Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений

1.

Простейшие
тригонометрические
Уравнения.
Решение
Тригонометрических
уравнений

2. Повторим значения синуса и косинуса

у π/2 90°
1
120° 2π/3
135° 3π/4
150° 5π/6
π/6 30°
1/2
180° π -1
0
-
(cost)
π/3 60°
π/4 45°
-
210° 7π/6
-1/2
1/2
1 0 0°
½
x
2π 360
11π/6 330° [-π/6]
225° 5π/4
240° 4π/3
-1
270° 3π/2 [-π/2]
(sint)
7π/4 315° [-π/4]
5π/3 300° [-π/3]

3. Арккосинус

Арккосинусом числа а называется
такое число (угол) t из [0;π], что
cos t = а.
Причём, | а |≤ 1.
у
arccos(-а)
π/2
arccos а = t
π
0
-1
-а
Примеры:
а
arccos(- а) = π- arccos а
1
1)arccos(-1)
2)arccos
х
=π

4. Уравнение cost = a

Уравнение
t1
-1
a
1. Проверить условие | a | ≤ 1
y
0
cost = a
1
x
2. Отметить точку а на оси
абсцисс.
3. Построить перпендикуляр в
этой точке.
4. Отметить точки пересечения
перпендикуляра с окружностью.
5. Полученные точки – решение
уравнения cost = a.
6. Записать общее решение
уравнения.
-t1
t t1 2 n,
n Z

5. Частные случаи уравнения cost = a

cost = 1
y
t 2 n,
π/2
n Z
cost = 0
0
-1
1
0
x
t n, n Z
2
cost = -1
-π/2
t 2 n,
n Z

6. Арксинус

у
π/2
1
а
arcsin а =t
Арксинусом числа а называется
такое число (угол) t из [-π/2;π/2],
что sin t = а.
Причём, | а |≤ 1.
х
-а
-1
-π/2
Примеры:
arcsin(- а)
arcsin(- а)= - arcsin а

7. Уравнение sint = a

1. Проверить условие | a | ≤ 1
y
π-t1
2. Отметить точку а на оси
ординат.
1
3. Построить перпендикуляр в
этой точке.
4. Отметить точки пересечения
перпендикуляра с окружностью.
t1
a
0
x
5. Полученные точки – решение
уравнения sint = a.
6. Записать общее решение
уравнения.
-1
t1 2 n, n Z
t
t1 2 n, n Z

8. Частные случаи уравнения sint = a

Частные случаи уравнения
Π
y
2
1
π
0
0
-1
π
2
sint = a
sint = 1
t 2 n, n Z
2
sint = 0
x
t n, n Z
sint = -1
t 2 n, n Z
2

9. Повторим значения тангенса и котангенса

Линия тангенсов
tg t ЄR , но t ‡
+ π k, kЄZ
у π/2
2π/3
π/3
5π/6
1
π/4
ctg t ЄR, но t ‡ 0 + πk, kЄZ
π/6
0
х
Линия котангенсов
у
4π/3
-π/2
π
0
х

10. Арктангенс

Арктангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (-π/2;π/2),
что tg t = а .
Причём, а Є R.
а
у
π/2
arctgа = t
0
х
arctg(-а) = - arctg а
arctg(-а )
-π/2
-а
Примеры:
1) arctg√3/3 =
π/6
2) arctg(-1) =
-π/4

11. Арккотангенс

у
-а
arcctg(- а)
а
arcctg а = t
π
0 х
Арккотангенсом числа а называется
такое число (угол) t из (0;π),
что ctg t = а.
Причём, а ЄR .
arcctg(- а) = π – arcctg а
Примеры:
1) arcctg(-1) =
3π/4
2) arcctg√3 =
π/6

12. Формулы корней простых тригонометрических уравнений

1.cost = а , где |а| ≤ 1
или
Частные случаи
2.sint = а, где | а |≤ 1
или
3. tgt = а, аЄR
t = arctg а + πk‚ kЄZ
Частные случаи
1)cost=0
t = π/2+πk‚ kЄZ
1)sint=0
t = 0+πk‚ kЄZ
2)cost=1
t = 0+2πk‚ kЄZ
2)sint=1
t = π/2+2πk‚ kЄZ
3)cost = -1
t = π+2πk‚ kЄZ
3)sint = - 1
t = - π/2+2πk‚ kЄZ
4. ctgt = а, аЄR
t = arcctg а + πk‚ kЄZ

13.

Простейшие
тригонометрические
уравнения
Sin t=a;
Cos t=a;
где t=f(x)
Введение новой
переменной
Разложение
на
множители

14.

Решение простейших уравнений
1) cost= - ½;
t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ
t= ±2π/3+2πk, kЄZ
3) tgt = 1;
t = arctg1+πk, kЄZ
t = π/4+πk, kЄZ.
2) sint = 0;
Частный случай:
t = 0+πk, kЄZ
4) ctgt = t = arcctg( )+πk, kЄZ
t = 5π/6+πk, kЄZ.

15. Решение простейших уравнений

1) tg2x = -1
2) cos(x+π/3) = ½
2x = arctg (-1) + πk, kЄZ
2x = -π/4 + πk, kЄZ
x = -π/8 + πk/2, kЄZ
x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ
x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ
x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.
Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
3) sin(π – x/3) = 0
упростим по формулам
приведения
sin(x/3) = 0
частный случай
x/3 = πk, kЄZ
x = 3πk, kЄZ.
Ответ: 3πk, kЄZ.

16. Другие тригонометрические уравнения

1.Сводимые к квадратным
a∙sin²x + b∙sinx + c=0
Пусть sinx = p, где |p| ≤1, тогда
a∙p² + b∙p + c = 0
Найти корни, вернуться к замене и
решить простые уравнения.
2.Однородные
1)Первой степени:
a∙sinx + b∙cosx = 0
Т.к. sinx и cosx одновременно
не равны нулю, то разделим обе
части уравнения на cosx. Получим:
простое уравнение
a∙tgx + b = 0 или tgx = m
2)Второй степени:
a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0
Разделим обе части на cos²x.
Получим квадратное уравнение:
a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.

17. Найти наименьший положительный корень

у
3
х
x
1
cos
3
2
x
3 3
x 1

18. Найти наименьший положительный корень

3
4
у
tg
х
4
x
12
1
x 3
12 4
x 9

19. Найти наибольший отрицательный корень

x
5
6
3
cos
3
2
у
х
5
6
x 5
3
6
x 2,5

20. Найти наибольший отрицательный корень

y
tg
4
x
3
4
x
10
1
x 3
10
4
x 7,5

21.

2 cos x 3
180;270
y
150
30
210
180
x
210
270

22. Найти наименьший положительный корень

120
у
3
sin 2 x
2
60
х
240
300
2 x 240
x 120

23. Наибольшее отрицательное (в градусах)

2 sin 3x 2
Наибольшее
отрицательное (в градусах)
у
3х 225
225
х
135
45
х 75

24.

25.

I вариант (БУ)
II вариант (ПУ)
Решите уравнения:
1.
1.
2.
2.
3.
3.
В ответе запишите букву (код ответа) соответствующую ответу вашего решения.
a=1
a=0
a= -1
,

26.

I вариант (БУ)
II вариант (ПУ)
Решите уравнения:
1.
1.
2.
2.
3.
3.
В ответе запишите букву (код ответа) соответствующую ответу вашего решения.
Ответы:
САМ