Преобразования электрических цепей

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Два участка идеализированной электрической цепи
называются эквивалентными, если при замене одного из
этих участков другим токи и напряжения остальной части
цепи не изменяются.
Эквивалентные участки электрических цепей обладают
свойствами:
симметричности (если цепь А эквивалентна цепи Б, то цепь
Б эквивалентна цепи А);
рефлексивности (цепь А является эквивалентной самой
себе);
транзистивности (если цепь А эквивалентна цепи Б, а цепь
Б эквивалентна цепи В, то цепи А и В являются
эквивалентными).

2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Если эквивалентность двух участков электрической цепи
выполняется при любых значениях внешних воздействий, то
такие участки являются полностью эквивалентными.
Если эквивалентность двух участков соблюдается только при
определенном значении внешних воздействий, то такие
участки
являются
частично
эквивалентными
(эквивалентными при заданных условиях).
Каждое равносильное преобразование системы уравнений
электрического равновесия исходной цепи (приведение
подобных членов, исключение неизвестных, замена
переменных и т. д.) приводит к эквивалентному
преобразованию моделирующей цепи.

3. УЧАСТКИ ЦЕПЕЙ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ

R1i ... RN i
1
C1
t
1
idt ... CM
t
idt
di
di
... LK
dt
dt
u e1 ... ev
L1
N
Rэкв Ri
i 1
K
Lэкв Li
i 1
M
1
1
Cэкв i 1 Ci
v
eэкв ei
i 1
1
Rэкв i
Cэкв
t
idt L
экв
di
u eэкв
dt

4. УЧАСТКИ ЦЕПЕЙ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ

При последовательном включении емкостей
значение
величины, обратной Cэкв определяется как сумма величин,
обратных каждой из последовательно включенных емкостей
Сi. Очевидно, что эквивалентная емкость Сэкв будет меньше
любой из последовательно включенных емкостей.
При
последовательном
включении
сопротивлений,
индуктивностей и источников напряжения параметры
эквивалентного элемента Rэкв, Lэкв и eэкв равны сумме
параметров последовательно включенных элементов
соответствующего типа.

5. УЧАСТКИ ЦЕПЕЙ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ

Z R1 I ... Z RN I Z C1 I ... Z CM I Z L1 I ... Z LK I U E 1 ... E v
Z экв I U E экв
N
M
K
i 1
i 1
i 1
Z экв Z Ri Z Ci Z Li ;
v
E E i
i 1
Таким образом, любой участок электрической цепи, представляющий
собой
последовательное
соединение
произвольного
числа
идеализированных неуправляемых источников напряжения и пассивных
двухполюсников, при гармоническом воздействии может быть заменен
ветвью, содержащей один источник напряжения ЭДС которого равна
алгебраической сумме ЭДС всех последовательно включенных
источников, и один пассивный двухполюсников, комплексное
сопротивление которого равно сумме комплексных сопротивлений всех
последовательно включенных пассивных двухполюсников.

6. УЧАСТКИ ЦЕПЕЙ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ

t
1
1
du
du 1
1
i u
u C1
CM
udt
R1
RN
dt
dt L1
LK
1
du
1
i
u C ЭК
RЭК
dt LЭК
t
udt j
1
j
t
udt j
ЭК
N
M
Л
1
1
1
1
; CЭК Ci ;
; j ЭК ji
RЭК i 1 Ri
LЭК i 1 Li
i 1
i 1

7. УЧАСТКИ ЦЕПЕЙ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ

При параллельном включении емкостей и источников тока
параметры эквивалентного элемента Cэкв, jэкв, равны сумме
параметров
параллельно
включенных
элементов
соответствующе типа.
При параллельном включении сопротивлений
или
индуктивностей значения величин, обратных Rэкв и Lэкв,
определяются как сумма значений всех величин, обратных
параллельно
включенным
сопротивлениям
Ri
или
индуктивностям Li.

8. УЧАСТКИ ЦЕПЕЙ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ

I YR1U YRNU YC1U YCM U YL1U YLK U J 1 J
I YЭК U J ЭК
N
M
K
i 1
i 1
i 1
i 1
YЭК YRi YCi YLi ; J ЭК J i
Таким образом, любой участок электрической цепи, представляющий собой
параллельное соединение произвольного числа идеализированных
пассивных двухполюсников, может быть заменен одним пассивным
двухполюсником, комплексная проводимость которого равна сумме
комплексных
проводимостей
всех
параллельно
включенных
двухполюсников. Произвольное число параллельно включенных
идеализированных источников тока может быть заменено одним
источником, комплексное действующее значение тока которого равно
алгебраической сумме комплексных действующих значений токов всех
параллельно включенных источников.

9. Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратно

I 1 I 31 I 12 0;
I I I 0;
1
2
3
I 2 I 12 I 23 0;
Z12 I 12 Z 23 I 23 Z13 I 13 0
I 12 Z 3 I 1 Z 23 I 2 / Z 12 Z 23 Z 31 ;
I 23 Z 12 I 2 Z 31 I 3 / Z12 Z 23 Z 31 ;
I Z I Z I / Z Z Z .
31
23 3
12 1
12
23
31

10. Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратно

U 12 Z12 I 12 Z12 Z 31 I 1 Z 23 I 2 / Z12 Z 23 Z 31 ;
U 23 Z 23 I 23 Z 23 Z12 I 2 Z 31 I 3 / Z12 Z 23 Z 31 .
U 12 Z1 I 1 Z 2 I 2 ;
U 23 Z 2 I 2 Z 3 I 3 .
Z 12 Z 31
Z 12 Z 23
I 1
I 2 Z 1 I 1 Z 2 I 2 ;
Z 12 Z 23 Z 31
Z 12 Z 23 Z 31
Z 23 Z 12
Z 23 Z 31
I 2
I 3 Z 2 I 2 Z 3 I 3 .
Z 12 Z 23 Z 31
Z 12 Z 23 Z 31

11. Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратно

Z 1 Z12 Z 31 / Z 12 Z 23 Z 31 ;
Z12 Z1 Z 2 Z1 Z 2 / Z 3 ;
Z 3 Z 23 Z 31 / Z 12 Z 23 Z 31 .
Z 31 Z 3 Z1 Z 3 Z1 / Z 2 .
Z 2 Z 12 Z 23 / Z 12 Z 23 Z 31 ;
Z 23 Z 2 Z 3 Z 2 Z 3 / Z1 ;
сопротивление
луча
звезды
равно
произведению
сопротивлений прилегающих сторон треугольника, деленному
на сумму сопротивлений трех сторон треугольника.
Y1 Y31 Y12 Y12Y31 / Y23 ;
Y12 Y1Y2 / Y1 Y2 Y3 ;
Y2 Y23 Y12 Y12Y23 / Y13 ;
Y3 Y31 Y23 Y32Y23 / Y12 .
Y23 Y2Y3 / Y1 Y2 Y3 ;
Y31 Y3Y1 / Y1 Y2 Y3 .
сопротивление стороны треугольника равно сумме
сопротивлений прилегающих лучей звезды и произведения их,
деленного на сопротивление третьего луча.

12. КОМПЛЕКСНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ ЭНЕРГИИ

J _ E _ Ri ;
Gi 1 Ri
E _ J _ Gi ;
Ri 1 Gi
Аналогичные
соотношения
выполняются
и
для
линеаризованных источников гармонических токов и
напряжений, т.е. для источников, комплексные схемы
замещения которых содержат идеальный источник напряжения