Методы моментов. Метод сферических гармоник. Уравнение переноса в Р1-приближении. Диффузионное приближение

1.

Московский инженерно-физический институт
(государственный университет)
Физико-технический факультет
Лекция 11
Методы моментов.
Метод сферических гармоник.
Уравнение переноса в Р1-приближении.
Диффузионное приближение.
Границы применимости диффузионного
приближения в задачах расчета защит.
Ф8-01Н
Теория переноса излучений

2.

Методы моментов
Методы моментов или полиномиальные
методы основаны на представлении угловой
зависимости потока нейтронов в виде ряда по
полной системе ортогональных функций.
Эти разложения ограничиваются конечным
числом членов, что позволяет получить решаемую
систему уравнений.
При этом пространственное представление
зависимости потока нейтронов обычно получают с
помощью введения дискретной пространственной
сетки, в узлах которой вычисляются значения потока.
Ф8-01Н
Теория переноса излучений

3.

Метод сферических гармоник
Угловая зависимость потока нейтронов Ф(х, ) представляется в
виде ряда по полиномам Лежандра Pm( ) в плоской геометрии и
по сферическим гармоникам в общем случае
2m 1
Ф ( х, )
m ( х) Pm ( )
2
m 0
M
Свойства сферических гармоник:
1) они образуют полную систему функций
2) они обладают свойством ортогональности
3) использование разложения индикатрисы рассеяния по полиномам
Лежандра приводит к упрощению решаемой системы уравнений
2m 1
s ( х, 0 )
mS ( х) Pm ( 0 )
m 0 4
M
Ф8-01Н
Теория переноса излучений

4.

Уравнение переноса в Р1-приближении
Р1-приближение уравнения переноса означает слабую зависимость
потока нейтронов от угловой переменной. В плоской геометрии:
Ф( x, ) 0 ( x) 3 1 ( x)
коэффициенты разложения имеют физический смысл:
φ0(х) – интегрального по углам потока нейтронов, φ1(х) – тока нейтронов
Свойство нормировки полиномов Лежандра:
1, m 0
1 1
d Pm ( )
1
2
0, m 0
Свойство ортогональности полиномов Лежандра:
1
,m k
1
d
P
(
)
P
(
)
2m 1
m
k
2 1
0, m k
1
Уравнение переноса
сводится к системе:
Ф8-01Н
d
1 ( x) 0 ( x) 0 ( x) Q0 ( x)
dx
d
0 ( x) 3 1 ( x) 1 ( x) 3Q1 ( x)
dx
Теория переноса излучений

5.

Диффузионное приближение
Используемые приближения:
1) Слабая зависимость потока нейтронов от угловой переменной:
Ф( x, ) Ф( x) 3 J ( x)
Ф(х) и J(x) – поток и ток нейтронов
2) Отсутствие зависимости источника нейтронов от угловой переменной:
Q1 ( x) 0, 0 ( x) a ( x), 1 ( x) tr ( x),
d
0 ( x) D( x) 1 ( x)
dx
- закон Фика
d
d
[ D( x) Ф( x)] a ( x) Ф( x) Q0 ( x)
dx
dx
Ф8-01Н
Теория переноса излучений
- уравнение диффузии

6.

Границы применимости диффузионного
приближения в задачах расчета защит
Решение уравнения диффузии, получаемого
с учетом приближений слабой зависимости потока
нейтронов от угловой переменной и отсутствием
зависимости источника нейтронов от угловой
переменной, дает хорошие результаты в
областях рассматриваемой системы удаленных
от границ системы и границ раздела областей с
резко различными свойствами.
Эти ограничения в задачах расчета защит
не всегда выполняются.
Ф8-01Н
Теория переноса излучений