Типовые звенья

1. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ

Общие понятия
Типовыми называют идеализированные динамические звенья, свойства которых
достаточно точно аппроксимируют свойства отдельных элементов реальных
САР.
Любая САР может быть представлена в виде комбинации (последовательного
или параллельного соединения) типовых звеньев.
К числу типовых звеньев, из которых состоят линейные САР, относятся
следующие звенья с ПФ:
1. Усилительное звено
K p k
2. Интегрирующее звено
k 1
K p
p Tp
K p p 1
6. Колебательное звено
3. Дифференцирующее звено
4. Апериодическое звено
5. Форсирующее звено 1-го порядка
K p p
K p
k
Tp 1
K p
k
,
2 2
T p 2 Tp 1
7. Форсирующее звено 2-го порядка
1
K p T 2 p 2 2 Tp 1
8. Звено чистого запаздывания
K p e p

2. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ

xвх(p)
k
xвых(p)
K p k
Пропорциональное звено (усилитель)
k 1
xвых p k xвх p
Дифференциальное уравнение
w(t)=k (t)
xвых t k xвх t
Переходная функция
h(t)
– коэффициент передачи
Весовая функция
h t k 1 t k
w t
k
dh t
k t
dt
t
K j k
Частотная характеристика
L( )
АЧХ
A K j k
Область 1
20 lg k
lg
Область 2
Область 3
ФЧХ и ЛФЧХ
ЛАЧХ
0
L 20 lg k
Область 1 – при k 1
( )
lg
Область 2 – при k 1
Область 3 – при k 1

3. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ

xвх(p)
1
Tp
xвых(p)
ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ
Интегрирующее звено (интегратор)
xвых p
K p
k 1
p Tp
k
1
xвх p
xвх p
p
Tp
k [1/c] – коэффициент передачи; T [c] – постоянная времени.
Дифференциальное уравнение
Переходная функция
xвых t
t
1t
x
t
dt
k
вх
xвх t dt
T0
0
1t
1
h t 1 t dt t kt
T0
T
h(t)=kt=t/T
Весовая функция
w t
dh t 1
k
dt
T
w(t)
k=1/T
t

4. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ

Интегрирующее звено (интегратор)
Частотная характеристика
АЧХ
A K j
K j
1
1
j T Te j
1
T
2
1 j
e
T
ФЧХ
2
arg K j 2
В интеграторе выходной сигнал отстает от входного по фазе на /2, независимо от частоты
ЛАЧХ
L 20 lg
1
20 lg T
T
ЛФЧХ
2
ЛАЧХ при какой-то определенной частоте 1 равна L( 1)= –20 lg 1T. При увеличении частоты в 10 раз (на одну декаду)
L(10 1) = –20 lg 10 1T = –20 lg 1T – 20. Поскольку L( 1) – L(10 1) = 20 дБ, следовательно, ЛАЧХ интегрирующего звена
представляет собой прямую с наклоном –20 дБ/дек.
Построение ЛАЧХ производим по характерным точкам: L( )
=1
при =1 L( )= –20 lg T = 20 lg 1/T = 20 lg k.
–20 дБ/дек
20
lg
k
–1
при =1/T L( )=0.
0
lg
=1/T=k
Наклон ЛАЧХ –20 дБ/дек соответствует наклону АЧХ –1,
Интегратор не пропускает на выход высокие
частоты, являясь фильтром низких частот.
( ) 0
– /2
lg

5.

xвх(p)
p
ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ
xвых(p)
Дифференцирующее звено (дифференциатор)
c – постоянная времени
xвых p pxвх p
Дифференциальное уравнение
h(t)= (t)
K p p
w(t)= ’(t)
xвых t
Переходная функция
h t
Весовая функция
w t
t
t
Частотная характеристика
K j j e j
2
dxвх t
dt
d1 t
t
dt
dh t
t
dt
АЧХ
A K j
ФЧХ
arg K j 2
В дифференциаторе выходной сигнал опережает входной по фазе на /2, независимо от частоты .
ЛАЧХ
L 20 lg
ЛФЧХ
2
L( )
( )
+1
0
lg
/2
0
lg
=1/
Звено является помехонеустойчивым в том смысле, что оно подчеркивает высокочастотные помехи
(наиболее частые на практике): даже при малой входной амплитуде высокочастотного сигнала на выходе
можно наблюдать значительную высокочастотную составляющую

6. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ

xвх(p)
xвых(p)
1
Tp+1
ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ
Апериодическое (инерционное) звено
Tp 1 xвых p kxвх p
K p
Дифференциальное уравнение
T
касательная в точке O
h(t)=k (1–e–t/T)
w(t)=k/T e–t/T
O
Т
k [1] – коэффициент передачи;
T [c] – постоянная времени
dxвых t
xвых t kxвх t
dt
Весовая функция
hуст=k
k/T
k
Tp 1
w t k t L 1 k t
k t T
e
T
Переходная функция
t
t
t
k
k
h t w t dt e t T dt T e t T
T
T
0
0
t
k e t T 1 k 1 e t T
0
Используя выражение для переходной функции, можно определить:
h(T) = 0,632 k = 0,632 hуст
h(2T) = 0,865 hуст
h(3T) = 0,950 hуст
h(4T) = 0,982 hуст
t 3
4 T
Таким образом, переходный процесс практически закончится
при
Постоянная времени T является мерой инерционности апериодического звена. Чем меньше значение Т,
тем быстрее протекает переходный процесс.

7.

ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ
Апериодическое (инерционное) звено
K j
Частотная характеристика
АЧХ
A K j
k
k
k
e j arctg T
j T 1
1 2T 2 e j arctg T
1 2T 2
k
1 2T 2
arg K j arctg T
ФЧХ
В апериодическом звене фазовый сдвиг зависит от частоты, причем максимальный фазовый сдвиг будет
равен – /2 при .
ЛАЧХ
L 20 lg A 20 lg
k
1 T
2 2
20 lg k 20 lg 1 2T 2
Асимптотическая ЛАЧХ
При малых частотах c 1 T 2T 2 1 L 20 lg k
При больших частотах c 1 T L 20 lg k 20 lg T
L( )
20 lg k
Асимптотическая ЛФЧХ
c
0
arctg1 4
c 1 T
c
2
асимптотическая
0
0
3 дБ ошибка на
частоте сопряжения
–1
реальная
lg
с=1/T
Асимптотическая ЛАЧХ состоит из двух отрезков, пересекающихся на
оси частот в точке, соответствующей частоте c 1 T
c 1 T - частота сопряжения
arctg T
ЛФЧХ
асимптотическая
( )
0
1 декада
реальная
– /4
– /2
1 декада
с=1/T
lg

8. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ

Форсирующее звено 1-го порядка
K p p 1
c – постоянная времени
xвх(p)
xвых p p 1 xвх p
Дифференциальное уравнение
h(t)= (t)+1(t)
Переходная функция
Весовая функция:
1
АЧХ
t
xвых t
p+1
xвх(p)
xвых(p)
dxвх t
xвх t
dt
d1 t
1 t t 1 t
dt
dh t
w t
t t
dt
h t
Частотная характеристика
K j j 1 1 2 2 e j arctg
L( )
A K j 1 2 2
ФЧХ arg K j arctg
0
ЛФЧХ
L 20 lg A 20 lg 1
+1
асимптот. lg
реальная
0
ЛАЧХ
xвых(p)
p
с=1/T
2 2
arctg
1 декада
( )
/2
1 декада
асимптот.
/4
0
реальная
lg
с=1/T

9. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ

Колебательное звено
K p
k
T 2 p 2 2 Tp 1
k [1] – коэффициент усиления; T [c] – постоянная времени;
[1] – коэффициент демпфирования, характеризует
интенсивность затухания колебаний
Звено называют колебательным, если 0< <1.
При 1 звено вырождается в инерционное 2-го порядка.
При =0 звено вырождается в консервативное, при <0 звено неустойчиво.
g(p)
k
T2p2+2 Tp+1
x(p)
Часто п.ф. колебательного звена представляют в нестандартных формах:
• K p
• K p
0 – угловая частота колебательного звена;
k 02
0 1 T
p 2 2 0 p 02
k 02
p 2 2
, – коэффициент затухания и частота свободных колебаний,
могут быть определены как модули действительной и мнимой
частей полюсов п.ф. колебательного звена в результате
2
2
2
решения характеристического уравнения p 2 p 0 :
p1, 2 2 2 2 j
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p в перечисленных формах
записи п.ф., можно найти:
1
1
1 2
T
2
2
0
T
0
T
0 1 2

10.

ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ
Колебательное звено
K p
• K p
k
T1T2 p 2 T2 p 1
k
T 2 p 2 2 Tp 1
Т1, Т2 – постоянные времени [c]
Сравнение со стандартной формой записи дает:
T1T2 T 2
T2 2 T
или
T T1T2
T2
T2
1 T
2
2T 2 T1T2 2 T1
Эта форма записи часто используется в электромеханике. Например, в этой форме
может быть представлен любой электродвигатель при определенных допущениях,
причем Т1 выступает как электромагнитная постоянная времени; Т2 – механическая.
Если в результате анализа соотношения Т1 и Т2 оказывается, что <1, полюсы j
будут комплексные (комплексно-сопряженные), и получается объект в виде
колебательного звена. В противном случае ( 1) корни знаменателя ПФ становятся
вещественными, и звено представляет собой последовательное соединение двух
апериодических звеньев, т.е. является инерционным 2-го порядка.
Т.о., значение определяет характер переходного процесса (как будет показано ниже).

11.

ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ
Колебательное звено
Дифференциальное уравнение:
g(p)
k
T2p2+2 Tp+1
x(p)
T
2
d 2 xвых t
dt 2
2 T
e
h(t)
hуст
w(t)
t
где
arctg
Весовая функция
tc
2 / 3 /
tm= /
Установившееся значение:
t
sin t
p 2 2 Tp 1 x p kg p
hm
k 1 0 e t sin t
w t L K p
2
h(t),
w(t)
k 02
1 K p
1
h t L
L
p
p
j
p
j
p
k 02
T
Операторное уравнение:
Переходная функция
1
dxвых t
xвых t kxвх t
dt
4 /
hуст = k
Значение времени первого согласования tc можно узнать, если в выражении для
переходной функции приравнять синус нулю, тогда t
tc
c

12.

ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ
Колебательное звено
Время tm достижения максимального значения можно узнать, приравняв значение
весовой функции нулю:
T
tm
Равенство нулю весовой функции будет иметь место также для всех
1 2
t kt m k
Подставив tm в выражение для переходной функции, определим
максимальное значение выходной переменной в переходном режиме:
sin 0
где
hm k 1 0 e sin k 1 e
Перерегулирование
hm h уст
h уст
100 % e 100 %
, %
tc/tm
1
0,70
0,65
0,59
0,51
0,5
4.3
, %
0
20
40
60
80
0
2 2

13.

ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ
Колебательное звено
K j
Частотная характеристика:
1 T
2 2 2
L( )
2 2 2
2 2
( )
асимптотическая
20 дБ
0
=0,05
=0,2
=0,5
=1
0
arctg
ЛФЧХ
4 T
2
A e j
arg K j arctg
ФЧХ
4 2 2T 2
L 20 lg A 20 lg k 20 lg 1 T
ЛАЧХ
1 T j 2 T
2 2
k
A K j
АЧХ
k
с=1/T
1 2T 2
2 T
1 2T 2
lg
асимптотическая ( =0)
=0,05
=0,2
=0,5
= 2 2
6 дБ
20 lg k
lg
= 2 2
с=1/T
=1
– /2
c 1 T
arctg 2
–40 дБ/дек
–2
–
Асимптотическая ЛАЧХ
c 1 T
L 20 lg k
c 1 T
2 T
L 20 lg k 20 lg
Асимптотическая ЛФЧХ.
0
2T 2 2 4 2 2T 2 20 lg k 40 lg T

14. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ

xвх(p)
xвых(p)
T2p2+2 Tp+1
ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ
Форсирующее звено 2-го порядка
K p 2 p 2 2 p 1
c
– постоянная времени
Дифференциальное уравнение:
Частотная характеристика:
АЧХ
ФЧХ
ЛАЧХ
ЛФЧХ
2
d 2 xвх t
dt 2
2
1 2 2 2 4 2 2 2
arg K j arctg
2
1 2 2
L 20 lg A 20 lg 1 2 2
arctg
2
1 2 2
2
2 4 2 2 2
p 2 2 p 1 xвх p xвых p
dxвх t
xвх t xвых t
dt
K j 1 2 2 j 2 A e j
A K j

15. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ

Звено чистого (транспортного) запаздывания
Некоторые ОУ могут обладать запаздыванием (например, трубопроводы, длинные линии,
транспортеры). Запаздывание проявляется в том, что при изменении входного воздействия выходная
переменная начинает изменяться не сразу, а спустя некоторый промежуток времени , называемый
временем чистого или транспортного запаздывания.
K p ke p
w(t)
h(t)
h t k1 t
Переходная функция
k
t
Весовая функция
Частотная характеристика:
АЧХ
ЛАЧХ
A K j k
L 20 lg A 20 lg k
w t k t
K j ke j k cos j sin
ФЧХ arg K j
ЛФЧХ

16. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ

Построение логарифмических характеристик
последовательного соединения произвольных типовых
звеньев
Пусть имеется произвольное последовательное соединение n типовых звеньев с
результирующей ПФ
n
W p П Wi p
(1)
i 1
По определению ЛАЧХ и ЛФЧХ вычисляются следующим образом:
n
L 20 lg W j 20 lg Wi j
i 1
n
arg W j arg Wi j
i 1
Таким образом, для построения ЛАЧХ или ЛФЧХ последовательного
соединения звеньев следует построить соответствующие характеристики каждого
звена, и затем геометрически их сложить.
Передаточную функцию (1) совокупности звеньев целесообразно
представить в более развернутом виде: W p k Пn W i p k W p
(2)
p i 1
p
W s – нормированная ПФ – отношение произведений ПФ элементарных звеньев 1-го и 2-го порядков т.е., ви
T 2 p 2 2 Tp 1 при 0 1
Tp 1
W 0 1
с единичным передаточным коэффициентом
k
– результирующий коэффициент передачи (усиления);
– порядок астатизма ПФ, численно равный количеству последовательно соединенных интеграторов
в предположении, что чистые дифференцирующие звенья отсутствуют.

17.

ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ
Построение логарифмических характеристик
последовательного соединения произвольных типовых
звеньев
Пример. Построить асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ звена с ПФ
W p
k T2 p 1
L( )
p T3 p 1 T12 p 2 T1 p 1
–1
где значение коэффициента усиления и
постоянных времени известны, и известно, что
1 k T1 T2 T3
W p
T2 p 1
T3 p 1
T12 p 2
T1 p 1
T12 p 2
1/T1
k
–3
L3 –1
/2
–2
L4
( )
2
lg
1
T3 p 1
1
0,5
T1 p 1
Строим асимптотические ЛАЧХ каждого из
звеньев (пунктирные линии) и их геометрическую
сумму (сплошная линия), которая и является
результирующей ЛАЧХ. Аналогично поступаем с
ЛФЧХ.
W4 p
lg
1/T2
1
W3 p
L2
–1
k k
Очевидно, имеем последовательное
соединение четырех типовых звеньев
W1 p k p W p T p 1
2
2
L( ) –2
1/T3
+1
L1 –1
1/T3
– /2
1
1/T2
1/T1
k
3
4
–
( )
–3 /2

18.

ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ
Построение логарифмических характеристик
последовательного соединения произвольных типовых
звеньев
После анализа ЛАЧХ можно предложить следующее правило:
1) Пользуясь представлением (2) передаточной функции, вычисляют все частоты сопряжения
i 1 Ti
которые нумеруют в порядке возрастания и откладывают на оси частот;
2) Предварительную ЛАЧХ начинают строить от области низких частот, проводя прямую под наклоном
20 дБ/дек ( ) так, чтобы она (или ее продолжение) пересекала ось частот при частоте
0 k
(Эта ЛАЧХ будет пересекать ось ординат в точке
Именно такой вид будет иметь ЛАЧХ совокупности
20 lg k
последовательно соединенных интеграторов,
соответствующая первому множителю ПФ вида (2).
3) Низкочастотная ЛАЧХ будет претерпевать изломы только при частотах сопряжения i
причем наклон будет изменяться на 20 дБ/дек (+1), если
i -м звеном оказывается форсирующее звено 1-го порядка,
на –20 дБ/дек (–1) – если апериодическое звено,
на +40 дБ/дек (+2) – если форсирующее звено 2-го порядка,
на –40 дБ/дек (–2) – если колебательное звено.
Что касается ЛФЧХ, то следует построить
ЛФЧХ отдельных звеньев, и затем
геометрически их просуммировать.
В случае наличия последовательно
соединенного звена чистого
запаздывания ЛАЧХ соединения
остается без изменения, однако это
звено окажет влияние на фазовый сдвиг.

19.

ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ
Построение логарифмических характеристик
последовательного соединения произвольных типовых
звеньев
L( )
40
lg
–2
1
0= 10
1= 100
1000
–40
60 дБ
–3