Конкретизация вида коэффициента эффективной квадратичной нелинейной восприимчивости

1. Конкретизация вида коэффициента эффективной квадратичной нелинейной восприимчивости.

Практическое задание №2
1

2.

Система укороченных уравнений для комплексных амплитуд волн при ГВГ:
dA1
1 A1 i 1 A1* A2 exp( i kz),
dz
dA2
2 A2 i 2 A12 exp( i kz).
dz
Коэффициенты нелинейной связи i имеют вид:
1 4 ke1
( ) : e1e 2
,
2
n ( )
2 2 Ke 2
(2 ) : e1e1
.
2
n (2 )
В эти выражения входят сомножители:
e1 ( ( ) : e1e2 );
e2 ( (2 ) : e1e1 )
2

3.

Система укороченных уравнений для комплексных амплитуд волн при ГСЧ и
параметрическом преобразовании:
dA1
1 A1 i 1 A2* A3 exp( i kz),
dz
dA2
2 A2 i 2 A1* A3 exp( i kz),
dz
dA3
3 A3 i 3 A1 A2 exp( i kz).
dz
В коэффициенты нелинейной связи i входят сомножители, которые имеют вид:
e1 ( ( 1 ) : e 2e3 );
e2 ( ( 2 ) : e1e3 );
e3 ( ( 1 2 ) : e1e 2 )
Таким образом, для получения конкретного вида коэффициентов i необходимо
провести перемножение единичных векторов е, отвечающих состояниям
поляризации волн на матрицу тензора нелинейной восприимчивости ( ).
3

4.

На рис. приведено расположение единичных
векторов поляризаций в одноосном кристалле для
обыкновенной волны – e1 и для необыкновенной
волны – e2. N – вектор направления
распространения волны в кристалле, задаваемый
полярным углом Q и азимутальным углом .
Плоскость М называется плоскостью главного
сечения кристалла. Таким образом, электрический
вектор обыкновенной волны колеблется в
плоскости перпендикулярной главному сечению
кристалла, а необыкновенной волны лежит в этой
плоскости.
Проекции единичных векторов для «о» волны имеют вид:
e1x e11 sin ;
e1 y e12 cos ;
e1z e13 0;
Проекции единичных векторов для «е» волны имеют вид:
e2 x e21 cos cos ;
e2 y e22 sin cos ;
e2 z e23 sin .
4

5.

Тензор 3-го ранга содержит 27 компонент, однако он является симметричным относительно
перестановки двух последних индексов: ijk= ikj.
Из этого следует, что число независимых компонент тензора не должно превышать 18.
В общем случае, число независимых компонент определяется симметрией кристаллической
решетки, причем, чем больше элементов симметрии решетки, тем меньше число независимых
компонент.
Существует способ, позволяющий перейти при записи тензора от системы трех индексов i,j,k к
системе двух индексов i,l в матрице d размером 3 6, используя соотношения:
6
Pi dil Fl ,
или в развернутой записи
l 1
P1 d11 d12
P2 d 21 d 22
P d
3 31 d 32
d13 d14
d 23 d 24
d15
d 25
d 33 d 34
d 35
F1
F2
d16
F3
d 26
F4
d 36
F5
F
6
Здесь использовано соответствие индексов:
ij 11 22 33 23 13 12
l 1 2 3 4 5 6,
а компоненты 6-и мерного вектора F даются следующим соотношением:
F1 = E1E1, F2 = E2E2, F3 = E3E3, F4 = (E2E3 + E3E2), F5 = (E1E3 + E3E1) и F6 = (E1E2 + E2E1).
5

6.

Порядок выполнения задания состоит в следующих действиях.
Необходимо перейти от условно-векторной формы записи выражений к обычной.
Вводятся обозначения:
p1 ( ) ( ) : e1e2 ;
p2 (2 ) (2 ) : e1e1.
Эти выражения в «обычном» представлении имеют вид:
3
3
p1i ( ) ijm ( )e1 j e2m ;
j 1 m 1
3
3
p2i (2 ) ijm (2 )e1 j e1m .
j 1 m 1
6

7.

Распишем подробно первую сумму:
p11 111e11e21 112 e11e22 113e11e23
121e12 e21 122 e12 e22 123e12 e23
131e13e21 132 e13e22 133e13e23 .
p12 211e11e21 212 e11e22 213e11e23
221e12 e21 222 e12 e22 223e12 e23
231e13e21 232 e13e22 233e13e23 .
p13 311e11e21 312e11e22 313e11e23
321e12e21 322e12e22 323e12e23
331e13e21 332e13e22 333e13e23 .
Теперь можно записать конкретный вид искомого выражения:
e1 ( : e1e2 ) e1p1 e11 p11 e12 p12 e13 p13 .
7

8.

Составляющие векторов е1,2 не зависят от выбора нелинейного кристалла, а
определяются только типом фазового синхронизма. Чтобы получить конкретное
значение dэфф в предыдущее выражение подставляют выражения для векторов
е1,2 и для тензора в соответствии с заданным типом синхронизма.
В качестве примера ниже проведен вывод dэфф для кристалла KDP при I-м типе
(оо-е) синхронизма.
Тензор нелинейной квадратичной восприимчивости для этого кристалла,
относящегося классу 42m имеет вид:
0 0 0 d14
d i ,l 0 0 0 0
0 0 0 0
0
d14
0
.
d36
0
0
В силу свойств симметрии кристалла большинство компонент тензора для
кристалла KDP равно нулю. Имеется только 3 отличных от нуля компонента,
причем независимых компонент только 2.
8

9.

В новых обозначениях развернутая запись для вектора р1 имеет вид:
p11 d11e11e21 d16e11e22 d15e11e23
d16e12e21 d12e12e22 d14e12e23
d15e13e21 d14e13e22 d13e13e23 .
p12 d 21e11e21 d 26 e11e22 d 25e11e23
d 26 e12 e21 d 22 e12 e22 d 24 e12 e23
d 25e13e21 d 24 e13e22 d 23e13e23 .
p13 d31e11e21 d36 e11e22 d35e11e23
d36 e12 e21 d32 e12 e22 d34 e12 e23
d35e13e21 d34 e13e22 d33e13e23 .
9

10.

Подставляя в эти выражения формулы для явного вида компонент тензора
нелинейной восприимчивости и компонент единичных векторов
поляризации получим (обе исходные волны – «о» волны):
p11 0 sin sin 0 sin cos 0 sin 0
0 cos sin 0 cos cos d14 cos 0
0 0 sin d14 0 cos 0 0 0 0
p12 0 sin sin 0 sin cos 0 sin 0
0 cos sin 0 cos cos 0 cos 0
0 0 sin 0 0 cos 0 0 0 0
p13 0 sin sin d36 sin cos 0 sin 0
d36 cos sin 0 cos cos 0 cos 0
0 0 sin 0 0 cos 0 0 0 2d36 sin cos
d36 sin 2
10

11.

Таким образом, после проделанных вычислений остался только один
компонент вектора р1, а именно р13 = - d36∙sin 2 . Для получения результата
необходимо умножить р13 на соответствующую компоненту орта поляризации
«е» волны:
d эфф d36 sin 2 sin .
Полученный результат показывает, что эффективный нелинейный коэффициент
dэфф зависит не только от полярного угла , но и от азимутального угла . Так как
полярный угол задается направлением синхронизма в кристалле, то его
значение фиксировано. Для максимизации значения dэфф необходимо выбрать
значение угла . Для данного случая оптимальным значением угла является
450.
Аналогично проводится расчет для выражения
e2 ( (2 ) : e1e1 ) .
11

12.

Отрицательные одноосные кристаллы
12

13.

Положительные одноосные кристаллы
13