Вероятность. Вычисление вероятности

1. Вопросы по предыдущей лекции

Что такое критический отказ?
Чем некритический отказ отличается от
критического?
Какие виды отказов подразумевают
значительный ущерб для окружающей
среды?
Насколько глубоко следует анализировать
редкий некритический отказ?

2. Вопросы по предыдущей лекции

Что такое множество?
Чем определяются соотношения между
множествами?
Зачем нужны диаграммы Эйлера-Венна?
Приведите определение и пример
пересекающихся множеств.
Приведите определение и пример ситуации,
когда множество В является
подмножеством А.

3. Вопросы по предыдущей лекции

Множество В является подмножеством А.
Чему равно их пересечение? объединение?
Перечислите операции над множествами.

4. Вопросы по предыдущей лекции

Что такое объединение множеств?
Что такое пересечение множеств?
Что такое разность множеств?
Что такое дополнение множества?

5. Вопросы по предыдущей лекции

Что такое событие?
Что называется достоверным событием?
Что такое случайное событие?
Что такое совместные события?
Что такое несовместные события?
Какие события называются противоположными?
Что такое полная группа событий?
Что такое группа гипотез?
В каком случае гипотезы называются равновозможными?

6. 2.3. Вероятность

06.10.17
Занятие 3
2.3. Вероятность
Вероятность –
численная мера
степени объективной возможности
наступления случайного события.
Обозначение:
Р(А)

7. Аксиомы вероятности

1. Р(А) – число от 0 до 1
2. Р(S) = 1; P(U) = 1; P(V) = 0
3. Если А и В несовместны, то
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
На основе этих аксиом строится вся теория
вероятности.
Из аксиомы 3 следует: Р(А) = 1 – Р(А)

8. Как вычислить вероятность?

Есть 2 подхода:
1. На основе рассуждений
(априорные вероятности, то есть
«до опыта»).
2. На основе опыта
(апостериорные вероятности, то есть
«после опыта»).

9. 1. Априорное (классическое) определение вероятности

Если результат опыта можно представить в
виде группы равновозможных гипотез
(исходов), то вероятность события А равна:
Р(А) = m/n,
где m – число исходов, благоприятствующих
событию А;
n – общее число всех возможных исходов.

10. 2. Апостериорное (статистическое) определение вероятности

Вероятность события А равна:
Р(А) = lim m/n
n→∞
где m – количество появлений события А;
n – количество испытаний при достаточно
большом их числе

11. Условная вероятность

Пусть вероятность события А зависит от того,
произошло или не произошло событие В.
Такие события называются зависимыми.
Такая вероятность называется условной:
Р(А|В) - вероятность А при условии В
или
РВ(А)
Формула для вычисления условной вероятности:
Р(А|В) = Р(АВ) / Р(В)

12. Независимые события

События называются независимыми, если
наступление одного из них не изменяет
вероятности второго.
То есть, когда:
Р(А|В) = Р(А)

13. Умножение вероятностей

а) Независимые события
Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В)
Р(А1А2…Аn) = Р(А1) ∙ Р(А2) ∙ … ∙ Р(Аn)
б) Зависимые события
Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(B|A)
Р(А1А2…Аn) = Р(А1) ∙ Р(А2|A1) ∙ Р(А3|A1A2) ∙ …

14. Сложение вероятностей

а) Совместные и независимые события
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)
Р(А + В + С) =
= Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(ВС) – Р(АС) + Р(АВС)
Р(А + В + С + D) =
= Р(А) + Р(В) + Р(С) + Р(D) –
– Р(АВ) – Р(AС) – Р(AD) – Р(BC) – Р(BD) – Р(СD) +
+ Р(АВС) + Р(АВD) + Р(AСD) + Р(ВСD) – P(ABCD)

15. Сложение вероятностей

б) Совместные и зависимые события
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) ∙ Р(В|А)

16. Сложение вероятностей

в) Несовместные события
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
Р(А1 + А2 + … + Аn) = Р(А1) + Р(А2) + … + Р(Аn)

17. Сложение вероятностей

г) Противоположные события
Р(А) + Р(А) = 1
д) Группа гипотез
Р(Н1) + Р(Н2) + … + Р(Нn) = 1

18. Формула полной вероятности

Пусть Н1, Н2, … , Нn – группа гипотез.
Пусть событие А может наступить лишь при
условии появления одной из гипотез.
Тогда вероятность события А равна:
Р(А) = Р(Н1)∙Р(А|Н1) + Р(Н2)∙Р(А|Н2) +…+Р(Нn)∙Р(А|Нn)

19. К формуле полной вероятности

Н1
Н4
Н2
Н3

20. К формуле полной вероятности

А

21. К формуле полной вероятности

Н1
А
Н2
Н3
Н4

22. К формуле полной вероятности

А Н1
А
Н2
А
Н3
А
Н4
Р(А) = Р(Н1)∙Р(А|Н1) + Р(Н2)∙Р(А|Н2) +
+ Р(Н3)∙Р(А|Н3) + Р(Н4)∙Р(А|Н4)

23. Формула Байеса

Пусть Н1, Н2, … , Нn – группа гипотез.
Пусть событие А может наступить лишь при
условии появления одной из гипотез.
Проведён опыт, в результате которого появилось
событие А.
Тогда вероятность того, что событие А произошло в
результате определённой гипотезы Нi , равна:
Р( Н i | A)
P( H i ) P( A | H i )
n
P( H
j 1
j
) P( A | H j )

24.

В формуле Байеса:
Дано:
Р(Нi) – априорная вероятность гипотезы Нi (насколько
вероятна причина вообще Нi, то есть до опыта);
Р(A|Нi) – вероятность события А при истинности
гипотезы Нi.
Найти:
Р(Нi|A) – апостериорная вероятность гипотезы Нi
(насколько вероятна причина Нi с учетом факта
происшедшего события А, то есть после опыта);
Итак, формула Байеса позволяет переставить причину
и следствие, то есть
по известному факту события вычислить вероятность
того, что оно было вызвано конкретной заданной
причиной.

25. Пример применения формулы Байеса

По линии связи посылаются сигналы 1 и 0 с
вероятностями 0,6 и 0,4.
Если посылается сигнал 1, то с вероятностями
0,9 и 0,1 принимаются сигналы 1 и 0.
Если посылается сигнал 0, то с вероятностями
0,3 и 0,7 принимаются сигналы 1 и 0.
Какова условная вероятность того, что
посылается сигнал 1 при условии, что
принимается сигнал 1?

26. Решение

Рассматриваем гипотезы:
• Н1 – посылается сигнал 1; Р(Н1) = 0,6
• Н2 – посылается сигнал 0; Р(Н2) = 0,4
Рассматриваем зависимые события:
• А|Н1 – принят сигнал 1 при условии, что послан сигнал 1; Р(А|Н1) = 0,9
• А|Н2 – принят сигнал 1 при условии, что послан сигнал 0; Р(А|Н2) = 0,3
• Н1|А – послан сигнал 1 при условии, что принят сигнал 1; Р(Н1|А) = ?
По формуле Байеса: