Десятичная запись, значащие цифры, число верных знаков. Лекция 2

1.

Десятичная запись, значащие цифры, число верных знаков
Определение 8. Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа
являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не
превышает половины единицы разряда , выражаемого n-ой значащей
цифрой, считая слева направо.
Если для приближенного числа a
a am10m am 110m 1 am 210m 2 am n 110m n 1
заменяющего точное число A, известно, что
1
A a 10m n 1
2
то, по определению, первые n цифр этого числа
am , am 1 , am 2 am n 1
являются верными.
Пример. Точное число А=35.97, а=36.00. Число а имеет три верных
цифры.
| A-a | = 0.03 < 0.5 * 0.1 = 0.5* 10 -1. Так как m=1 для числа А,
m-n+1=-1 1-n+1=-1 n=3.

2.

Десятичная запись, значащие цифры, число верных знаков
Замечание. Число a является приближением точного числа A с n верными
знаками в широком смысле, понимая под этим, что абсолютная
погрешность не превышает единицы десятичного разряда, выражаемого
n –ой значащей цифрой приближенного числа.
Если для приближенного числа a
a am10m am 110m 1 am 210m 2 am n 110m n 1
заменяющего точное число A, известно, что
A a 10m n 1
то, по определению, первые n цифр этого числа
am , am 1 , am 2 am n 1
являются верными в широком смысле.
Пример. Для точного числа A = 412,3567 число a = 412,356 является приближением с
шестью верными знаками в широком смысле, так как
0,0007 1 10 3
Так как m=2 для числа А, m-n+1=-3
2-n+1=-3 n=6.

3.

Десятичная запись, значащие цифры, число верных знаков
Пример. Известно, что число a = 9,27 является приближением числом некоторого
точного значения. Известно, что в приближённом числе a три верных знака в
широком смысле. Какого значения может достигать абсолютная погрешность этого
числа?
Решение: по определению, число a является приближением точного числа A с n
верными знаками в широком смысле, если абсолютная погрешность не превышает
единицы десятичного разряда, выражаемого n –ой значащей цифрой
приближенного числа:
A a 10m n 1
Так как в числе a три верных цифры в широком смысле, то выполняется
соотношение:
A a 100 3 1 0,01
То есть, единица разряда последней значащей цифры.

4.

Связь относительной погрешности приближенного
числа с количеством верных знаков
Теорема. Если приближенное число а имеет n верных знаков, то
1 1
am 10
n 1
/* */
Следствие 1. За предельную относительную погрешность можно принять
a
1
am
1
10
n 1
Следствие 2. Если число a имеет не менее 2-х верных значащих цифры,
то за предельную относительную погрешность можно взять
величину
n 1
1 1
a
2am 10
Пример. Какова предельная относительная погрешность, если вместо π
взять 3.14?
В данном случае am = 3, n = 3 (верных знака), тогда
1 1
a
2 3 10
3 1
1
1
%
600 6

5.

Оценивание погрешностей элементарных действий
Погрешность суммы.
Теорема. 1 Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких
приближенных чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей этих чисел
Доказательство.
Пусть x1 , x2 , , xn - данные приближенные числа.
Рассмотрим их алгебраическую сумму
u x1 x2 xn
Тогда, по определению погрешности:
u ( x1 x2 xn ) ( A1 A2 An )
Или
u x1 x2 xn
Следовательно, по свойству абсолютной величины, следует
u x1 x2 xn
ЧТД
Следствие. За предельную абсолютную погрешность алгебраической суммы
можно принять сумму предельных абсолютных погрешностей слагаемых
u x x , x
i
2
n

6.

Оценивание погрешностей элементарных действий
Правила сложения приближенных чисел
1.Выделить числа, десятичная запись которых обрывается ранее других, и
оставить их без изменения;
2.Остальные числа округлить по образцу выделенных, сохраняя один или два
запасных десятичных знака;
3.Произвести сложение данных чисел, учитывая все сохранённые знаки
4.Полученный результат округлить на один знак.
Пример. Найти сумму приближенных чисел: 0,348; 0,1834; 345,4; 235,2; 11,75;
9,27; 0,0849; 0,0214; 0,000354, каждое из которых имеет все верные значащие
цифры (в широком смысле).
1. Выделяем числа с наименьшей точностью 345,4 и 235,2.
(какого значения может достигать абсолютная погрешность для этих чисел?)
2, 3. 0,35+0,18+345,4+235,2+11,75+9,27+0,08+0,02+0,00=602,25
4. 602,2.
.

7.

Оценивание погрешностей элементарных действий
Правила сложения приближенных чисел
Пример (продолжение)..
Полная погрешность результата:
1)суммы предельных погрешностей исходных данных
1 10 3 10 4 10 1 10 1 10 2 10 2 10 4 10 4 10 6 0,221301 0,222
2)абсолютной величины суммы ошибок (с учётом их знаков) округления слагаемых
2 0,002 0,0034 0,0049 0,0014 0,000354 0,008054 0,009
3)заключительной погрешности округления результата
3 0,050
Следовательно,
1 2 3 0,222 0,009 0,050 0,281 0,3
Таким образом, искомая сумма есть
602,2 0 ,3

8.

Оценивание погрешностей элементарных действий
Теорема о предельной относительной погрешности суммы
Теорема 2. Если слагаемые одного знака, то предельная относительная
погрешность их суммы не превышает наибольшей из предельных
относительных погрешностей слагаемых.
Доказательство. Пусть
u x1 x2 xn
и все xi > 0 (i = 1, 2, …,n).
Точное значение суммы u: А=А1+А2+…+Аn. (Ai >0, i=1,2,…,n).
По определению предельной погрешности:
u x1 x2 xn
u
A
A1 A2 An
Так как xi
x
i
Ai
i 1, 2, , n
, то xi Ai xi
Подставим это выражение в формулу (1):
u
A1 x A2 x An x
1
2
A1 A2 An
n
(1)

9.

Оценивание погрешностей элементарных действий
Теорема о предельной относительной погрешности суммы (продолжение)
u
A1 x A2 x An x
1
2
A1 A2 An
Если обозначить
max x , x , , x
тогда, очевидно,
u
то есть
n
i
2
n
A1 A2 An
A1 A2 An
u
ЧТД
// Теорема 2. Если слагаемые одного знака, то предельная относительная
погрешность их суммы не превышает наибольшей из предельных
относительных погрешностей слагаемых.

10.

Оценивание погрешностей элементарных действий
Погрешность разности
Рассмотрим разность двух приближенных чисел:
u x1 x2
Ранее установили, что
u x x
1
2
Тогда относительная погрешность разности:
u
x x
1
2
A
где A – точное значение абсолютной величины разности чисел
x1 и x2
Замечание: При вычитании приближённых чисел, которые достаточно близки
друг к другу и имеют малые абсолютные погрешности, происходит потеря
точности.

11.

Оценивание погрешностей элементарных действий
Погрешность разности. Пример.

12.

Оценивание погрешностей элементарных действий
Погрешность произведения.
Теорема.
Относительная погрешность
произведения нескольких
приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы
относительных погрешностей этих чисел.
Доказательство. Пусть u x1 x2 , xn и все сомножители
положительны.
Тогда
ln u ln x ln x ln x
1
2
n
Используя известный результат из мат. анализа (дифференциал первого
порядка), приближенно можно записать:
Тогда
x
ln x d ln x
xn
u x1 x2
u
x1
x2
xn
И следовательно,
x
u
x
x2
xn
1
u
x1
x2
xn
Как отмечалось раньше,
Откуда и заключаем, что
xi
xi
i
xi
Ai
1 2 n
ЧТД.

13.

Оценивание погрешностей элементарных действий
Погрешность произведения.
Следствие. Предельная относительная погрешность произведения равна
сумме предельных относительных погрешностей сомножителей:
u x x x
1
2
n
Если все сомножители произведения u весьма точны, за исключением
одного, то предельная относительная погрешность произведения в этом
случае будет практически совпадать с предельной относительной
погрешностью множителя, обладающего наименьшей точностью.
Частный случай. Пусть u=k*a, к – точная числовая константа ≠ 0. Тогда
имеем
δu= δа ,
Δu=|k| Δa.

14.

Оценивание погрешностей элементарных действий
Число верных знаков произведения.
Пусть имеем произведение n сомножителей (n 10)
u x1 x2 , xn
каждый из которых имеет по крайней мере m (m > 1) верных цифр.
Пусть a1, a2 , , an - первые значащие цифры в десятичной записи
p
p 1
множителей: xi ai10 i10 i 1, 2, 3, , n
i
i
m 1
Тогда, используя формулу
1 1 взаимосвязи количества верных знаков и
i 1, 2, ..., n
x
получаем:
относительной погрешности,
i
2ai 10
Так как предельная относительная погрешность произведения равна
сумме предельных относительных погрешностей сомножителей, то
m 1
1 1 1
1 1
u
2 a1 a2
an 10
Так как
1 1
1
10то
a1 a2
an
1 1
u
2 10
m 2
В самом неблагоприятном случае произведение u имеет m - 2 верных

15.

Оценивание погрешностей элементарных действий
Погрешность частного
Если
x
u
,
y
то
ln u ln x ln y
Следовательно,
.
u
x
y
u
x
y
Вывод: относительная погрешность частного двух приближенных
чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных
погрешностей этих чисел.

16.

Оценивание погрешностей элементарных действий
Число верных знаков частного
Пусть делимое x и делитель y имеют по меньшей мере m верных
цифр. Если α и β – их первые значащие цифры, то за предельную
относительную погрешность частного u может быть принята
величина:
1 1 1 1
u
2 10
m 1