Представление чисел в компьютере. Системы счисления. Формы представления чисел

1. Представление чисел в компьютере. Системы счисления. Формы представления чисел

2.

Смешанная

3.

Основание-количество цифр используемых в системе счисления(в двоичной два, в восьмеричной
восемь, шестиричной шесть и т.д.)

4.

5. Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

Правило 1. Перевод числа x из системы счисления основанием P в систему
счисления с основанием Q заключается в последовательном нахождении
остатков от деления числа x на основание Q, при этом процесс продолжается
до тех пор, пока частное от деления не будет меньше основания Q. Все
вычисления выполняются в системе счисления с основанием P, т.е.
основание Q должно также быть выражено в системе счисления с
основанием P. Остатки от деления должны быть выражены цифрами
системы счисления с основанием R.
Представление искомого числа в системе счисления с основанием R
получается выписыванием последнего частного и остатков от
деления в обратном порядке.
Например:
57410=?8=10768
574 8
56
71 8
14
64 8 8
8
7
8 1
6
0
Выполним обратное действие.

6. Правило 2. Перевод числа x из системы счисления основанием P в систему счисления с основанием Q осуществляется путем

представления числа х по степеням основания P. Все вычисления
выполняются в системе счисления с основанием Q, т. е. основание P и
цифры исходного числа должны также быть выражены в системе
счисления с основанием Q. На практике такой порядок перевода чисел
используется при переводе из двоичной, восьмеричной и
шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.
23Е16 =?10: = 2*162+3*161+ Е*160=57410 (Е16=14 по таблице)
10768=1*83+0*82+7*81+6*80=57410
Для того, чтобы перевести число из двоичной системы счисления в
десятичную, необходимо умножить каждую цифру на основание, в нашем
случае 2, в соответствующей степени. Степень – порядковый номер цифр n-1.

7. Двоичное, восьмеричное, десятичное и шестнадцатеричное представления

Десятичная
Двоичная
Восьмеричная
Шестнадцатеричная
0
0000
0
0
1
0001
1
1
2
0010
2
2
3
0011
3
3
4
0100
4
4
5
0101
5
5
6
0110
6
6
7
0111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E

8.

Правило 3. Перевод чисел из восьмеричной системы
счисления в двоичную и наоборот переводится по
Триадам. При переводе из восьмеричной системы в
двоичную каждая цифра заменяется триадой. При переводе из двоичной
системы в восьмеричную число развивается на триады справа налево,
недостающие цифры слева дополняются нулями. После этого, каждую
триаду заменяют восьмеричной цифрой согласно таблице перевода.
1075 8= 001 000 111 1012
Правило 4. Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в
двоичную и наоборот переводится по тетрадам.
При переводе из шестнадцатеричной системы в двоичную каждая цифра
заменяется тетрадой, согласно с таблицей перевода. При переводе из
двоичной системы в шестнадцатеричную число разбивается на тетрады
справа налево, недостающие цифры слева дополняются нулями. После
этого, каждую тетраду заменяют шестнадцатеричной цифрой согласно с
таблицей перевода.
23D 16= 0010 0011 11012

9. Арифметические операции над числами . Арифметические операции для двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел выполняются

по тем же правилам, что и
для десятичных. При выполнении действий необходимо помнить, что
если сумма складываемых цифр больше или равна основанию
системы счисления, то единица переносится в следующий слева
разряд.
Например: 2718+368=3278
68+18=78
78+38=108 = 88+28=28 (1 переносится в след разряд)
28+18=38 (1 переносится из предыдущей строки)
В шестнадцатеричной системе счисления аналогично
Например: СА16+6516=12F16
А16+516= 10+516=15=F16 (А16 =10 по таблице, F16 =15 по таблице)
С16+616=12+616=18=16+2=216 (1 переносится в след разряд)
0+1=116

10. .

Вычитание осуществляется по тем же правилам, что и в
десятичной системе счисления. При вычитании из меньшего
числа большего производится заем из старшего разряда.
22D16-12316=10А16
D16-316= 13-316=10=A16 (по таблице D16 =13, А16 =10 )
.
216-26=016
2-1=116
При выполнении операций в двоичной системе счисления можно пользоваться таблицей.
1101100000
10110110
10000010110
Таблица сложения и умножения в двоичной системе счисления
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10
0х0=0
0х1=0
1х0=0
1х1=1

11. Рассмотрим операцию умножения. Умножение многоразрядных чисел в различных позиционных системах счисления происходит по обычной

схеме, применяемой в десятичной
системе счисления, с последовательным умножением множимого на
очередную цифру множителя.
В двоичной системе
счисления
10112
102
00002
10112
101102
В шестнадцатеричной системе
счисления
4D216
2316
E7616
9A416
A8B616
216 x316 =616
D16 x316 =13 x316 =39 =716 (2 в след разряд,
т к 16х2+7=39)
3 16 x4 16 +2=14 =E 16 ,
2 16 х2 16 =4 16
D16 x216 =13 x216 =10=A 16 (1 в след разряд)
2 16 x4 16 +1=9 16
7 16 +4 16 = 11 = B 16
E 16 +A16 = 14+10=24=8 16 (1 в след разряд)
9 16 +1 16 = 10= A 16

12. При выполнении любых арифметических операций над числами, представленными в разных системах счисления, следует предварительно

перевести их в одну и ту же систему.
Например: 2718+11110100= 110101101 2 = 6558
Преобразуем число 2718 в двоичную систему счисления
2718=0101110012
и сложим два числа
010111001 2 +11110100 2 =110101101 2 или
представим в восьмеричной системе счисления.
Разбиваем на тетрады и по таблице находим
110 101 101
6
5
5

13. Как пеpевести пpавильную десятичную дpобь в любую другую позиционную систему счисления?

Для чисел, имеющих как целую, так и дробную части, перевод из
десятичной системы счисления в другую осуществляется отдельно для
целой и дробной частей. Для перевода правильной десятичной
дpоби F в систему счисления с основанием q необходимо F умножить
на q , записанное в той же десятичной системе, затем дробную часть
полученного произведения снова умножить на q, и т. д., до тех пор, пока
дpобная часть очередного пpоизведения не станет pавной нулю, либо не
будет достигнута требуемая точность изображения числа F в q-ичной
системе. Представлением дробной части числа F
в новой системе
счисления будет последовательность целых частей полученных
произведений, записанных в порядке их получения и изображенных
одной q-ичной цифрой. Если требуемая точность перевода
числа F составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная
погрешность при этом равняется q -(k+1) / 2. Для чисел, имеющих как
целую, так и дробную части, перевод из десятичной системы счисления в
другую осуществляется отдельно для целой и дробной частей. Затем
числа записываются подряд – сначала переведенная целая часть,
ставится запятая и затем переведенная дробная часть.

14. Например: Перевести число 75,375 в двоичную систему счисления.

Представим целую часть числа по стандартным правилам перевода из
одной системы счисления в другую.
75=10010112
Переведем дробную часть числа. Для этого число будем умножать на
основание, в нашем случае 2, до тех пор, пока дробная часть
очередного произведения не станет равной нулю. При этом на каждом
шаге отбрасывая целую часть.
0,375
2
0,750
2
1,500
2
1,000
Дробная часть равна нулю. В итоге 0,375=0,011 .
75,375=1001011,011

15. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ