Векторная алгебра

1.

Векторная алгебра
• Разложение вектора по базису
• Системы координат
• Декартова прямоугольная система координат
• Скалярное произведение векторов
• Свойства скалярного произведения
• Векторное произведение
• Смешанное произведение
• Свойства смешанного произведения

2.

Определение. Вектором или по-другому свободным
вектором называется направленный отрезок (т.е.
отрезок, у которого одна из ограничивающих его
точек принимается за начало, а вторая – за конец).
a
A
B
AB
Расстояние от начала вектора до
его конца называется длиной
(модулем) вектора. AB a
Вектор, длина которого равна единице, называется
единичным вектором или ортом.
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается 0. Нулевой вектор не
имеет определенного направления и имеет длину,
равную нулю.

3.

aa
bb
aa
bb
Под углом между векторами a и b будем понимать
угол, величина которого не превышает 1800.
Два вектора a и b называются ортогональными,
если угол между ними равен 900. a b
Два вектора a и b называются коллинеарными, если
они лежат на одной или параллельных прямых. a ∥ b
Три вектора, лежащие в одной или в параллельных
плоскостях, называются компланарными.
Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Все нулевые
векторы считаются равными.

4.

Определение. Произведением вектора a на число
0 называется вектор, длина которого a , а
направление совпадает с направлением вектора a
при 0 и противоположно ему при 0. Если
a 0 или 0 , то их произведение полагают равным 0 .
2a
a
2a
( 1) a = a
противоположный вектору a
Лемма 2.1 (критерий коллинеарности векторов). Два
ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только
тогда, когда a b, для некоторого числа 0.

5.

Определение. Суммой векторов a и b называется
вектор, соединяющий начало вектора a с концом
вектора b , отложенного от конца вектора a.
Правило треугольника
a
C
A
A
b
a b
a2
a3
a1
a
Правило параллелограмма
B
a
B
a b
C
a a1 a2 a3 a4
a4
a ( b ) = a b
разность векторов
a
a b
b
b
D

6.

Определение. Пусть даны векторы a1 , a2 , , ak .
Тогда вектор b = 1 a1 2 a2 k ak называют
линейной комбинацией векторов a1 , a2 , , ak .
При этом говорят, что вектор b линейно выражается через вектора a1 , a2 , , ak , или другими
словами разложен по векторам a1 , a2 , , ak .
Лемма 2.2 (критерий компланарности векторов).
Три ненулевых вектора a , b и c компланарны
тогда и только тогда, когда один из них линейно
выражается через другие (например, c = 1 a + 2 b ).

7.

Свойства линейных операций над векторами
1. a b b a
2. (a b) c a (b c)
3. a 0 a
4. a ( a) 0
5. ( a ) ( )a
6. ( )a a a
7. (a b) a b
8. 1a a

8.

Определение. Говорят, что векторы a1 , a2 , , ak
линейно зависимы, если существуют числа 1 , 2 ,
, k , не равные нулю одновременно, такие, что
линейная комбинация 1 a1 2 a2 k ak = 0.
Если же равенство 1 a1 2 a2 k ak = 0
возможно только при условии 1 2 k 0 ,
то векторы a1 , a2 , , ak называют линейно
независимыми.
Лемма 3.1. Векторы a1 , a2 , , ak линейно
зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один
из них линейно выражается через оставшиеся.

9.

Лемма 3.2 (критерий линейной зависимости двух
векторов). Два ненулевых вектора a и b линейно зависимы тогда и только тогда, когда они
коллинеарны.
Лемма 3.3 (критерий линейной зависимости трёх
векторов). Три ненулевых вектора a , b и c
линейно зависимы тогда и только тогда, когда они
компланарны.

10.

Определение. Базисом некоторой системы векторов
называется
любая
максимальная
линейно
независимая подсистема этой системы векторов.
Иначе говоря e1 , e2 , , en – базис, если
1) e1 , e2 , , en – линейно независимы;
2) e1 , e2 , , en , a – линейно зависимы для любого
вектора a из данной системы векторов.
Базис можно выбрать не единственным образом.
Например, если e1 , e2 , , en – базис, то при 0
e 1 , e2 , , en – также базис.

11.

Теорема 3.4. Любые два базиса данной системы
векторов состоят из одного и того же числа
векторов.
Теорема 3.5. 1) Базисом на плоскости являются
любые два неколлинеарных вектора.
2) Базисом в пространстве являются
любые три некомпланарных вектора.
Теорема 3.6 (о базисе). Каждый вектор линейно
выражается через базис, причем единственным
образом.
e1 , e2 , , en – базис, a – произвольный вектор
a 1 e1 2 e2 n en
При этом 1 , 2 , , n называют координатами
вектора a в базисе e1 , e2 , , en

12.

Зафиксируем произвольную точку O в пространстве
и выберем некоторый базис.
Совокупность этой точки и этого базиса называется
системой координат.
2 e2
e2
O
1e1
a = OM = 1 e1 2 e2
a
М
e1
1 и 2 – координаты
a в этом базисе
a = OM = вектора
1 e1 2 e2
Также говорят, что 1 и 2 – координаты точки M.

13.

Декартовой прямоугольной системой координат
в пространстве называют систему координат,
базисом в которой являются единичные векторы,
попарно ортогональные друг с другом.
Правая система координат, в которой векторы базиса образуют правую тройку, обозначают i , j , k :
z
k
j
i
x
Пусть a – произвольный вектор.
y
Тогда
или
a = ax i + ay j + az k
a ={ a x , a y , a z }
Замечание. Иногда в качестве базиса берут левую
тройку векторов ( i , j , - k ). Тогда такую систему
координат называют левой.

14.

Пусть в пространстве задана ось l, то есть
направленная прямая, AB – произвольный вектор.
Обозначим через A1 и B1 – проекции на ось l
точек A и B соответственно.
B
l
A
B1
A1
Проекцией вектора AB на ось l
называется положительное число A1B1 ,
если вектор A1B1 и ось l одинаково
направлены, и отрицательное число
A1B1 , если вектор A1B1 и ось l
противоположно направлены.
Если точки A1 и B1 совпадают, то проекция вектора
AB равна 0.
пр AB
l

15.

Свойства проекций:
1. Проекция вектора a на ось l равна произведению
длины вектора a на косинус угла между
вектором и осью: прl a = a cos .
2. Проекция суммы нескольких векторов на ось l
равна сумме их проекций на эту ось.
3. При умножении вектора a на число его
проекция на ось l также умножается на это число:
прl( a )= прl a .
a = ax i + ay j + az k
координата a x – это проекция вектора a на ось Ox
координата a y – проекция вектора a на ось Oy
координата a z – проекция вектора a на ось Oz.

16.

a
M
az
O
ax
K
ay
N
a = ax a y az
2
2
2

17.

a ={ a x , a y , a z } Рассмотрим вектор { cos , cos , cos }.
a
По свойству 1 проекций
ax прOx a a cos ,
a y прOy a a cos ,
az прOz a a cos
ay
az
ax
1
{ cos , cos , cos }= i + j + k = a ,
a
a
a
a
то есть вектор { cos , cos , cos } – единичный и
направлен также, как и a . Этот вектор называют
ортом вектора a .
cos , cos , cos – направляющие косинусы вектора a
cos 2 cos 2 cos 2 1 – свойство направляющих
косинусов.

18.

Пусть a ={ a x , a y , a z }, b ={ bx , by , bz }.
a + b = ( a x i + a y j + a z k )+( bx i + by j + bz k ) =
= ( a x + bx ) i +( a y + by ) j +( a z + bz ) k =
= { a x + b x , a y + b y , a z + bz }
a = ( ax i + ay j + az k ) =
= ( a x ) i +( a y ) j +( a z ) k =
= { a x , a y , a z }
Теорема 4.1. Если a ={ a x , a y , a z }, b ={ bx , by , bz }, то
1) a + b = { a x + bx , a y + by , a z + bz },
2) a = { a x , a y , a z }.

19.

Лемма 4.2 (критерий коллинеарности векторов в
координатной форме). Два ненулевых вектора a и
b коллинеарны тогда и только тогда, когда их
координаты пропорциональны.
Пример
2= 1
4= 2
0= 0
=2 векторы a и b коллинеарны
a ={2, 4, 0}
b ={1, 2, 0}
a x = bx , a y = bx , a z = bx
ay
ax
az
, =
, =
=
bx
bz
by
ay
ax
az
=
=
bx
bz
by

20.

A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2).
Найдем координаты AB .
A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2). Найдем координаты AB .
A
B
O
Вектор
Вектор
= O=BO-BO–A O
. A.
ABAB
ТакТак
каккак
OBO={x
2, y22,, zy22},
, z2},
B ={x
OAO={x
1, y1,, zy1},
A ={x
1 1, z1},
то то
={x={x
ABAB
2- x1,–yx
2- ,yy
1, z2- z1}.
2
1 2 – y1, z2 – z1}.
Лемма 4.3. Если A имеет координаты (x1, y1, z1),
Лемма 4.3. Если A имеет координаты (x1, y1, z1),
очка B координаты (x2, y2, z2), то вектор AB имеет
точка B{x– координаты
(x
, yz2,}.z2), то вектор AB имеет
2–
оординаты
–
x
,
y
–
y
,
z
2
1
2
1
2
1
координаты {x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1}.

21.

Разделим отрезок AB в отношении , то есть на
прямой, проходящей через точки A и B, найдём
такую точку M, что AM MB .
1
1) =1/2, AM MB .
2
2) 2 , AM 2 MB .
A
1
А
3) 1 , то есть AM MB
M
B
2
В
– невозможно
>0 AM и MB одинаково направлены
точка M лежит внутри отрезка AB
<0 AM и MB противоположно направлены
точка M лежит вне отрезка AB
М

22.

Пусть A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2).
Обозначим координаты точки M (x, y ,z).
Тогда AM ={x–x1, y–y1, z–z1}, MB ={x2–x, y2–y, z2–z}.
Так как AM MB , то
x –x1= (x2–x), y–y1= (y2–y), z–z1= (z2–z).
Откуда получаем, что
x
x1 x2
y y 2
z z2
, y 1
, z 1
.
1
1
1

23.

Определение. Скалярным произведением двух
ненулевых векторов a и b называется число,
равное произведению их длин на косинус угла между
ними. Записывают a b или ( a , b ).
( a , b ) = a b cos
Если один из двух векторов является нулевым, их
скалярное произведение считается равным нулю.
a
Пр b a
b
пр b a =| a | cos
( a , b ) = b пр a b
пр a b =| b | cos
( a , b ) = a пр b a
( a , b ) = a пр a b = b пр b a

24.

Свойства скалярного произведения
1. ( a , b ) = ( b , a )
2. ( a , b ) = ( a , b ) = ( a , b )
3. ( a + b , c ) = ( a , c ) + ( b , c )
4. ( a , a ) = a
2
Лемма 5.1 (критерий ортогональности векторов).
Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только
тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

25.

Лемма 5.2. Скалярное произведение векторов равно
сумме произведений соответствующих координат:
( a , b ) = a x b x + a y b y + a z bz .
Найдем угол между a ={ a x , a y , a z } и b ={ bx , by , bz }.
Имеем ( a , b ) = a b cos , следовательно,
axbx a yby azbz
( a, b )
=
cos =
a b
a b

26.

Определение. Векторным произведением двух
ненулевых векторов a и b называется вектор c ,
для которого выполняются следующие условия:
1) c = a b sin ,
2) c ортогонален векторам a и b ,
3) c направлен так, что тройка векторов a , b , c –
правая, то есть ориентирована одинаково с базисной
тройкой i , j , k .
[a,b]
c
Если хотя бы один из векторов
нулевой, то полагают, что
b
векторное произведение равно
нулевому вектору.
a

27.

[i , j] = k
[ j,k] = i
[i ,k] = – j
[ j, i ] = –k
[k, j] = –i
[ k , i ]= j
Свойства векторного произведения
1. [ a , b ] = – [ b , a ]
2. [ a , b ] = [ a , b ] = [ a , b ]
3. [ a1 + a2 , b ] = [ a1 , b ] + [ a2 , b ]
4. [ a , a ] = 0
Лемма 6.1. Векторное произведение двух ненулевых
векторов есть нулевой вектор тогда и только тогда,
когда сомножители коллинеарны.

28.

[a,b] = i
ay
az
by
bz
– j
i
[ a , b ] = ax
bx
ax
az
bx
bz
j
k
ay
az
by
bz
+k
ax
ay
bx
by

29.

Лемма 6.2. Пусть a и b – неколлинеарные вектора.
Тогда площадь параллелограмма, построенного на
этих
векторах,
равна
модулю
векторного
произведения векторов a и b : S = |[ a , b ]|.
a
B
C
b
Пусть ABCD – параллелограмм,
где A B = a , A D = b .
S AB AD sin
Но AB = a , CD = b S = a b sin .
A
D
Следствие 6.3. Пусть a и b – неколлинеарные
вектора. Тогда площадь треугольника, построенного
на этих векторах, равна половине модуля векторного
1
произведения векторов a и b :
S = |[ a , b ]|.
2

30.

Определение. Смешанным произведением трёх
векторов a , b и c называется число, получаемое
следующим образом: векторное произведение [ a , b ]
умножаем скалярно на c :
( a , b , c ) = ([ a , b ], c ).

31.

Лемма 7.1. Пусть a , b и c – некомпланарные
вектора. Тогда объём параллелепипеда, построенного
на этих векторах, равен модулю смешанного
произведения векторов a , b и c :
V = |( a , b , c )|.
[a , b ]
V S осн H
c
b
a
Основание параллелепипеда
– параллелограмм, построенный на векторах a и b .
По лемме 6.2 S осн |[a, b]| .
Высота параллелепипеда H = | Пр [a ,b ]c |.
V S осн H | [a, b] | Пр [ a, b ]c ([ a , b ], c ) |( a, b, c ) |

32.

Следствие 7.2. Пусть a , b и c – некомпланарные
вектора. Тогда объём пирамиды, построенной на этих
векторах, равен одной шестой модуля смешанного
произведения векторов a , b и c :
1
V = |( a , b , c )|.
6

33.

Свойства смешанного произведения
1. ([ a , b ], c ) = – ([ b , a ], c )
2. ([ a , b ], c ) = ([ b , c ], a ) = ([ c , a ], b )
3. ([ a , b ], c ) = ( a ,[ b , c ])
Лемма 7.3 (критерий компланарности векторов
через смешанное произведение). Три ненулевых
вектора компланарны тогда и только тогда, когда их
смешанное произведение равно нулю.
[a , b]
c
a
b

34.

Пусть a ={ a x , a y , a z }, b ={ bx , by , bz }, c ={ c x , c y , c z }.
i
[ a , b ]= a x
bx
([ a , b ], c ) =
j
k
ay
az = i
by
bz
ay
az
by
bz
ay
az
by
bz
cx –
–j
ax
az
bx
bz
ax
az
bx
bz
cy +
ax
ay
az
( a , b , c ) = bx
cx
by
bz
cy
cz
+k
ax
ay
bx
by
ax
ay
bx
by
cz