Комплексные параметры, частотные характеристики и операторные функции электрических цепей

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ПАРАМЕТРЫ, ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

• Большинство электрических цепей служат средством связи для передачи сигналов от
источника сигнала в нагрузку (рис. 5.1), где x(t) – сигнал на входе цепи, он называется
входным сигналом, или воздействием; y(t) – выходной сигнал, или отклик:
• В общем случае связь между откликом и воздействием имеет вид дифференциального
уравнения. Если цепь линейная, то уравнение линейное, где a, b, c – параметры
элементов, входящих в цепь.
• Если входной сигнал гармонический, то его представляют комплексной амплитудой
• Если цепь линейная, то откликом такой цепи является гармонический сигнал с
комплексной амплитудой
• Причем связь между комплексной амплитуды отклика и воздействия имеет вид
линейного алгебраического уравнения:
• где H (a, b, c) – комплексный параметр электрической цепи (это комплексное число).
• Комплексным параметром цепи называют отношение комплексной амплитуды отклика
к комп-лексной амплитуде воздействия.

2. 5.1. Комплексные параметры двухполюсника

• Двухполюсником является цепь с двумя выводами рис. 5.2. Его режим
работы характеризуется двумя величинами
.
• 1. Если воздействием считать амплитуду тока, то откликом будет
являться напряжение на нем.
Тогда параметр
.
Он имеет размерность сопротивления, Z – комплексное сопротивление
двухполюсника. (Z = R+jX – комплексное число, где R и X – резистивная и
реактивная составляющие сопротивления двухполюсника).Обобщенная
схема замещения двухполюсника - рис. 5.3.
• 2. Если воздействием считаем амплитуду напряжения, тогда откликом
будет амплитуда тока, связанная с напряжением, а параметр
где Y – второй параметр двухполюсника, он называется комплексной
проводимостью двухполюсника: Y = G + jB, G и B – резистивная и
реактивная составляющие проводимости двухполюсника.
Вторая схема замещения двухполюсника приведена на рис. 5.4. Эти
схемы замещения при определенном выборе параметров эквивалентны.

3. 5.2. Параметры четырехполюсника

Четырехполюсник – это цепь с четырьмя выводами (рис. 5.5).
Параметры четырехполюсника можно разбить на четыре группы:
1. Входные параметры связывают входные напряжение и ток. Их два :
:
где
Ku – коэффициент передачи по напряжению;
Ki – коэффициент передачи по току;
Kiu – сопротивление прямой передачи, или коэффициент преобразования ток – напряжение;
Kui – проводимость прямой передачи, или коэффициент преобразования напряжение – ток.
3. Выходные параметры. Их два:
где
Zвых – комплексное выходное сопротивление; Yвых комплексная выходная проводимость
– комплексная амплитуда выходного напряжения в режиме холостого хода (х.х).;
– комплексная амплитуда выходного тока в режиме короткого замыкания (к.з).
4. Параметры обратной передачи сигнала. Они характеризуют передачу сигнала с выхода
, ,
где Zвх – входное сопротивление четырехполюсника; Yвх – входная проводимость четырехполюсника.
• 2. Передаточные параметры характеризуют передачу сигнала с входа на выход, или, как
говорят, передачу в прямом направлении. Передаточных параметров четыре
на вход. Таких параметра четыре, и они аналогичны параметрам второй группы: (Ku, Ki, Kiu, Kui).

4. 5.3. Частотные характеристики

Поскольку сопротивления элементов (L,C) цепей зависят от частоты, то параметры
цепей оказываются частотно-зависимыми. Зависимости параметров цепей от частоты
называют частотными характеристиками (ЧХ) или частотными функциями цепи.
Каждый параметр цепи имеет свою частотную характеристику. Название ЧХ дают в
соответствии с названием параметра, например ЧХ входного сопротивления, ЧХ
коэффициента передачи напряжения.
ЧХ есть зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды отклика к
комплексной амплитуде воздействия. Как всякую комплексную функцию ее можно
записать в одной из трех форм записи: показательной, алгебраической и
тригонометрической (применяется редко).
j
H ( jω)
Ym
Yme y
H (ω)e j (ω) Re H ( jω) j Im H ( jω)
j x
X m X me

5. Графики частотных характеристик

• Для наглядного представления ЧХ представляют в виде графиков. Графики строят
двумя способами.
• 1. В виде двух графиков – АЧХ и ФЧХ.
• При построении графиков АЧХ и ФЧХ пользуются следующими масштабами по осям:
линейным и логарифмическим. На рис. 5.6, а приведен график в линейном масштабе, на
рис. 5.6, б – в полулогарифмическом масштабе, а на рис. 5.6, в – в логарифмическом.
2. В виде одного графика. Такой график строится на комплексной плоскости и
называются годографом.
Годограф – это геометрическое место точек, которые описывает конец вектора
комплексной функции на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до
бесконечности. Рис. 5.7.
Для построения годографа обычно используют алгебраическую форму записи
частотной характеристики Н(jω) = = Re[Н(jω)] + j Im[Н(jω)]. Далее для определенных
частот ωi рассчитать значения Re[Н(jω)] = Н1(ωi) и Im[Н(jω)] = Н2(ωi), занести в табл.,
нанести точки на компл. плоскость и, соединив их, получают график годографа (рис. 5.7).

6. 5.4. Примеры расчета частотных характеристик цепей

• Пример 1. Для обобщенной одноконтурной цепи, представленной
комплексной схемой замещения (рис. 5.8), рассчитать ее основные частотные
характеристики:
• 1. КЧХ - Zвх(j ), АЧХ - Zвх( ), ФЧХ - Z( ) - входного сопротивления;
• 2. КЧХ - K(j ), АЧХ - K( ),ФЧХ - K( ) - коэффициента передачи
напряжений.

7. Пример расчета входных и передаточных частотных характеристик

R
u1
C
u2

8. 5.5. Резонансные цепи. Колебательные контуры

• В электротехнике под резонансом понимают (режим работы) условие, при
котором цепь, содержащая реактивные элементы (L и C), имеет резистивное
входное сопротивление, т.е. при резонансе ток и напряжение находятся в
одной фазе, а сдвиг по фазе равен нулю. Такой резонанс называют фазовым.
• Условие фазового резонанса: φ(ω0)=0 или X(ω0)=0 или G(ω0)=0,
где ω0ф –резонансная частота.
• В информационной технике под резонансом чаще понимают амплитудный
резонанс. Это такой режим при котором амплитуда напряжения или тока на
реактивных элементах резко возрастает по сравнению с входным сигналом.
• Условие амплитудного резонанса: Ах(ω0А)→max,
где ω0А –резонансная частота.
• Поскольку переходные характеристики резонансных цепей имеют
колебательный характер, то резонансные цепи называют колебательными
контурами.
• Колебательные контуры используются для решения задач частотной избирательности. Под
частотной избирательностью понимают способность цепи выделять сигналы узкого диапазона
частот.
• К простейшим колебательным контурам относят последовательный и параллельный
колебательный контур, также систему связанных контуров.

9. 5.5.1. Последовательный колебательный контур

RL
Im
R
L
Um
L
R RL RC
C
U1m
I1m
L
Z вх R j L j
С
С
C
С
Рис. 5.17
L
Rут
RС
Рис. 5.18
1
R
C
1
j L
R jХ R(1 ja )
C
Рис. 5.19
1
X ( 0 ) 0 L
ω0
L
0
Характер входного сопротивления Zвх(jω) зависит от частоты.
= (LC)–1/2

10. Свойства последовательного контура на резонансной частоте

• 1) сопротивление имеет резистивный характер и минимально по сравнению
с сопротивлением на других частотах.
• 2) Начальные фазы напряжения и тока на контуре одинаковы φu = φi, сдвиг
по фазе равен φ = φu – φi = 0.
U1m
I
1m max
• 3) Амплитуда тока в контуре максимальна и равна
R
• 4) Сопротивления реактивных элементов L и C одинаковы и равны ρ –
характеристическому сопротивлению контура, т.е.
X L ( 0 ) 0 L X C ( 0 )
1
L
0C
C
• 5) Амплитуды напряжений на реактивных элементах контура одинаковы и
в Q - добротность раз больше (амплитуды напряжения на входе).
, Q – добротность контура,
U mL I1m max
R
U1m QU1m
• Поэтому резонанс в последовательном контуре называется резонансом
напряжений.
• 6) Амплитуды напряжений на реактивных элементах находятся в
противофазах, а поэтому суммарное напряжение на реактивных элементах
равно нулю: .
U L UC 0

11. Резонансная характеристика последовательного колебательного контура

Это есть зависимость от частоты отношения комплексной амплитуде тока к
комплексной амплитуде тока при резонансной частоте, т.е.
U1m
1
Im
1
R(1 ja )
n
(
)
( ) arctg a
n( j )
2
1 a
U1m
I m ( 0 )
(1 ja )
1
R
L
a
C
R
0, a ,
0 , a 0,
, a .
Параметры контура S, Q и ω0 связаны соотношением: S = ω0 / Q
Отсюда следует, что чем больше добротность, тем меньше полоса
пропускания, тем лучше избирательные свойства колебательного контура.

12. Зависимость добротности контура Q от сопротивления источника сигнала (Ri) и сопротивления нагрузки (Rн)

Ri
R
Последовательный колебательный
контур как четырехполюсник.
На практике используются две схемы
включения рис. 5.25.
L
К C ( j )
Rн
C
U Сm jX C
j 0 Qn( j )
U1m Zвх ( j )
K L ( j )
Рис. 5.23
U Lm
jX L
j Qn( j )
U1m Zвх ( j ) 0
C
C
Rн
2
Rн
Рис. 5.24
Qэкв
R Ri
Rн
Q
Ri
2
1
R Rн R
Q
• Эквивалентная добротность
меньше собственной добротности
контура Q. Для того чтобы
Qэкв ,Q
необходимо:
Ri 0
Rн
R
Подробный анализ
показывает, что при
высоких
добротностях
резонансные
частоты обеих схем
совпадают и равны
ω0.
KL, KС
Q
KС KС
KL
1
0
KL
0
KС

13. 5.5.2. Параллельный колебательный контур

Ri
I1m
ICm
С
ILm
Zк.к ( j )
С
L
RС
RL
Uк.к
L
Z1
а
Рис. 5.27
L
Z2
б
U к.к
I1 m
Z к.к
1
R
C j C RL j C
Z1 Z 2
.
1
Z1 Z 2
RL RC j L
C
2
Q
1 R(1 ja ) 1 ja
R j L
C
C
Характер входного сопротивления Zвх(jω) зависит от частоты.
RL RC R

14. Свойства параллельного контура на резонансной частоте.

1. Сопротивление контура имеет резистивный характер, и оно имеет максимальное
значение по сравнению с сопротивлением на других частотах.
2. Ток и напряжение совпадают по фазе.
L
3. Сопротивление реактивных элементов одинаково и равны . X L ( 0 ) X C ( 0 )
C
4. Амплитуда тока через реактивные элементы в Q раз превышает ток во внешней
цепи. Это вытекает из следующего:
U
Q
Q
I Lm к.к
I1m Q I1m
U кк I1m Z кк I1m
1 ja
поэтому резонанс в параллельном контуре называется резонансом токов
;
5) Токи через реактивные элементы сдвинуты по фазе на 180 .
Построим графики АЧХ и ФЧХ входного.
сопротивления параллельного контура :
Q
Z
(
)
вх
АЧХ:
;
1 a2
ФЧХ: .
Z ( ) arctg a
Построенные графики приведены на рис. 5.29.

15. Резонансная характеристика параллельного колебательного контура

Она представляет собой зависимость от частоты отношения комплексной
амплитуды напряжения на контуре к амплитуде напряжения на
резонансной частоте
U к.к
I1m Z вх ( j )
1
n( j )
U к.к ( 0 )
I1m Q
1 ja
.
Вид резонансной характеристики для последовательного и параллельного
контуров одинаков, это их и объединяет. По характеру зависимости
сопротивления от частоты они обладают противоположными свойствами
(см. рис. 5.29).

16. Влияние сопротивлений источника сигнала и нагрузки на добротность параллельного колебательного.

Схема замещения контура с учетом этих
добавочных элементов приведена на
рис. 5.30.
RL
RС
Ri
Rн
L
С
Рис. 5.30
Добротность контура с учетом паразитных
элементов называется эквивалентной и
определяется выражением
Q
Qэкв
Q
2
2
2
2
R
R
1
Ri Rн
Ri R Rн R
Qэкв Q
Для того чтобы
необходимо:
Rн
Ri
,

17. Операторные функции цепи

X(t)
Y(t) = F(X(t))
В тех случаях, когда входные сигналы не имеют спектра удобнее X(p)
Y(p) = H(p)X(p)
пользоваться операторным представлением сигналов, а
характеристики цепей представлять их операторными функциями
Рис. 5.35
• Операторная функция цепи Н(р) есть отношение операторного
Y( p )
представления отклика цепи к операторному представлению воздействию
H( p )
X( p )
где – p=α+jω - комплексная частота.
• Названия операторных функций аналогичны названиям частотных характеристик
(например, операторная функция коэффициента передачи напряжений).
• Законы Ома и Кирхгофа, когда напряжения и токи представляются их операторными
представлениями, называются законами Ома и Кирхгофа в операторной
U( p )
Z( p )
форме – они анологичны, например операторное сопротивление
I( p )
двухполюсника.
Для расчета операторной функций цепи необходимо от исходной схемы электрической
цепи перейти к операторной схеме замещения, при этом сопротивление, емкость и
индуктивность замещаются на операторные сопротивления, как показано на рис
Для расчета операторной функции можно пользоваться всеми теми же методами, что
рассматривались раньше для расчета цепей с .
использованием комплексных амплитуд или
Н(р) = Н(jω)|jω = p.

18. Дисциплина: Электротехника и электроника

Лектор: Погодин Дмитрий Вадимович
Кандидат технических наук,
доцент кафедры РИИТ
(кафедра Радиоэлектроники и
информационно-измерительной
техники)
Электротехника и электроника