Потоки платежей. Ренты

1. Основы финансовых вычислений Потоки платежей. Ренты.

2.

Поток платежей – это последовательность
величин самих платежей (со знаками) и
моментами времени, когда они осуществлены.
Платеж со знаком: + поступление;
– выплата.
Поток может быть конечным или бесконечным.
{Rk , t k } - поток платежей;
t k - момент платежа Rk .
Ставка процента i обычно неизменна в течение
всего потока.

3.

Величина потока в момент времени T:
(T ) Rk (1 i)T tk
k
R1
t1
Rn
R2
(T ) Rl
t2 … T … tl … tn
(T ) (T )(1 i)T T
Обобщающие характеристики:
(0) – современная величина потока;
Если есть последний платеж, то величина
потока в момент этого платежа называется
конечной величиной потока.

4.

Пример.
-2000
1000
2000
1
2
3
0
( 2000; 1); (1000, 2) (2000, 3) , i 0,1
(0) 2000 (1 0,1) 1 1000 (1 0,1) 2
2000 (1 0,1) 3 510,8
(3) 2000 (1 0,1) 2 1000 (1 0,1) 2000
(0) (1 0,1)3 679,8

5.

Поток положительных платежей
одинаковой величины
с постоянными промежутками между ними
называется рентой (аннуитетом).

6.

Параметры ренты:
R – величина отдельного платежа;
период ренты – временной интервал между
двумя соседними платежами;
срок ренты (n) – время, измеренное от начала
финансовой ренты до конца ее последнего
периода;
i – процентная ставка, используемая при
наращении и дисконтировании платежей;
m – число начислений процентов в году;
p – число платежей в году;
моменты платежа внутри периода.

7.

Моменты платежа внутри периода:
Если платеж поступает в конце очередного
промежутка, то рента называется
постнумерандо, если в начале – пренумерандо.
R
R
0
1
2
R
R
R
0
1
2
…
R
R
n-1
n
R
…
n-1
n

8.

Конечная годовая рента постнумерандо
(p = 1; m = 1).
R – годовой платеж; n – длительность ренты;
i – годовая ставка.
1000
0
1
1000
1000
1000 - годовые
1000
1000
1100
2310
3641
5105,1
2
2100
3
3310
4
4641
5
всего
6105,1 - на счете
платежи

9.

Наращенная величина конечной годовой ренты
постнумерандо.
S R(1 i) n 1 R(1 i) n 2 R(1 i) 2 R(1 i) R
R 1 (1 i) (1 i) 2 (1 i) n 2 (1 i) n 1
(1 i) n 1
R
1 i 1
0
1000
1000
1000
1000
1000
1
2
3
4
5
(1 i ) n 1
S R
i
(1 i ) n 1
s(n, i )
i
множитель наращения
ренты постнумерандо

10.

Современная величина конечной годовой ренты
постнумерандо.
R
R
R
A
2
n
(1 i ) (1 i )
(1 i )
R (1 i ) 1 (1 i ) 2 (1 i ) n
1 (1 i ) n
R
i
1 (1 i ) n
A R
i
1 (1 i) n
a(n, i)
– коэффициент приведения
i
ренты
0
1000
1000
1000
1000
1000
1
2
3
4
5

11.

n
n
1
(
1
i
)
(
1
i
)
1
n
n
A(1 i) R
(1 i ) R
S
i
i
s(n, i )
a(n, i )
(1 i ) n
s(n, i ) a(n, i )(1 i ) n
Как изменяются коэффициенты с ростом
процентной ставки?
(1 i) n 1
(1 0,1)5 1
S R
1000
6105,1
i
0,1
1 (1 i) n
1 (1 0,1) 5
A R
1000
3790,79
i
0,1

12.

Характеристики конечной годовой ренты
пренумерандо.
S R(1 i) n R(1 i) n 1 R(1 i)3 R(1 i) 2 R(1 i)
R(1 i) 1 (1 i) (1 i) 2 (1 i) n 2 (1 i) n 1
n
(
1
i
)
1
S R(1 i )
i
(1 i ) n 1
s (n, i ) (1 i )
– множитель наращения
i
ренты пренумерандо
n
S
1
(
1
i
)
(n, i )
A
R(1 i )
Ra
n
(1 i )
i

13.

(1 i ) n 1
S R
i
(1 i ) n 1
S S (1 i ) R (1 i )
i
..
S
1 (1 i ) n
A
R
n
(1 i )
i
..
S
1 (1 i ) n
А A(1 i )
R (1 i )
n
(1 i )
i
..

14.

{R; n; j}; (p = 1; m > 1)
R(1 j / m) m( n 1) ; R(1 j / m) m( n 2) ; ; R(1 j / m) m ; R
mn
1 j / m 1
S R
1 j / m m 1
{R; n; i}; (p > 1; m = 1)
R – годовая сумма, разовый платеж – R/p
R 1 i
1
1 i 1
S
R
1/ p
1/ p
p 1 i 1
p 1 i 1
(1 / p ) np
n

15.

Наращенная стоимость ренты постнумерандо
{R; n; j}; (p = m > 1)
R 1 j / m 1
1 j / m 1
S
R
p 1 j / m 1
j
mn
R – годовой платеж!
mn

16.

Наращенная стоимость ренты постнумерандо
{R; n; j}; (p ≥ 1; m ≥ 1, возможно, p ≠ m)
Общее число разовых платежей R/p – np.
Первый платеж R/p внесен спустя 1/p года
после начала к концу срока будет равен
1
m
R
R
m n
mn
1 j / m p 1 j / m p .
p
p
Второй платеж
2
m
R
R
m n
mn 2
p.
1 j / m p 1 j / m
p
p
R 1 j / m
1
1 j / m 1
S
R
m/ p
m/ p
p 1 j / m 1
p 1 j / m 1
( m / p ) np
mn

17.

Наращенная стоимость ренты постнумерандо
{R; n; j}; (p ≥ 1; m ≥ 1, возможно, p ≠ m)
mn
1 j / m 1
S R
m/ p
p 1 j / m 1
R – годовой платеж!
1. Как найти современную стоимость такой
ренты?
2. Как изменится формула для ренты
пренумерандо?

18.

Пример. R = 1000; n = 5; i = 0,1; m=p=1
(1 i) n 1
(1 0,1)5 1
S R
1000
6105,1
i
0,1
1 (1 i) n
1 (1 0,1) 5
A R
1000
3790,79
i
0,1
n
5
(
1
i
)
1
(
1
0
,
1
)
1
S R (1 i )
1000 (1 0,1)
i
0,1
S (1 i ) 6105,1 1,1 6715,61
n
5
1
(
1
i
)
1
(
1
0
,
1
)
R(1 i )
A
1000 (1 0,1)
i
0,1
S /(1 i ) n A(1 i ) 3790,79 1,1 4169,87

19.

Пример. R = 1000; n = 5; i = 0,1;
m = p = 4; Rq = 250
R (1 j / m) mn 1
(1 0,1 / 4) 4 5 1
S
250
6386,16
p
j/m
0,1 / 4
R 1 (1 j / m) mn
1 (1 0,025) 20
A
250
3897,29
p
j/m
0,025
S S (1 j / m) 6386,16 1,025 6545,82
A(1 i) 3897,29 1,025 3994,72
A

20.

Определение параметров годовой ренты.
{R; n; i} (p = m = 1)
1) Если заданы R; n; i, то A=R·a(n, i); S=R·s(n, i)
2) Если заданы R; A или S; i, то из формул
1 (1 i) n
A R
;
i
(1 i) n 1
S R
i
*
S
ln i 1
R
n
ln 1 i
получим:
A
ln 1 i
R
n
;
ln 1 i
*Имеет смысл только при R ≥ Ai

21.

округление n:
у р-срочной ренты результат округляется до
ближайшего целого.
Например: n = 6,28; р = 4. Тогда np = 25,12;
[np] = 25. Окончательно имеем n = 6,25.

22.

3) Если заданы A или S; n; i, то
A
R
;
a n, i
S
R
s ( n, i )

23.

Если заданы R; A или S; n, то надо подобрать i.
1 (1 i ) n
A R
;
i
(1 i ) n 1
S R
i
1 (1 i ) n A
a (n, i );
i
R
(1 i ) n 1 S
s ( n, i )
i
R
Решение может быть найдено приближенно.

24.

A 1 (1 i ) n
1
1
1
2
R
i
(1 i ) (1 i )
(1 i ) n
Следовательно, при A/R ≥ n уравнение решений не
имеет, т.е. искомой ставки не существует.
A 1 (1 i ) n
R
i

25.

Метод линейной интерполяции.
1. С помощью прикидочных расчетов находим нижнюю
(iн) и верхнюю (iв) оценки ставки путём подстановки в
одну из формул
1 (1 i ) n A
a (n, i );
i
R
a ( n, i ) a;
(1 i ) n 1 S
s ( n, i )
i
R
s ( n, i ) s
различных числовых значений ставки i и сравнения
результата с правой частью выражения.
2. Корректировка нижнего значения осуществляется по
s sн
формуле
i iн
sв s н
(iв iн )
sн, sв ‒значения коэффициента наращения для iн и iв
соответственно.

26.

Полученное значение ставки проверяют, подставляя его
в левую часть исходного уравнения и сравнивая
результат с правой частью. Если точность недостаточна,
то повторно применяют последнюю формулу, заменив
одно из значений ставки на более точное.

27.

Вечные ренты или перпетуитеты
Чему равна будущая стоимость ренты такого рода?
R
R
R
А
2
n
(1 i ) (1 i )
(1 i )
R
A
i
R A i

28.

Пример. По условиям страхового договора компания
обязуется выплачивать 5 тыс. рублей в год на
протяжении неограниченного периода, т.е. вечно. Чему
должна быть равна стоимость этой ренты, если уровень
процентной ставки составит 25% годовых?
Решение. А∞=5000/0,25=20000 руб.
Предположим,
рассмотренная
рента
будет
выплачиваться дважды в год по 2,5 тыс. рублей, столько
же раз будут начисляться проценты (25% в этих
условиях становится номинальной ставкой, m=2). Его
стоимость останется неизменной 20 тыс. рублей
5000 / 2
20000 руб. .
A
0,25 / 2

29.

В наиболее общем виде (m > 1, p > 1, m ≠ p) формула
приведенной стоимости вечной ренты:
R
A
m/ p
p 1 j / m 1
Пример. Требуется выкупить при ставке 25% годовых
вечную ренту, член которой равен 5 млн. руб.,
выплачиваемых в конце каждого полугодия.
Решение.
5000
A
42360,68 ттысруб.
1 0,25 1

30.

Связь между годовой вечной и годовой конечной
рентами (аннуитетами).
1 (1 i ) n R R
1
A R
i
i i (1 i ) n
То есть современная величина конечной ренты,
имеющей срок n периодов, может быть представлена
как разница между современными величинами двух
вечных рент, выплаты по одной из которых начинаются
с первого периода, а по второй – после n периодов.

31.

Немедленные ренты
A
S
R
R
1
0
2
...
R
…
n
Отложенные ренты
A0
0
A
…
k
S
R
…
R
k+1
…
k+n
1 (1 i ) n
1
A0 R
i
(1 i ) k