a21 a22
An
... ...
a
n1 an 2
... a1n
... a2 n
... ...
... ann

3. Визначник (детермінант) матриці

4. Для матриці другого порядку

a11 a12
A
a21 a22
Правило: від добутку елементів головної діагоналі віднімаємо
добуток елементів бічної діагоналі, тобто
a11 a12
A det A
a11 a22 a12 a21
a21 a22

5. Приклади

2 5
det A
2 7 5 3 1
3 7
sin x cos x
det B
sin x sin x cos x cos x cos2 x
cos x sin x
x x 3
C
x 4 2 x 3 2 x 6
2
4

6. Визначник третього порядку Правило Саррюса

a11 a12
A a21 a22
a a
31 32
a13
a23
a33

7. Правило Саррюса

8. Властивості визначників

При транспонуванні величина визначника
не змінюється
Якщо у визначнику поміняти місцями лише
два рядки (або два стовпчики), то
визначник змінює знак на протилежний,
зберігаючи абсолютне значення

9. Властивості визначників

Якщо визначник має два однакових
стовпчика або два однакових рядка, то він
дорівнює нулю
Якщо визначник містить два пропорційних
рядки (пропорційні стовпчики), то
значення його дорівнює нулю
Якщо елементи деякого рядка (стовпчика)
дорівнюють нулю, то і сам визначник
дорівнює нулю

10. Властивості визначників

Спільний множник всіх елементів рядка (стовпчика)
можна винести за знак визначника
Якщо кожний елемент деякого рядка (стовпчика) є
сумою двох доданків, то визначник можна
представити у вигляді суми двох визначників: в
першому з них на місці кожної суми лишається тільки
перший доданок, а в другому – тільки другий доданок
(інші елементи визначника зберігаються)

11. Властивості визначників

Значення визначника не змінюється, якщо до
елементів деякого рядка (стовпчика) додати
відповідні елементи іншого паралельного
рядка (стовпчика), помноживши їх попередньо
на одне й те ж число
Визначник дорівнює сумі добутків елементів
деякого рядка (стовпчика) на відповідні їх
алгебраїчні доповнення

12. Визначники матриць спеціальних типів

Визначник трикутної матриці дорівнює
добутку елементів головної діагоналі.
Визначник діагональної матриці дорівнює
добутку елементів головної діагоналі.

13. Мінор та алгебраїчне доповнення елемента

14. Приклади обчислення мінорів та алгебраїчних доповнень

1
3
2
2
6 3
5 7
0 9
4 1
12
4
8
17
1 6 3
M 24 2 0 9
2 4 1
3 5 4
1 3
A13 1 2 0 8
2 4 17
8 3 5
1 2 4
0 4 7
3 5
M 31
2 4
A23 1
2 3
8 3
0 4

15. Обернена матриця

Увага!!!
Не для кожної матриці існує обернена матриця

16. Обернена матриця

17. Обернена матриця

18. Обернена матриця

19. Властивості оберненої матриці

20. Властивості оберненої матриці

21. Все! Ура!!!

Дякую за увагу!
До зустрічі!