Решение простейших тригонометрических уравнений

1. Решение простейших тригонометрических уравнений

1

2.

1) уметь отмечать точки на числовой
окружности;
2) уметь определять значения синуса, косинуса,
тангенса и котангенса точек числовой
окружности;
3) знать свойства основных
тригонометрических функций;
4) знать понятие арксинуса, арккосинуса,
арктангенса, арккотангенса.
2

3.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.
1
1) IаI>1
1
Нет точек пересечения с
окружностью.
Уравнение не имеет
решений.
1
x
1
3

4.

Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.
y
1
arccos а
2) IаI<1
arccos a 2 k 1
t
arccos a 2 k
а
x
или
t arcCosa 2 k , k Z
1
- arccos а
1
Общий
случай
4

5.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.
1
3) IаI=1
1
0
Cost 1
t 2 k , k Z
Cost 1
t 2 k , k Z
1
x
1
Частные
случаи
5

6.

1 2
y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos t=a.
4) а=0
1
0
Cost 0
t k , k Z
2
1
x
2
Частный
случай
6

7. Уравнение cos х = a называется простейшим тригонометрическим уравнением

Решается с помощью единичной окружности
х
1. Проверить условие | a | ≤ 1
y
1
a
0
-1
-х1
1
x
х х1 2 n
2. Отметить точку а на оси
абсцисс (линии косинусов)
3. Провести перпендикуляр
из этой точки к окружности
4. Отметить точки
пересечения перпендикуляра
с окружностью.
5. Полученные числа–
решения уравнения cosх = a.
6. Записать общее решение
уравнения.
n Z

8.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение sin t=a.
1
1) IаI>1
1
Нет точек пересечения с
окружностью.
Уравнение не имеет
решений.
1
x
1
8

9.

Решим при помощи
числовой окружности
уравнение sin t=a.
y
1
П-arcsin а
а
arcsin а
2) IаI<1
1
1
arcsin a 2 k
t
arcsin a 2 k
или
t 1 arcSina k , k Z
k
x
1
Общий
случай
9

10.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение sin t=a.
1 2
3) IаI=1
1
1
x
S int 1
S int 1
t
2
2 k , k Z
t
2
2 k , k Z
1
2
Частные
случаи.
10

11.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение sin t=a.
1
4) а=0
S int 0
t k , k Z
1
1
0
x
1
Частный
случай
11

12.

2Sin 4 x 3 0
t
3
Sin 4 x
,
2
Уравнение сводится к
простейшему переносом
слагаемого и делением обеих
частей на коэффициент
аргумента.
3
4 x 1 arcSin
k , k
2
k
4 x 1
k
3
k , k
Разделим обе части на 4.
x 1
k
12
k
4
,k
Ответ:x
1
k
12
k
4
,k
12

13.

Решим при помощи
числовой окружности
уравнение tg t=a.
y
2
а
arctg a
a – любое число.
0
tgt a
t arctga k , k Z
x
2
Частных
случаев нет
13

14.

Решим при помощи
числовой окружности
уравнение сtg t=a.
a – любое число.
ctgt a
t arcctga k , k Z
y
а
arcctg a
0
x
Частных
случаев нет
14

15.

3
à)Cosx
;
2
â)tgõ 1;
2
á) Sinx
;
2
1
ã)ctgõ
.
3
15

16. Ответы

à) õ
6
á ) õ ( 1)
â) õ
ã) õ
4
3
2 k , k ;
k
4
k , k ;
k , k ;
k , k .
16

17. Самостоятельная работа

I вариант
II вариант
III вариант
1
à )Cosx ;
2
à)ctgõ 1;
3
à) Sinx
;
2
1
á )tgõ
;
3
1
á) Sinx ;
2
á )tgõ 3;
2
â) Sinx
.
2
2
â)Cosx
.
2
â)Cosx 1.
17