Понятие производной. Сферы применения производной

1.

2. Творческое название Гимн производной

Флюксия! Слово прекрасное, может,
волшебное?
Флюксия! Петь даже хочется что-то
душевное.
Флюксия! Точки экстремума: минимум,
максимум.
Флюксия! Флюксия! Флюксия!

3. Цель проекта:

Повторить понятие производной;
Выявить сферы применения производной;
■ Умение самостоятельно находить, изучать и
обобщать учебный материал.
■ Умение применять полученные знание в
нестандартных и жизненных ситуациях.
■ Научиться составлять и решать задачи с
применением производной.

4. Основополагающий вопрос

Значит
изучать
производную
нам нужно?

5.

Типология проекта:
обобщающий, с элементами
исследования
Категория учащихся:
10 класс
Предметные области:
алгебра и начала анализа,
геометрия, физика, химия,
география, экономика, биология,
история.

6. ПРОБЛЕМНЫЕ ВОПРОСЫ

История возникновения производной.
Задачи, приводящие к применению
производной.
Понятие производной.
Геометрический смысл производной.
Физический смысл производной.
Уравнение касательной к графику
функции.

7.

Мы изучаем производную. А так ли это важно в жизни?
«Дифференциальное исчисление- это описание
окружающего нас мира, выполненное на
математическом языке. Производная помогает нам
успешно решать не только математические
задачи, но и задачи практического характера в
разных областях науки и техники.»

8.

Г. Лейбниц
Г.Галилей
И. Ньютон
Ж. Лагранж
Р. Декарт
Л. Эйлер

9. Начнём...

Производная – одно из
фундаментальных понятий
математики. Оно возникло в 18
веке. Независимо друг от друга
И.Ньютон и Г. Лейбниц разработали
теорию дифференциального
исчисления.

10.

История появления
производной
В конце 18 века великий
Это открытие
английский
учёный Исаак Ньютон
доказал что путь и скорость
Ньютона
стало
связаны между
собой формулой:
V(t)=S’(t)
и такая пунктом
связь
поворотным
в
существует между
количественными
истории
характеристиками самых
естествознания.
различных процессов
исследуемых: физикой, химией,
биологией, и техническими
науками.

11.

История появления
производной
К этим законам Лейбниц
Честь открытия
пришел,
решаязаконов
задачу
основных
проведения
касательной к
математического
произвольной
кривой,
анализа наравне
с т.е.
сформулировал
Ньютоном
принадлежитсмысл
геометрический
немецкомучто значение
производной,
математику
Готфриду
производной
в точке
касания
Вильгельму
есть угловой коэффициент
Лейбницу.
касательной или tg угла
наклона касательной с
положительным
направлением оси ОX.

12.

История появления
производной
Термин
производная и
современные
обозначения y’ , f ’
ввёл Ж.Лагранж в
1797г.

13. А кстати

Большой вклад в изучение дифференциального
исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж,
Эйлер, Гаусс, Коши.
Необходимо сказать, что ни Ньютон ни Лагранж не
дали четкого определения производной.
Впервые определение производной
было сформулировано Коши, и именно
это определение стало общепринятым
и в настоящее время используется почти
во всех курсах анализа.

14.

САМОПРОВЕРКА!!!
Найдите производные функций.
1
f ( x) = 3 cos x - x
3
f ( x) = (3 cos x - x ) = 3(cos x) - ( x ) =
3
= -3 sin x - 3x
3
2
f
± g
f
=
g
)
( ±
(cos x) = -sin x
(c·f ) = c·f
( x ) = n ·x
n
n -1

15.

САМОПРОВЕРКА!!!
4 5
5 2
4
2 f ( x) = x - 2 x x - x - 2
5
4
4 4
5
3
f ( x) = 5 x - 2 4 x 2 x - 1 - 0 =
5
4
5
4
3
= 4x - 8x x - 1
2
x = 1
c = 0

16.

САМОПРОВЕРКА!!!
3
f ( x) = 2 sin 3x
f ( x) = 2 cos 3x (3x) =
= 2 cos 3x 3 = 6 cos 3x
(sin U ) = cos U . U

17.

САМОПРОВЕРКА!!!
Преобразуем:
5
-3
4 f ( x) =
3 = 5(1 - 2 x)
(1 - 2 x)
f ( x) = 5 (-3) (1 - 2 x)
-3-1
-4
(1 - 2 x) =
= -15 (1 - 2 x) (-2) = 30 (1 - 2 x)
n1
n
(U ) = U .U
-4

18.

ЗНАНИЕ ТЕОРИИ ОБЯЗАТЕЛЬНО!!!
0
s
S(t) за время t
S (t) = V(t) V (t) = a(t)
S(t) - перемещение точки за время
tV(t) – скорость точки в момент t
a(t) – ускорение точки в момент t

19.

ЗНАНИЕ ТЕОРИИ ОБЯЗАТЕЛЬНО!!!
f '(x₀) = tg α = к
угловой
коэффициент
касательной
значение
производной в
точке Х₀
тангенс угла
наклона
касательной к
положительному
направлению оси
ОХ

20.

21.

«Если продолжить одно
из маленьких звеньев
ломаной,
составляющей кривую
линию, то эта
продолженная таким
образом сторона будет
называться
касательной к кривой.»

22. Касательная к кривой.

23.

- это угловой коэффициент касательной.
Р1
Р

24.

При х 0 угловой коэффициен т секущей к угловому
коэффициен ту касательной.
y
y = f (x)
y
= tg = k
x
Р1
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
y
y
0
y = kx b
Р
х0
х х0
х
х
Секущая стремится занять положение касательной.
То есть, касательная есть предельное положение
секущей.

25.

y
y = f (x)
y
0
х0
х
0
х
х
Угловой коэффициент касательной можно найти как
предел выражения:
f ( x ) - f ( x0 )
k ( x) = lim
x x
x - x0
0

26.

y = f (x)
y
y
= tg = k
x
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
y
y = kx b
y
Обозначение:
0
х0
х
0 х
х
f (x)
Производной функции f ( x) в точке х0 называется
f ( x)
число, к которому стремится отношение
при х 0.
x

27.

y
y = f (x)
f ( x) = tg = k
y = kx b
y
0
х0
х
0
х
k – угловой
коэффициент
прямой(касательной)
х
Геометрический смысл производной
Производная от функции в данной точке равна
угловому коэффициенту касательной, проведенной к
графику функции в этой точке.

28.

Найдите угловой коэффициент касательной,
проведенной к графику функции в точке с
абсциссой.
y = cos 2 x
x0 =
4
f '(x₀) = tg α = к
Решение
.
y = (cos 2 x) = - sin 2 x (2 x) = -2 sin 2 x
к = y ( ) = -2 sin( 2 ) = -2
4
4
Угловой коэффициент касательной
равен -2 .

29.

30.

Будем вслед за итальянским
учёным Г.Галилеем изучать
закон свободного падения тел.
Поднимем камешек и затем из
состояния покоя отпустим его.
Движение свободно падающего
тела явно неравномерное.
Скорость v постепенно
возрастает. Но как именно
выглядит зависимость v(t) ?

31.

Фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение
скорости v(t). Пусть h – небольшой промежуток времени,
прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдёт
путь, равный s(t+h)-s(t).
Если промежуток времени h очень мал, то приближённо
s(t+h)-s(t)≈v(t)·h, или s (t h) - s (t ) v (t ) , причём
h
последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h.
Значит величину v(t) скорости в момент t можно
рассматривать как предел, к которому стремится отношение,
выражающее среднюю скорость на интервале времени от
момента t до момента t+h.
Сказанное записывают в виде
s (t h) - s (t )
v(t ) = lim
h 0
h

32. Задача о теплоёмкости тела

Если температура тела с массой в 1 кг повышается от t1 = 0
до t2 = τ, то это происходит за счёт того, что телу сообщается
определённое количество тепла Q; значит Q есть функция
температуры τ, до которой тело нагревается: Q=Q(τ).
Пусть температура повысилась с τ до τ +Δτ.
Количество тепла ΔQ, затраченное для этого
нагревания равно:
ΔQ=Q(τ+Δτ)-Q(τ).
Q
Отношение есть количество тепла,
которое необходимо «в среднем» для
нагревания тела на 1 . Это отношение
называется средней теплоёмкостью, которая
не даёт представления о теплоёмкости для
любого значения температуры τ.
Теплоёмкостью при температуре τ называется предел отношения приращения
количества тепла ΔQ к приращению
температуры Δτ.( при Δτ →0)

33.

Задача. Вычислить
количество теплоты,
которое необходимо для
того, чтобы нагреть 1 кг
вещества от 0 градусов до
t градусов (по Цельсию).

34. Решение

Пусть Q=Q(t).
Рассмотрим малый отрезок [t; t+ t],
на этом отрезке
Q=c(t) • t
c(t)= Q/ t
При t 0 lim Q/ t =Q′(t)
t 0
c(t)=Q′(t)

35. Задача о мгновенной величине тока

Обозначим через q = q(t) количество
электричества, протекающее через поперечное
сечение проводника за время t.
Пусть Δt – некоторый промежуток времени, Δq =
q(t+Δt) – q(t) – количество электричества,
протекающее через указанное сечение за
промежуток времени от момента t до момента t +
Δt. Тогда отношение q называют средней силой
t
тока.
Мгновенной силой тока в момент времени t
называется предел отношения приращения
количества электричества Δq ко времени Δt, при
условии, что Δt→0.
q
I (t ) = lim I ср = lim
t 0
t 0 t

36. Исаак Ньютон (1643 – 1727)

«Когда величина является максимальной
или минимальной, в этот момент она не
течет ни вперед, ни назад.»

37.

Используя слово «предел», можно
сказать, что мгновенная скорость
в точке t – это предел средней
скорости при стягивании отрезка,
на котором она изменяется, в
точку t или в символической записи
S (t1 ) - S (t )
v(t ) = lim
t t
t1 - t
1
- это скорость

38.

х
vср . =
t
Δх – перемещение тела
Δt – промежуток времени
в течение которого выполнялось
движение
При t 0 vcр. к мгновенной скорости v(t ),
следовательно, v(t ) = S (t ).
S (t ) = v(t ) или х (t ) = v(t )
V (t) = a(t)
.

39.

1. Материальная точка движется по
закону
9 2
S (t ) = t - 7t 6 (м).
2
Найти
В какой момент времени (с) скорость
точки будет равна 12,8 м/c ?
Решение.
S (t) = V(t)
Найти
S (t ) = 9t - 7 = V (t )
V (t ) = 12,8
9t - 7 = 12,8
9t = 19,8 t = 2,2 (с).

40.

2. Материальная точка движется по
закону
2 3
S (t ) = t - 5t 6 (м).
3
(м/с2) в момент
Чему равно ускорение
S (t) = V(t)
V (t) = a(t)
t =2
времени t=2 с ?
Решение.
S (t ) = 2t - 5 = V (t )
2
V (t ) = 4t = a(t )
V (2) = 4 2 = 8 = a(2)
Ускорение равно 8 (м/с2).

41. Примеры использования в формулах

1) V(t)=X`(t)-скорость
2) а(t)=V`(t)-ускорение
3) I(t)=q`(t)-сила тока
4) с(t)=Q`(t)-теплоёмкость
5) N(t)=A`(t)-мощность

42.

43.

Определение производной
Производная – основное
понятие в математике,
характеризующее скорость
изменения функции в
данной точке.

44.

Задача о скорости химической реакции
Средняя скорость растворения соли в воде за
промежуток времени [t0;t1] (масса соли,
растворившейся в воде изменяется по закону
х = f(t)) определяется по формуле
х f (t1 ) - f (t0 )
.
vср =
t
=
t1 - t0
Скорость растворения в данный
момент времени
v(t0 ) = f (t0 )

45.

Определение скорости
химической реакции.
Скоростью химической
реакции называется
изменение концентрации
реагирующих веществ в
единицу времени.

46.

Зачем нужна производная в
реакциях?
Так как скорость химической
реакции V непрерывно
изменяется в ходе процесса,
её обычно выражают
производной концентрации
реагирующих веществ по
времени.

47.

Формула производной в
химии.
Если C(t)- закон изменения
количества вещества,
вступившего в химическую
реакцию, то скорость V(t)
химической реакции в момент
времени t равна производной:
V(t)= C`(t)

48.

Понятие производной.
Понятие на
языке химии
Обозначение
Понятие на
языке
математики
Количество вва в момент
времени t0
C= C(t)
Функция
Интервал
времени
∆t = t2 – t1
Приращение
аргумента
Изменение
количества
в-ва
∆c = c(t+ t ) – Приращение
функции
c(t)
Средняя
скорость
химической
реакции
∆c/∆t
Отношение
приращённой
функции к
приращённому
аргументу.

49.

Определение скорости
реакции.
Предел отношения
приращённой функции к
приращённому аргументу
при стремлении Δt к нулюесть скорость химической
реакции в данный момент
времени

50.

Пояснение к определению.
Выражение V=c\t
Позволяет определить лишь среднюю скорость реакции за выбранный отрез
времени. Учёных же, как правило, интересует скорость в выбранный момент
времени, т.е. Так называемая мгновенная скорость химической реакции.
Она определяется как производная функции C(t):

51.

Задача
С системе CO+ Cl2
COCl2 концентрацию СО
увеличили от 0,03 до 0,12 моль/л, а
концентрацию Сl2 – от 0,02 до 0,06 моль/л. Во
сколько раз возросла скорость прямой реакции?
Дано:
С1(СО)=0,03 моль/л
С2(СО)=0,12 моль/л
С1(Cl2)=0,02 моль/л
С2(Cl2)=0,06 моль/л
V1
V2
?

52.

Решение:
CO+Cl2
COCl2
Vреакции = K1 * Cco * CCl2
K – константа скорости
С - концентрация
V1 = K1 * 0,03 * 0,02 = K1 * 0,0006 моль/л
V2 = K1* 0,12 * 0,06 = K1 * 0,0072 моль/л
V1
V2
K1 * 0,0072
=
= 12
K1 * 0,0006
Ответ: Скорость прямой реакции возросла в 12 раз

53.

Заключение.
Понятие производной очень
важно в химии, особенно при
определении скорости
течения реакции.

54.

55. Задача :

По известной зависимости
численности популяции x (t)
определить относительный
прирост в момент времени t.

56. Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно

скрещивающихся между собой и частично
или полностью изолированных от других
популяций, а также является элементарной
единицей эволюции.

57. Решение:

Понятие на языке
биологии
Обозначение
Понятие на языке
математики
Численность в
момент времени t1 x = x(t)
Функция
Интервал времени
∆t = t2 – t1
Приращение
аргумента
∆x = x(t2) – x(t1)
Приращение
функции
Изменение
численности
популяции
Скорость
изменения
численности
популяции
Относительный
прирост в данный
момент
Отношение
приращения
функции к
приращению
аргумента
∆x/∆t
Lim
t
0
∆x/∆t
Производная
Р = х‘ (t)

58.

59. Экономические задачи

Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а х количество продукции, тогда x- прирост продукции, а y приращение издержек производства.
В этом случае производная lim
x 0
y
выражает предельные
x
издержки производства и характеризует приближенно
дополнительные затраты на производство дополнительной
dTC
единицы продукции MC = dQ ,где MC – предельные
издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q
- количество.C(t)СС

60.

Экономические задачи
Аналогичным образом могут быть определены и многие другие
экономические величины, имеющие предельный характер.
Другой пример - категория предельной выручки
(MR— marginal revenue) — это дополнительный доход,
полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой
единице продукта.
Она представляет собой первую производную от выручки:
dR
MR =
dQ
При этом R= PQ,
где R–выручка (revenue); P–цена (price).
d(PQ)
= P , MR= P.
Таким образом
dQ

61. Экономические задачи

Пусть функция u(t) выражает количество
произведенной продукции за время t. Найдем
производительность труда в момент t0.
За период от t0 до t0+ t количество продукции
изменится от u(t0) до u0+ u = u(t0+ t). Тогда средняя
u
производительность труда за этот период z =
t
поэтому производительность труда в момент t0
u
z = lim
t 0 t

62. Экономика

Задание.
Оборот предприятия за истекший год описывается
через функцию U(t)=0,15t³ – 2t² + 200, где t – месяцы,
U-миллионы. Исследуйте оборот предприятия за 9 и 10
месяцы.
Решение. Исследуем оборот предприятия с помощью
производной: U'(t)=0,45t² - 4t
Меньший оборот был на девятом месяце- 0,45. На 10
месяце -5.

63. Экономика

П (t) = υ' (t) - производительность труда,
где υ (t) - объем продукции
J(x) = y' (x) - предельные издержки
производства,
где y– издержки производства в
зависимости от объема выпускаемой
продукции x.

64.

65.

Задача :
Вывести формулу для
вычисления
численности населения
на ограниченной
территории в момент
времени t.

66. ГЕОГРАФИЯ

Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит
в том, что прирост населения пропорционально числу
населения в данный момент времени t через N(t). N'(t)=kN
Модель Мальтуса неплохо действовала для описания
численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне
модель в большинстве стран не действует.
Выведем формулу для вычисления численности населен
ограниченной территории в момент времени t.

67. Решение:

Пусть у=у(t)- численность населения.
Рассмотрим прирост населения за t=t-t0
y=ky t, где к=кр – кс –коэффициент прироста
(кр – коэффициент рождаемости,
(кс – коэффициент смертности)
y/ t=ky
При t 0 получим lim y/ t=у’
у’=ку

68.

«…нет ни одной области в
математике, которая когдалибо не окажется применимой
к явлениям действительного
мира…»
Н.И. Лобачевский

69.

Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно
подчеркнуть следующее:
а) мгновенная скорость неравномерного движения есть
производная от пути по времени;
б) угловой коэффициент касательной к графику функции
в точке (x0; f(x)) есть производная функции f(x) в точке
х = х0;
в) мгновенная сила тока I(t) в момент t есть производная
от количества электричества q(t) по времени;
г) теплоёмкость С(τ) при температуре τ есть производная
от количества тепла Q(τ), получаемого телом;
д) скорость химической реакции в данный момент
времени t есть производная от количества вещества у(t),
участвующего в реакции, по времени t.

70.

е) П (t) = υ' (t) - производительность труда,
где υ (t) - объем продукции.
ж) J(x) = y' (x) - предельные издержки
производства, где y– издержки производства в
зависимости от объема выпускаемой
продукции. x.

71. ВЫВОД:

Производная нашла широкое применение:
а) в алгебре и началах анализа при исследовании
функции и построении графиков функций;
б) в физике при решении задач на нахождение
скорости неравномерного движения, плотности
неоднородного тела и др.
в) в тригонометрии при вычислении тангенса угла
наклона касательной к кривой,
а также в геометрии, астрономии, аэродинамике,
химии и экономике, биологии и медицине.

72.

73. Учёные – химики.

74. Учёные – математики.

75. Учёные – биологии.

76. Учёные – географы.

77. Учёные – исследователи.

78. Учёные – физики.

79. Учёные – экономики.