Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

1.

Медианы, биссектрисы и
высоты треугольника

2.

медианы треугольника
биссектрисы треугольника
высоты треугольника

3.

Медианой треугольника называется отрезок,
соединяющий вершину треугольника с серединой
противолежащей стороны.
В
C1
A1
mb
ma
mc
С
А
B1
АA1, ВB1 и СC1 – медианы ∆ АВС.
Обозначают: ma, mb, mc.

4.

Биссектрисой треугольника называется отрезок
биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину
треугольника с точкой противолежащей стороны.
B
E1
lb
E3
lc
la
А
E2
C
АE1, ВE2 и СE3 – биссектрисы ∆ АВС.
Обозначают: la, lb, lc.

5.

Высотой треугольника называется перпендикуляр,
проведённый из его вершины к прямой, содержащей
противоположную сторону.
В
F1
F3 h
b
ha
hc
А
С
F2
АF1, ВF2 и СF3 – высоты ∆ АВС.
Обозначают: ha, hb, hc.

6.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
m2
m1
m3
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
l2
l1
l3
Высоты или прямые, содержащие высоты, пересекаются в
одной точке.
h1
h2
h3

7.

Может ли точка пересечения высот лежать
вне треугольника?
h2
h1
h3

8.

Может ли точка пересечения высот лежать
в вершине треугольника?
h1
h2
h3

9.

Задача. Отрезок BD – медиана треугольника АВС,
отрезок ВЕ – медиана треугольника DBC. Чему равна
длина отрезка АС, если отрезок ЕС равен 4 сантиметра?
Решение.
В
Так как ВЕ – медиана ∆ DВС, то DE = EC,
следовательно, DС = 2EC, DС = 2 4 = 8 см.
ВD – медиана ∆ AВС, значит AD = DC,
А
следовательно, AС = 2DC, AС = 2 8 = 16 см.
Ответ: 16 см.
D
E
С

10.

Задача. Отрезок AD – медиана треугольника АВС.
Точка Е лежит на луче АD так, что AD = DЕ. Докажите,
что треугольник АDВ равен треугольнику CDE.
Доказательство.
А
Так как AD – медиана ∆ AВС, то СD = DB,
Рассмотрим ∆ ADB и ∆ СDЕ.
С
АD = DЕ,
СD = DВ, так как AD – медиана,
∠ ADB = ∠CDE ( как вертикальные).
Следовательно, ∆ ADB = ∆ СDЕ
(по первому признаку).
D
E
В