Представление (кодирование) чисел. Информатика для колледжа

1. Представление (кодирование) чисел

Информатика для колледжа

2. Двоичное кодирование в компьютере

Вся информация, которую обрабатывает компьютер должна
быть представлена двоичным кодом с помощью двух цифр:
0 и 1. Эти два символа принято называть двоичными
цифрами или битами.
С помощью двух цифр 0 и 1 можно закодировать любое
сообщение. Это явилось причиной того, что в компьютере
обязательно должно быть организованно два важных
процесса: кодирование и декодирование.
Кодирование – преобразование входной информации в форму,
воспринимаемую компьютером, т.е. двоичный код.
Декодирование – преобразование данных из двоичного кода в
форму, понятную человеку.
Привет!
1001011
2

3. Почему двоичное кодирование

С точки зрения технической реализации использование двоичной системы
счисления для кодирования информации оказалось намного более
простым, чем применение других способов. Действительно, удобно
кодировать информацию в виде последовательности нулей и единиц, если
представить эти значения как два возможных устойчивых состояния
электронного элемента:
0 – отсутствие электрического сигнала;
1 – наличие электрического сигнала.
Эти состояния легко различать. Недостаток двоичного кодирования –
длинные коды. Но в технике легче иметь дело с большим количеством
простых элементов, чем с небольшим числом сложных.
Способы кодирования и декодирования информации в компьютере, в первую
очередь, зависит от вида информации, а именно, что должно
кодироваться: числа, текст, графические изображения или звук.
3

4. Система счисления

Для записи информации о количестве
объектов используются числа. Числа
записываются
с
помощью
набора
специальных символов.
Система счисления — способ записи чисел
с помощью набора специальных знаков,
называемых цифрами.
4

5. Виды систем счисления

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
ПОЗИЦИОННЫЕ
НЕПОЗИЦИОННЫЕ
В позиционных системах счисления
величина, обозначаемая цифрой в
записи числа, зависит от её
положения в числе (позиции).
В непозиционных системах
счисления величина, которую
обозначает цифра, не зависит от
положения в числе.
211
XXI
5

6. Непозиционные системы счисления

Каноническим примером фактически непозиционной системы
счисления является римская, в которой в качестве цифр
используются латинские буквы:
I обозначает 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M -1000.
Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр.
Например, II = 1 + 1 = 2, здесь символ I обозначает 1 независимо от места в
числе.
Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо
сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец,
единиц.
Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX,
восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.
MCMLXXXVIII = 1000+(1000-100)+(50+10+10+10)+5+1+1+1 = 1988
Для изображения чисел в непозиционной системе счисления нельзя ограничится
конечным набором цифр. Кроме того, выполнение арифметических действий в них
крайне неудобно.
6

7. Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления величина,
обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от
её положения в числе (позиции).
Количество используемых цифр
основанием системы счисления.
называется
Например, 11 – это одиннадцать, а не два: 1 + 1 = 2
(сравните с римской системой счисления). Здесь
символ 1 имеет различное значение в
зависимости от позиции в числе.
7

8. Первые позиционные системы счисления

Самой первой такой системой, когда
счетным "прибором" служили пальцы рук,
была пятеричная.
Некоторые племена на филиппинских островах
используют ее и в наши дни, а в цивилизованных
странах ее реликт, как считают специалисты,
сохранился
только
в
виде
школьной
пятибалльной шкалы оценок.
8

9. Двенадцатеричная система счисления

Следующей
после
пятеричной
возникла
двенадцатеричная система счисления. Возникла
она в древнем Шумере. Некоторые учёные
полагают, что такая система возникала у них из
подсчёта фаланг на руке большим пальцем.
Широкое распространение получила двенадцатеричная система
счисления в XIX веке. На ее широкое использование в прошлом
явно указывают названия числительных во многих языках, а также
сохранившиеся в ряде стран способы отсчета времени, денег и
соотношения между некоторыми единицами измерения. Год
состоит из 12 месяцев, а половина суток состоит из 12 часов.
Элементом двенадцатеричной системы в современности может
служить счёт дюжинами. Первые три степени числа 12 имеют
собственные названия: 1 дюжина = 12 штук; 1 гросс = 12 дюжин =
144 штуки; 1 масса = 12 гроссов = 144 дюжины = 1728 штук.
Английский фунт состоит из 12 шиллингов.
9

10. Шестидесятеричная система счисления

Следующая позиционная система счисления была
придумана еще в Древнем Вавилоне, причем
вавилонская
нумерация
была
шестидесятеричная,
т.е.
в
ней
использовалось шестьдесят цифр!
В более позднее время использовалась арабами, а также
древними
и
средневековыми
астрономами.
Шестидесятеричная система счисления, как считают
исследователи,
являет
собой
синтез
уже
вышеупомянутых
пятеричной
и
двенадцатеричной
систем.
10

11. Какие позиционные системы счисления используются сейчас?

В
настоящее время наиболее распространены
десятичная,
двоичная,
восьмеричная
и
шестнадцатеричная системы счисления.
Двоичная, восьмеричная (в настоящее время вытесняется
шестнадцатеричной) и шестнадцатеричная система часто
используется в областях, связанных с цифровыми
устройствами, программировании и вообще компьютерной
документации.
Современные компьютерные системы оперируют информацией
представленной в цифровой форме. Числовые данные
преобразуются в двоичную систему счисления.
11

12. Десятичная система счисления

Десятичная система
счисления — позиционная
система счисления по
основанию 10.
Предполагается, что основание
10 связано с количеством
пальцев рук у человека.
Наиболее распространённая
система счисления в мире.
Для записи чисел используются
символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, называемые арабскими
цифрами.
12

13. Посчитаем… и запишем

*
**
***
***
*
***
**
***
***
***
***
*
0
1
2
***
***
***
***
***
***
**
***
***
***
***
10
11
12
*
***
***
**
***
***
***
3
4
5
6
7
8
9
*****
*****
***
*****
*****
****
*****
*****
*****
*****
*****
*****
*
*****
*****
*****
**
*****
*****
*****
***
*****
*****
*****
****
13
14
15
16
17
18
19
*****
*****
*****
*****
…
20
…
13

14. Двоичная система счисления

Двоичная система счисления — позиционная система
счисления с основанием 2. Используются цифры 0 и 1.
Двоичная система используется в цифровых устройствах,
поскольку является наиболее простой и удовлетворяет
требованиям:
Чем меньше значений существует в системе, тем проще
изготовить отдельные элементы.
Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше
помехоустойчивость и тем быстрее он может работать.
Простота создания таблиц сложения и умножения —
основных действий над числами
14

15. Алфавит десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления

Система счисления
Основание
Алфавит цифр
Десятичная
10
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная
2
0, 1
Восьмеричная
8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная
16
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
15

16. Соответствие десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления

p=10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
p=2
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
p=8
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
20
p=16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
Количество используемых цифр называется основанием системы счисления.
При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы
обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе:
12310 — это число 123 в десятичной системе счисления;
11110112 — то же число, но в двоичной системе.
Двоичное число 1111011 можно расписать в виде: 11110112 = 1*26 + 1*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20.
16

17. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Чтобы перевести число из позиционной системы счисления с
основанием p в десятичную, надо представить это число в
виде суммы степеней p и произвести указанные вычисления
в десятичной системе счисления.
Например, переведем число 10112 в десятичную систему счисления. Для этого
представим это число в виде степеней двойки и произведем вычисления в
десятичной системе счисления.
10112 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 1110
Рассмотрим еще один пример. Переведем число 52,748 в десятичную систему
счисления.
52,748 = 5*81 + 2*80 + 3*8-1 + 4*8-2 = 5*8 + 2*1 + 7*1/8 +4*1/49 = 40 + 2 + 0,875 +
0,0625 = 42,937510
17

18. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод из десятичной системы
счисления в систему счисления с
основанием
p
осуществляется
последовательным
делением
десятичного числа и его десятичных
частных на p, а затем выписыванием
последнего частного и остатков в
обратном порядке.
Переведем десятичное число 2010 в
двоичную
систем
счисления
(основание системы счисления p=2).
В итоге получили 2010 = 101002.
18

19. Числа в компьютере

Числа
в
компьютере
хранятся
и
обрабатываются в двоичной системе
счисления. Последовательность нулей и
единиц называют двоичным кодом.
Специфической особенности представления
чисел в памяти компьютера рассмотрим
на других уроках по теме «системы
счисления».
19

20. Вопросы:

Что такое система счисления?
Какие два вида систем счисления вы
знаете?
Что такое основание системы счисления?
Что такое алфавит системы счисления?
Примеры.
В какой системе счисления хранятся и
обрабатываются числа в памяти
компьютера?
20

21. Какое количество компьютеров вы видите? Ответ дайте в двоичной, восьмеричной и десятичной системах счисления.

?
Ответ:
102
28
Двоичная
Восьмеричная
210
Десятичная
21

22. Какое количество компьютеров вы видите? Ответ дайте в двоичной, восьмеричной и десятичной системах счисления.

?
Ответ:
112
38
Двоичная
Восьмеричная
310
Десятичная
22

23. Какое количество компьютеров вы видите? Ответ дайте в двоичной, восьмеричной и десятичной системах счисления.

?
Ответ:
1012
Двоичная
58
Восьмеричная
510
Десятичная
23

24. Какое количество компьютеров вы видите? Ответ дайте в двоичной, восьмеричной и десятичной системах счисления.

?
Ответ:
1112
Двоичная
78
Восьмеричная
710
Десятичная
24

25. Какое количество компьютеров вы видите? Ответ дайте в двоичной, восьмеричной и десятичной системах счисления.

?
Ответ:
10002
Двоичная
108
Восьмеричная
810
Десятичная
25

26. Какое количество компьютеров вы видите? Ответ дайте в двоичной, восьмеричной и десятичной системах счисления.

?
Ответ:
10012
Двоичная
118
Восьмеричная
910
Десятичная
26

27. Задания:

Прочитайте стихотворение. Переведите встречающиеся в нем
числительные из двоичной системы счисления в десятичную.
Необыкновенная девчонка (А. Н. Стариков)
Ей было тысяча сто лет,
Она в 101-ый класс ходила,
В портфеле по сто книг носила –
Все это правда, а не бред.
Когда, пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато стоногий.
Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами,
И десять загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И десять темно-синих глаз
Рассматривали мир привычно,…
Но станет все совсем обычным,
Когда поймете наш рассказ.
27

28. Вопросы:

У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет,
а старшему 1111 лет. Старший учится в
1001 классе. Может ли быть такое?
Когда дважды два равно 100?
28

29. Задания:

Запишите число 1945 в римской системе
счисления.
Запишите в развернутом виде числа: 200710,
2348, 101102 .
Чему будут равны числа 1748, 2E16, 101,1012 в
десятичной системе счисления?
Как будет записываться число 1410 в двоичной
системе счисления? 10010 в восьмеричной?
29