Запись числа в десятичной системе счисления

1.

Запись числа в десятичной
системе счисления
Лекция 2

2.

Система счисления – язык для
наименования и записи чисел и
выполнения действий над ними.

3.

• Непозиционные системы счисления
характеризуются тем, что каждый знак
всегда обозначает одно и тоже число.
• Например, в римской системе
счисления:
• I – один
• III – один да один, да один равно три
• IV, VIII, IX, XII, CXXI, MMXI

4.

• В России до XVII в. Использовалась
славянская непозиционная нумерация.
• Числа в такой нумерации обозначались
буквами славянского алфавита, над
которыми ставили особый знак – титло.

5.

В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII в. При
Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой
мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранялась
только в богослужебных книгах.

6.

• В позиционных системах один и тот же
знак может обозначать различные
числа в зависимости от места(позиции)
• Например: 1111,
343434,
2342342

7.

Запись чисел в десятичной
системе счисления
Десятичная система счисления
класс миллиардов
разряд
сотен
разряд
десятко
в
разряд
единиц
класс миллионов
разряд
сотен
разряд
десятко
в
разряд
единиц
класс тысяч
разря
д
сотен
разря
д
десятк
ов
разряд
единиц
класс единиц
разря
д
сотен
разря
д
десят
ков
разряд
единиц
1
1
3
5
2
0
4
1
0
1
0
0
8
4
7

8.

Правила нумерации
• Правило прочтения чисел:
• 1. Раздели число на классы справа налево. Каждый класс должен содержать
три разряда. Только старший класс
может быть неполным.
• 2. Сначала называем разряды старшего
класса и название класса. Затем
называем разряды и название
следующего класса и т. д.

9.

Правило записи числа
• 1. Записываем цифры старшего класса.
• 2. Затем, цифры младших классов,
помня о том, что каждый следующий
класс должен быть полным.

10.

• Например:
• Три миллиона двести сорок пять тысяч
шестнадцать.
3___ ___
3 245
016

11.

• Основа записи чисел в десятичной
системе
1 1 10
0
10 1 10
1
100 1 10
2
10
...
0 1 10
n
n

12.

Определение.
• Десятичной записью натурального
числа х называется представление в
виде:
n
n
1
x
a
10
a
10
...
a
10
a
n
n
1
1
0
где коэффициенты аi принимают значения
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и аn ≠0

13.

Теорема 1
• Любое натуральное число х можно
представить в виде суммы разрядных
слагаемых.
n
1
x
a
10
a
10
...
a
10
a
n
n
1
1
0
n

14.

Доказательство существования записи
числа.
• Пусть
n
n
1
x
a
10
a
10
...
a
10
a
n
n
1
1
0
n
n 1
10
x 10
тогда
Разделим число x : 10 n
Имеем
где
n
x 10
a
x
n
1
n
1
n
10
x1 10

15.

• Продолжим деление.
где
n
1
x
10
a
x
1
n
1
2
n
2
n
1
10
x
10
2
В результате имеем
n
n
1
x
10
a
10
a
x
n
n
1
2
Процесс деления конечен, так как x x
...
1 x
2
Последний неравный нулю остаток
обозначим a0.
ч.т.д.

16.

Доказательство единственности.
• Старшая степень числа x определяется
однозначно.
• Деление с остатком также однозначно.
• Следовательно, представление числа в
виде суммы разрядных слагаемых
также однозначно.

17.

Сравнение натуральных
чисел
• Теорема2: Пусть x и y – натуральные
числа, запись которых дана в
десятичной системе счисления:
n
n
1
n
2
x
a
10
a
10
a
10
...
a
10
a
n
n
1
n
2
1
0
m
m
1
b
2
y
b
10
b
10
b
10
...
b
10
b
m
m
1
m
2
1
0

18.

1.
n m
2.
n m
,an bn
3.
n
m
,a
b
...
a
b
n
n
k
k

19.

• Например:
• 1. 34 < 341
• 2. 628 < 828
• 3.65734 < 65794

20.

Доказательство
n
1
• 1) Если n
m
,
10
10
n
1
m
x
10
10
y
Следовательно x<y
m;то

21.

• 2) Если n=m,
тогда
Значит,
но
a n bn
то
an 1 bn
n
n
a
10
1
b
10
n
n
n
n
x
a
1
10
b
10
y
n
n
Следовательно x<y

22.

Например:
• 1) x=54267; y=5426
x= 345; y= 2314
2) a=6789;
a=1245;
b=5789
b=3245
3) m=3456; n=3421
m=1454; n=1458

23.

Алгоритм сложения
x=345; y=598. Найдем сумму чисел х+y:
345+ 598= (300+40+5)+(500+90+8)=
(300+500)+(40+90)+(5+8)=
800+130+13=
800+(100+30)+(10+3)=
(800+100)+(30+10)+3 =900+40+3=943

24.

В основе алгоритма сложения многозначных
чисел лежат следующие теоретические
факты:
1. Способ записи чисел в десятичной
системе счисления;
2. Коммутативный и ассоциативный
законы сложения натуральных чисел;
3. Дистрибутивный закон умножения
относительно сложения;
4. Таблица сложения однозначных чисел.

25.

Рассмотрим алгоритм сложения многозначных
чисел в общем виде (для чисел x и y)
• Пусть числа x и y в общем виде:
x
a
10
a
10
a
2
1
0
2
y
b
10
b
10
b
2
1
0
2

26.

• Сумму чисел x и y можно представить:
x
y
(
a
b
)
10
(
a
b
)
10
(
a
b
)
2
2
1
1
0
0
2

27.

• Но a
b
10
;
a
b
10
1
1
0
0
a
b
10c
1
1
1
a
b
10
c
0
0
0
2
x
y
(
a
b
)
10
(
10
c
)
10
(
10
c
)
22
1
0

28.

• Применив дистрибутивный закон, имеем:
2 2
x
y
(
a
b
)
10
10
c
10
10
c
22
1
0
Применив дистрибутивный закон для 1 и 2 , а так же
для 3 и 4 слагаемых, имеем:
2
x
y
(
a
b
1
)
10
(
c
1
)
10
c
2 2
1
0

29.

• Так как
и
то
a
b
1 10
1
1
c1 1 10
2 /
x
y
с
10
c
10
c
1
2
0
Тем самым получена десятичная
запись числа

30.

Алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в
десятичной системе счисления
1. Записывают второе слагаемое под
первым так, чтобы соответствующие
разряды находились друг под другом.
2. Складывают единицы первого
разряда. Если сумма меньше 10,
записывают ее в разряде единиц
ответа и переходят к следующему
разряду (десятков)

31.

1. Если сумма единиц больше или равна
10, то представляют ее в виде
a
b
1
10
c
0
0
0
где c 0
однозначное число

32.

1. Повторяют те же действия с
десятками, потом с сотнями и т.д.
Процесс этот конечен.

33.

Схема алгоритма сложения
x+y
да
ai bi 10
10 ci
ответ
переход
Сумма ст.
разрядов
конец
нет
ci
-ответ
10 переносим в
старший разряд

34.

Спасибо за внимание!