Последовательности. Основные понятия и определения. Действительные числа. (Лекция 1)

1.

Лекция 1. Последовательности. Основные понятия и определения.
Действительные числа
Множество всех действительных чисел обозначается R. Его подмножества
называются числовыми.
1.Операции сложения. Для любой пары действительных чисел a и b определено
единственное число, называемое их суммой и обозначаемое a+b, такое, что при
этом выполняются следующие условия:
1.1 a b b a, f , b R
1.2 a (b c) (a b) c, a, b, c R
1.3 Существует такое число, называемое нулем и обозначаемое 0,
a что
0 0, a R
1.4 Для любого
a R , существует число называемое ему противоположным
числа
и обозначаемое –а, для которого a ( a) 0
Число a ( d ), a, b R называется разностью чисел и обозначается
a b
2.Операции умножения. Для любой пары действительных чисел a и b определено
единственное число, называемое их произведением и обозначаемое ab, такое, что
при этом выполняются следующие условия:
2.1 ab ba, a, b R
2.2 a(bc) (ab)c, где _ a, b, c R
2.3 Существует такое число, называемое единицей и обозначаемое 1, что
a 1 а, a R

2.

2.4 Для любого числа а 0 существует число называемое ему обратным и обозначаемое
1
1
а
1
а , для которого
а
3.Связь операций сложения и умножения
(a b)c ac bc, a, b, c R
4.Упорядоченность
Для любых двух различных чисел a и b имеет место одно из двух соотношений: либо
a b(b a ), либо _ a b(b a)
транзитивность. Если a<b и b<c, то a<c
если a<b, то для любого числа c имеет место a+c<b+c
если a>b и c>0, то ac>bc
5.Непрерывность. Для любых непустых числовых множеств Х и У, таких что для
каждой пары чисел x X , y Y выполняется неравенство x y,
существует число а, удовлетворяющее условию x a y, x X , y Y
Х
У
_________|_|_|_|_|_______________|_|_|_|_|___________
х
а
у

3.

Определение. Множество элементов, обладающих свойствами 1-5, содержащее более
одного элемента, называется множеством действительных чисел, а каждый его элемент
– действительным числом.
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел.
m
Q x R : x , m Z , n Z , n 0
n
Для любого числа a R и натурального n степень
сомножителей, равных a.
a nопределяется как
произведение n
a n a
a
a
...
a
n
Пусть a>0 , а n натуральное число. Число b называется корнем n-й степени из числа a, если
b n a . Обозначение b n a . Неотрицательное значение корня n a
называется его арифметическим значением.
p
q
p
q
Если r
a
ap
q
0
, где p и q – целые,
, т. е. r –рациональное число, то для a>0
q
a, a 0
называется
a
Для любого числа a R неотрицательное число
a, a 0
абсолютной величиной или модулем. Свойства модуля
a b a b
a b a b

4.

a b a b
a
a
b
b
a
n
a
n
Расширенная числовая прямая. Окрестности.
Геометрически множество действительных чисел изображается направленной
прямой, а отдельные числа - точками этой прямой. Поэтому совокупность
действительных чисел часто называют числовой прямой или числовой осью, а
отдельные числа – ее точками.
Часто бывает удобно дополнить множество действительных чисел элементами,
обозначаемыми через и - (плюс бесконечность и минус бесконечность). Считаем по
определению, что выполняется неравенство . Множество действительных чисел R
дополненное этими символами называется расширенным множеством
действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается .
Бесконечности называются также бесконечно удаленными точками числовой
прямой, остальные точки называются конечными точками числовой прямой.
Напомним определения некоторых важных типов подмножеств расширенной
числовой прямой .
Пусть
a R, b R, a b
Множество a, b x : x R, a x b - отрезок;
Множество (a, b) x : x R, a x b - интервал;
Множество [a, b) x : x R, a x b - полуинтервал;

5.

Множество (a, b] x : x R, a x b - полуинтервал;
Все они – промежутки расширенной числовой прямой.
a,b – концы промежутков;
a<x<b – x – внутренние точки;
b-a – длина промежутка ( сам промежуток – конечный).
Важным является понятие окрестности конечной и бесконечно удаленной точки
числовой прямой.
Если a R , то 0, - окрестностью U ( a, ) числа а называется интервал
(a , a ) , то есть U (a, ) (a , a )
1
a U ( , ) ( , )
В случае a U ( , ) ( , 1 )
Предел последовательности
В случае
Одной из важнейших операций мат. Анализа является операция предельного
перехода. Рассмотрим простейшую форму предельного перехода, основанную на
понятии предела числовой последовательности.
1.Числовые последовательности
В элементарном курсе математики было дано понятие последовательности, и
примерами могут служить арифметическая и геометрическая прогрессия.
Определение Если каждому числу n натурального ряда чисел 1,2,3,…,n,… ставится
в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число , то множество
занумерованных чисел
x1 , x2 ,..., xn ,...
(1)

6.

называются числовой последовательностью. Обозначение последовательности
Элемент или член последовательности
x n . Например, 1 соответственно
2
x n
1 1
1, , ,...
4 9
n
Введем понятие арифметических операций над числовыми последовательностями.
Пусть даны последовательности x n , y n . Соответственно:
xn y n или x1 y1 , x2 y2 ,..., xn yn - сумма последовательностей;
xn yn или x1 y1 , x2 y2 ,..., xn yn - разность последовательностей;
xn y n или x1 y1 , x2 y2 ,..., xn yn - произведение последовательностей;
xn
xn
x1 x2
,
,...,
- частное последовательностей.
или
y
y
y
y
1
2
n
n
2.Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение 1. Последовательность x n называется ограниченной сверху (снизу),
если существует такое число M (число m), что каждый элемент x n последовательности
x n удовлетворяет неравенству xn M ( xn m)
M – верхняя грань; m – нижняя грань. xn M ( xn m) - условие ограниченности
последовательности сверху (снизу).
Замечание Любая ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет
бесчисленное множество верхних ( нижних) граней.

7.

Определение 2. Последовательность x n называется ограниченной с обеих
сторон или просто ограниченной, если существует такие числа M и m, что
каждый элемент x n последовательности x n удовлетворяет неравенству
m xn M
M – верхняя грань; m – нижняя грань.
Если x n ограничена, то все элементы x n этой последовательности
удовлетворяют неравенству xn A , где A max M , m
Определение 3. Последовательность x n называется неограниченной, если для
любого положительного числа А найдется элемент x n этой
последовательности, удовлетворяющий неравенству xn A .
Примеры:
1)Последовательность -1, -4, -9, …,- n 2 ,… - ограничена сверху и не ограничена
снизу. Верхняя грань – число больше или равно -1.
2)Последовательность 1, ½,1/3,…,1/n, … - ограничена. M 1, m 0
3)Последовательность 1, 2, 1, 3, ….,n, 1, (n+1), … - не ограничена.
3.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
Введем определения бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.

8.

Определение 1. Последовательность x n называется бесконечно большой, если
для любого положительного числа А можно указать номер N такой, что для n N
все элементы x n удовлетворяют неравенству xn A
Замечание 1
Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной.
Замечание 2
Неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой.
Пример:
Неограниченная последовательность 1,2,1,3,…,n,… не является бесконечно
большой, поскольку при А>1 неравенство xn A не имеет места для всех
элементов с нечетными номерами.
Определение 2. Последовательность n называется бесконечно малой, если для 0,
можно указать номер N такой, что при n N все элементы n этой
последовательности удовлетворяют неравенству n .
Рассмотрим пример:
2
3
n
Последовательность q, q , q ,..., q ,...
При |q|>1 – бесконечно большая;
При |q|<1 – бесконечно малая.
Докажем первое утверждение
Если |q|>1, то | q | 1 , 0 . Используя формулу бинома Ньютона, получаем
N
|
q
|
N (1)
| q | N (1 ) N 1 N положительные элементы. Отсюда
.
Фиксируем A 0 и выбираем номер N столь большим, чтобы имело место неравенство
N A. Из этого неравенства и неравенства (1) следует неравенство | q |N A. Так как,
при n N , | q | 1 | q | n | q | N | q | n A . Тем самым доказано, что при |q|>1

9.

рассматриваемая последовательность является бесконечно большой.
Второе утверждение доказывается аналогично, применяя бином Ньютона и
определение бесконечно малой последовательности.
Свойства бесконечно малых последовательностей
Теорема 1
Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность
бесконечно малая.
Доказательство
Пусть n , n - бесконечно малые последовательности.
Докажем, что n n - бесконечно малая последовательность
Пусть 0 - произвольное число.
N - номер, начиная с которого n
1
N 2 - номер, начиная с которого
2
n
2
Так как n n n n , то, обозначая N max{ N1 , N 2 } , получаем, что,
начиная с некоторого номера N выполняется неравенство n n . Это означает, что
последовательность n n - бесконечно малая.
Теорема 2
Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность
бесконечно малая.

10.

Доказательство аналогичное, только, вместо n n n n берем n n n n
Следствие Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых
последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема 3
Бесконечно малая последовательность ограничена.
Доказательство
Пусть n - бесконечно малая последовательность. Пусть 0 - произвольное число.
Пусть N – номер, начиная с которого n . Обозначим через
A max , | 1 |, | 2 |,..., | N 1 | . Очевидно, что n A для n , что означает
ограниченность последовательности.
Теорема 4
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую
последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность.
Доказательство
Пусть n - бесконечно малая последовательность;
Пусть x n - ограниченная последовательность.
Так как x n - ограниченная последовательность, то xn A , что xn A .
- бесконечно малая
Возьмем 0 - произвольное число. Так как n
последовательность, то для положительного числа
можно указать N такой, что при
A
n N выполняется неравенство n A . Тогда при n N
| x n n | | x n | | n | A
A
.

11.

Поэтому последовательность xn n - бесконечно малая.
Следствие
Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей
представляет собой бесконечно малую последовательность.
Замечание
Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть
последовательностью любого типа и даже может не иметь смысла.
Например
1
1
n 1 (1,1,...,1,...)
n
n
n
1
1
n , n 2 n n бесконечно большая последовательность
n
n
n
1
1
1
n 2 , n n бесконечно малая последовательность
n
n n
n
Если бесконечно много элементов последовательности { n }
равны 0, то последовательность n не имеет смысла.
n
n , n
Теорема 5
Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же
числу с, то с=0.
Доказательство

12.

|c|
. Начиная с номера N, соответствующему этому
с
2
|c|
|c|
1
|
c
|
1
c
выполняется неравенство n . Так как
,а
, то
n
2
2
2
Пусть
0 , положим
противоречие.
Теорема 6
Если
x n - бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого
1
номера n определена последовательность
, которая является бесконечно малой
xn
последовательностью. Если все элементы бесконечно малой последовательности
n
не равны 0, то последовательность 1 - бесконечно большая.
n
Доказательство
Отметим, что у бесконечно большой последовательности лишь конечное число
элементов может быть равно 0. Из определения бесконечно большой
последовательности вытекает, что для данного A>0, существует N, начиная с которого
xn A . Это означает, что при n N все элементы xn 0 ,
тогда последовательность 1 имеет смысл, если ее элементы рассматривать,
1
xn
*
начиная с номера
N
. Докажем теперь, что бесконечномалая последовательность.
xn

13.

Пусть
0 - произвольное число. Для числа
1
выполняется неравенство
xn
выполняться неравенство
1
xn
1
N N * , такой, что при n N
. Поэтому, начиная с указанного номера N. Будет
, то есть доказано, что последовательность
1
xn
- бесконечно малая.
Доказательство второй части теоремы проводится аналогично.
Сходящиеся последовательности и их основные свойства
Определение
Последовательность x n называется сходящейся, если существует такое число а,
что последовательность xn a является бесконечно малой. При этом число а
называется пределом последовательности x n . В соответствии с эти определением
всякая бесконечно малая последовательность сходится и имеет своим пределом число
0.
Другое определение
Последовательность x n называется сходящейся, если существует такое число а,
что 0 можно указать номер N N ( ) , такой, что при n N все x n удовлетворяют
неравенству
xn a(1).
Число а – предел последовательности.
Символическая запись lim n xn a или x n a при n .

14.

Бесконечно большую последовательность иногда называют последовательностью,
сходящейся к бесконечности. Символическая запись lim x xn .
Если элементы бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера
имеют определенный знак, то последовательность сходится к бесконечности
определенного знака. Символическая запись lim n xn или lim n xn .
Замечание 1
Неравенство (1) эквивалентно неравенствам xn a a x a . Эти
неравенства означают, что элемент
находится
в
- окрестности
числа а (это
xn
(a , a
интервал
). )
Еще определение
Последовательность x n называется сходящейся, если существует такое число а,
что 0 в
- окрестности числа а находятся все элементы последовательности,
начиная с некоторого номера.
Определение сходящейся последовательности утверждает, что разность xn a n бесконечно малая последовательность. Следовательно, всякий элемент сходящейся
последовательности, имеющей предел а, можно представить в виде xn a n (2),
где n - элемент бесконечно малой последовательности.
Замечание 2
Из определения предела последовательности, очевидно, что конечное число
элементов не влияет на сходимость этой последовательности и на величину этого
предела.