Работа и мощность силы. Консервативные силы, работа консервативных сил. Потенциальная и кинетическая энергия

1. Общая физика Механика Работа, мощность, энергия. Законы сохранения.

2.

Лекция 5
Работа и мощность силы. Консервативные силы, работа
консервативных сил. Потенциальная и кинетическая энергия
Энергия — универсальная мера различных форм движения и
взаимодействия.
Энергия бывает: механическая, тепловая, электромагнитная,
ядерная и др.
Работа силы – количественная
характеристика процесса
обмена энергией между взаимодействующими телами.
Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная
сила F, которая составляет некоторый угол a с направлением
перемещения, то работа этой силы:
A Fs s Fs cos .
2

3.

Работа. Мощность. Энергия.
При криволинейном движении сила может изменяться как по
модулю, так и по направлению.
Пусть на материальную точку действует сила F, и под действием этой
сила произошло перемещение по некоторой траектории из точки 1 в
точку 2. В общем случае сила F меняется в процессе движения.
Действие силы F на перемещении dr характеризуют величиной,
равной скалярному произведению Fdr, эту величину называю
работой силы F на перемещении dr:
dA = Fdr =F cos ds=Fs ds
где α – угол между вектором силы и
перемещения, ds – элементарный отрезок
пути, Fs – проекция вектора силы на
перемещение.

4. Работа. Мощность. Энергия.

Работа А – величина алгебраическая: в зависимости от угла между
силой и перемещением работа может быть как положительной,
отрицательной так и равной нулю. Если же необходимо определит
работу, совершенную силой F на всей траектории необходимо
2
2
вычислить интеграл:
A Fdr Fs ds
1
1
Построив график зависимости проекции
силы Fs от положения материальной
точки (s) на траектории. Можно придти к
выводу, что графически элементарная
работа dA будет выглядеть как площадь
под графиком между двумя точками. При
этом площадь над осью s будет
положительной, а под ней
отрицательной.
Единица работы — джоуль (Дж):
1 Дж — работа, совершаемая
силой 1 Н на пути 1 м (1 Дж=1 Н
м).

5. Работа. Мощность. Энергия.

На практике часто имеет значение не само значение работы, а то время,
за которое данная работа была выполнена. Поэтому вводится
величина, характеризующая работу, совершаемую в единицу времени
– мощность.
A
N
t
Если работа, совершаемая за одинаковые промежутки времени не
одинакова то можно определить мгновенную мощность:
A dA
t 0 t
dt
N lim
Пусть за время dt точка получает перемещение dr. Тогда элементарная
работа равна dA=Fdr и мощность можно представить в виде:
dA Fdr
N=
=
=Fv
dt
dt
Единица мощности — ватт (Вт):
1 Вт — мощность, при
которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

6. Работа. Мощность. Энергия.

Если в каждой точке пространства на помещенную туда материальную
точку действует сила, то говорят, что материальная точка находится в
поле сил.
Поле, остающееся постоянным во времени, называют
стационарным.
Стационарные силовые поля, в которых работа не зависит от пути
между точками 1 и 2, называют консервативными.
Силы, не являющиеся консервативными,
называют
неконсервативными или диссипативными.
Силы, зависящие только от расстояния между
взаимодействующими частицами и направленные по прямой,
проходящей через эти частицы называют центральными

7.

Работа. Мощность. Энергия.
Потенциальная энергия — механическая энергия
системы тел, определяемая их взаимным расположением и
характером сил взаимодействия между ними.
Потенциальная энергия есть функция состояния системы. Она
зависит только от конфигурации системы и от ее положения по
отношению к внешним телам.
Примеры потенциальной энергии.
1. Потенциальная энергия тела массой m, поднятого над
землей на высоту
h:
W mgh.
2. Потенциальная энергия пружины, растянутой на длину x :
kx 2
W
.
2
7

8. Работа. Мощность. Энергия.

Тот факт, что работа консервативных сил зависит только от начального
и конечного положения материальной точки, дает возможность
сопоставить полю некоторую функцию координат(радиус-вектора)
U(r).
2
A12 Fdr U 1 -U 2
1
Таким образом, работа сил поля на пути 1-2 равна убыли
потенциальной энергии материальной точки в данном поле.

9.

Работа. Мощность. Энергия.
Для этого достаточно вычислить работу, совершаемую силами поля на
любом пути между точками, и представить ее в виде убыли некоторой
функции, которая и есть потенциальная энергия U(r). Именно так и
были получены работы в полях упругой, гравитационной и
кулоновской сил
В поле упругой силы:
kr 2
U(r)
2
В кулоновском поле материальной точки:
U(r)
r
В однородном поле силы тяжести:
U(z)=mgz

10.

Работа. Мощность. Энергия.
При перемещении материальной точки из одной точки поля
консервативных сил в другую работа сил поля равна убыли
потенциальной энергии. В случае элементарного перемещения
получим:
Fdr=-dU
Так как Fdr=Fsds имеем: F ds=-dU Отсюда: Fs
s
U
s
В декартовых координатах это соотношение имеет вид:
U U
U
F
i
j
k
y
z
x
Величину, стоящую в скобках, называют градиентом скалярной
функции U и обозначают grad U или U
F U

11.

Работа. Мощность. Энергия.
Найдем элементарную работу, которую совершает эта сила при
элементарном перемещении dr
mv2
dv
dv
dA=Fdr =m dr =m dtv=mvdv = mvdv=d
dt
dt
2
Отсюда видно, что работа результирующей силы F идет на приращение
некоторой величины, которую называют кинетической энергией:
mv 2
T=
2
Таким образом, при конечном перемещении из точки 1 в точку 2:
T2 -T1 =A12
приращение кинетической энергии частицы на некотором перемещении равно
алгебраической сумме работ всех сил, действующих на материальную точку на
том же перемещении.

12.

Работа. Мощность. Энергия.
Результирующая всех сил может быть представлена как
F=Fконс.+Fстор.
Тогда работа этих сил идет на приращение кинетической энергии:
Аконс.+Астор.
Так же работа сил консервативного поля равна убыли потенциальной
энергии
Аконс.=-ΔU.
В итоге получаем:
ΔT=-ΔU+Aстор.
Δ(T+U)=Астор.
Из этого соотношения видно, что работа сторонних сил идет на
приращение величины
T+U.
Эту величину – сумму кинетической и потенциальной энергий –
называют полной механической энергией материальной точки и
обозначают Е.

13.

Лекция 6.
Закон сохранения энергии. Закон сохранения импульса. Момент
импульса, закон сохранения момента импульса.
Закон сохранения энергии
Полная механическая энергия, как и потенциальная, определяется с
точностью до произвольной постоянной.
Изменение полной механической энергии материальной точки
обусловлено совершением над ней работы сторонними силами.
Отсюда непосредственно следует закон сохранения механической
энергии: если сторонние силы отсутствуют или таковы, что не
совершают работы в течении интересующего нас времени, то полная
механическая энергия частицы в стационарном поле консервативных
сил остается постоянной за это время.
E=T+U const

14.

Законы сохранения.
Если же рассматривать не одну материальную точку, а систему, то помимо
потенциальной энергии во внешнем поле сил необходимо также
учитывать энергию взаимодействия между отдельными материальными
точками системы
E2 -E1 =A
дис.
внутр.
+Авнеш.
Механическая энергия замкнутой системы, в которой не
действуют диссипативные силы, сохраняется в процессе
движения т.е
E=T+Uсоб. const

15.

Законы сохранения.
Механические системы, на тела которых действуют только
консервативные силы (внутренние и внешние), называются
консервативными системами.
Закон сохранения механической энергии можно
сформулировать еще так:
«в консервативных системах полная механическая энергия
сохраняется».
Диссипативные системы – это такие, в которых
механическая энергия постепенно уменьшается за счет
преобразования в другие формы энергии.
Процесс уменьшения механической энергии за счет
преобразования в другие формы энергии получил название
диссипации (или рассеяния) энергии.
15

16.

Законы сохранения.
Закон сохранения и превращения энергии —
фундаментальный закон природы:
«энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь
превращается из одного вида в другой».
В этом и заключается физическая сущность закона сохранения
и превращения энергии — сущность неуничтожимости материи
и ее движения.
16

17.

Законы сохранения.
Закон сохранения импульса
Любое тело или совокупность тел представляет собой систему
материальных точек. Для описания системы материальных точек
необходимо знать закон движения каждой материальной точки
системы, т.е. знать зависимость координат и скоростей каждой
материальной точки от времени. Оказывается, есть общие
принципы, которые можно применить к описанию системы в целом.
Это законы сохранения. Существуют такие величины, которые
обладают свойством сохраняться во времени. Среди этих величин
наиболее важную роль играют энергия, импульс и момент импульса.
Эти три величины имеют важное общее свойство аддитивности: их
значения для системы, равно сумме значений для каждой из частей
системы в отдельности.
По определению, импульс материальной точки:
p =mv
где m и v – ее масса и скорость.

18. Законы сохранения.

Воспользовавшись определением импульса, запишем второй закон
Ньютона в иной форме:
mw =m
dv d(mv) dp
=
=
=F
dt
dt
dt
т.е. производная импульса материальной точки по времени равна
результирующей всех сил действующих на материальную точку.
Например если F=0 то p=const.
Это уравнение позволяет найти приращение импульса материальной
точки за любой промежуток времени, если известна зависимость силы F
t
от времени:
p2 p1 Fdt
0
Таким образом, приращение импульса частицы за любой промежуток
времени зависит не только от значения силы, но и от
продолжительности ее действия

19. Законы сохранения.

Материальные точек, входящие в систему могут взаимодействовать, как
между собой, так и с другими телами не входящими в систему. В
соответствие с этим
силы взаимодействия между материальными точками системы
называются внутренними,
а силы обусловленные взаимодействием с телами не входящими в
систему называются внешними.
В случае если на систему не действуют внешние силы, она называется
замкнутой.
Импульс системы определим, как векторную сумму импульсов ее
отдельных частей:
p pi

20. Законы сохранения.

Рассмотрим импульс системы состоящей из двх материальных точек.
Тогда импульс такой системы равен p=p1+p2. Напишем для каждой
материальной точки второй закон Ньютона:
dp1
=F12 +F1 ,
dt
dp2
=F21 +F2
dt
Сложим эти два уравнения вместе.
Сумма внутренних сил будет равна
нулю (по третьему закону Ньютона,
F12=-F21), вследствие чего получим:
d
dp
(p1 +p 2 )=
=F1 +F2
dt
dt

21. Законы сохранения.

Если на систему не действуют внешние силы то получается, что
dp
0
dt
следовательно для замкнутой системы р постоянен.
Аналогичные рассуждения можно обобщить и на систему из N
материальных точек. Закон сохранения импульса формулируется
следующим образом:
импульс замкнутой системы материальных точек остается
постоянным.
Импульс остается постоянным и для не замкнутой системы при
условии, что внешние силы, действующие на материальные точки
системы, в сумме дают ноль. Даже если сумма внешних сил не равна
нулю, но проекция этой суммы на некоторую ось равна нулю, то
проекция импульса системы на эту ось будет оставаться постоянной.

22.

Упругие и неупругие соударения
Уда́ р — толчок, кратковременное взаимодействие тел, при котором
происходит перераспределение кинетической энергии. В физике
под ударом понимают такой тип взаимодействия движущихся тел,
при котором временем взаимодействия можно пренебречь. Во
время столкновения тел между ними действуют кратковременные
ударные силы, величина которых, как правило, неизвестна.
Поэтому нельзя рассматривать ударное взаимодействие
непосредственно с помощью законов Ньютона.
Применение законов сохранения энергии и импульса во многих
случаях позволяет исключить из рассмотрения сам процесс
столкновения и получить связь между скоростями тел до и после
столкновения, минуя все промежуточные значения этих величин.
В механике часто используются две модели ударного
взаимодействия – абсолютно упругий и абсолютно неупругий
удары.

23.

Абсолютно упругий удар — модель соударения, при которой полная
кинетическая энергия системы сохраняется. В классической механике
при этом пренебрегают деформациями тел. Соответственно, считается,
что энергия на деформации не теряется, а взаимодействие
распространяется по всему телу мгновенно. Хорошей моделью
абсолютно упругого удара является столкновение бильярдных шаров
или упругих мячиков. Математическая модель абсолютно упругого удара
работает примерно следующим образом:
1. Есть в наличии два абсолютно твердых тела, которые сталкиваются
2. В точке контакта происходят упругие деформации. Кинетическая
энергия движущихся тел мгновенно переходит в энергию деформации.
3. В следующий момент деформированные тела принимают свою
прежнюю форму, а энергия деформации вновь переходит в
кинетическую энергию.
4. Контакт тел прекращается и они продолжают движение.

24.

Абсолютно упругие удары при различных условиях

25.

Для математического описания простейших абсолютно упругих ударов,
используется закон сохранения энергии и закон сохранения импульса.
Здесь m1, m2 - массы первого и второго тел. u1, v1 - скорость первого
тела до, и после взаимодействия. u2, v2 - скорость второго тела до, и
после взаимодействия.
Важно, что импульсы складываются векторно, а энергии скалярно.
Законы абсолютно упругого удара могут выполняться совершенно
точно при столкновениях элементарных частиц низких энергий. Это
следствие принципов квантовой механики, запрещающей
произвольные изменения энергии системы. Если энергии
сталкивающихся частиц недостаточно для возбуждения их внутренних
степеней свободы, то механическая энергия системы не меняется.

26.

Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при
котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно
тело.
При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она
частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел (нагревание).
При абсолютно неупругом ударе импульс сохраняется согласно соотношению
где v - это общая скорость тел, полученная после удара, ma - масса первого тела, ua скорость первого тела до соударения, mb - масса второго тела, ub -скорость второго
тела до соударения. Важно, что импульсы являются величинами векторными,
поэтому складываются только векторно.

27.

3.3. Соударения тел
Определения:
Удар (или соударение)—это столкновение двух или более тел,
при котором взаимодействие длится очень короткое время.
Центральный удар – такой, если тела до удара движутся
вдоль прямой, проходящей через их центры масс.
Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в
результате которого в обоих взаимодействующих телах не
остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой
обладали тела до удара, после удара снова превращается в
кинетическую энергию.
Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в
результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как
единое целое.
27

28.

Для абсолютно упругого удара справедливы законы:
Закон сохранения импульса:
m1V1 m2v 2 m1v 1' m2v 2' ;
Закон сохранения механической энергии:
m1V12 m2V22 m1V1' 2 m2V2' 2
;
2
2
2
2
28

29.

Решая совместно два уравнения, получим выражения для
скорости тел после удара:
(m1 m2 )v 1 2m2v 2
V
;
m1 m2
'
1
(m2 m1 )v 2 2m1v 1
V
.
m1 m2
'
2
29

30.

Абсолютно неупругий удар
Закон сохранения импульса:
m1V1 m2v 2 (m1 m2 )v ;
m1V1 m2v 2
v
.
m1 m2
В частном случае, если массы шаров равны (т1=т2), то
(V1 V2 )
v
.
2
Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v2=0), то
m1V1
v
.
m1 m2
30

31.

Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической
энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии.
Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v2=0), то
31

32.

«Импульс в замкнутой системе не изменяется с течением
времени».
p
n
m v
i 1
i
i
const
Закон сохранения импульса является следствием однородности
пространства:
при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы
тел как целого ее физические свойства не изменяются.
Замкнутой (изолированной) называется такая механическая
система тел, на которую не действуют внешние силы.
32

33.

Закон движения центра масс.
Центром масс (или центром инерции) системы
материальных точек называется воображаемая точка С,
положение которой характеризует распределение массы этой
системы.
n
rC
m r
i i
i 1
— радиус-вектор системы,
m
где mi и ri — соответственно масса и радиус-вектор i-й
материальной точки;
n — число материальных точек в системе.
m
n
m
i 1
i
— масса системы.
33

34.

Скорость центра масс:
n
dri
mi
drC
dt
i 1
vC
dt
m
n
m v
i
i 1
m
i
.
n
Учитывая, что
записать:
pi = mivi ,
a
p
i 1
i
есть импульс р системы, то можно
p mvC .
Импульс системы равен произведению массы системы на
скорость ее центра масс.
34

35.

dvC
m
F1 F2 ... Fn ,
dt
т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в
которой сосредоточена масса всей системы и на которую
действует сила, равная геометрической сумме всех внешних
сил, приложенных к системе.
Закон движения центра масс:
«центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно
и равномерно, либо остается неподвижным».
35

36.

37. Законы сохранения. 4.6

Момент импульса относительно точки О равен:
L= r,p m r,v
где r – радиус-вектор, проведенный из точки О в
ту точку пространства, в которой находится
материальная точка. Из этого определения
следует, что L является аксиальным вектором. Его
направление выбрано так, что вращение вокруг
точки О направлении вектора р и вектор L
образуют правовинтовую систему. Модуль вектора
L равен:
L=rp sin lp
где α – угол между r и р, l=rsinα – плечо вектора
р относительно точки О

38. Законы сохранения. 4.7

Момент импульса материальной точки может изменяться со
временем, продифференцировав выражение для момента импульса,
можно определить причину вызывающую изменение момента
импульса
dL
= dr dt ,p + r, dp dt
dt
Первое слагаемое в правой части равенства обращается в ноль так,
как dr/dt=v, а скорость параллельна импульсу р. Далее, согласно
второму закону Ньютона, dp/dt=F, получаем:
dL
= r ,F
dt
Величину, стоящую в правой части этого уравнения, называют
моментом силы F относительно точки О. Обозначим ее буквой М:

39. Законы сохранения. 4.8

M= r,F
Модуль этого вектора равен
M=lF.
Таким образом производная от момента импульса относительно
некоторой точки О равна моменту М равнодействующей силы
относительно той же точки О
dL
=M
dt
Это уравнение называют уравнением моментов. Из
уравнения моментов, в частности, следует, что если
М=0, то L=const. Другими словами, если
относительно некоторой точки О выбранной системы
отсчета момент всех сил, действующих на частицу,
равен нулю в течение интересующего нас промежутка
времени, то относительно этой точки момент
импульса частицы остается постоянным в течение
этого времени.

40. Законы сохранения. 4.9

Для определения приращения момента импульса частицы относительно
точки О за любой промежуток времени, если известна зависимость
от времени момента силы необходимо проинтегрировать выражение
dL=Mdt. В результате найдем приращение вектора L за конечный
t
промежуток времени t:
L2 -L1 Mdt
0
Момент импульса системы - векторная сумма моментов
импульсов ее отдельных частиц:
L Li
Подобно тому, как это делалось для импульса системы. Рассмотрим
случай системы состоящей из двух материальных точек.

41. Законы сохранения. 4.10

Момент внутренней силы действующей на 1 частицу со стороны второй
обозначим M12, результирующий момент внешних сил действующих на
эту частицу M1. Аналогично введем обозначения и для второй
материальной точки M21 и M2. Тогда уравнения моментов для
материальных точек системы будут выглядеть следующим образом:
d
d
L1 =M12 +M1 ,
L 2 =M 21 +M 2
dt
dt
Сложив эти выражения получим:
d
(L1 + L 2 )=M12 + M 21 +M1 +M 2
dt
Рассмотрим сумму двух первых слагаемых в правой части :
M12 +M21 = r1,F12 + r2 ,F21 = r1,F12 - r2 ,F12 = r1 -r2 ,F12 r12 ,F12 0

42. Законы сохранения. 4.11

Радиус-вектор r12 коллинеарен силе F12, поэтому векторное произведение
этих двух векторов равно нулю. Таким образом, получаем:
dL
M1 M 2 M
dt
Данное соотношение можно обобщить на систему из произвольного
числа материальных точек. Следовательно, получаем, что изменение
момента импульса системы обусловлено действием на нее момента
внешних сил. Если же внешние силы не действуют, то момент импульса
остается постоянным. Таким образом, мы пришли к закону сохранения момента
импульса:
момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.