Системы счисления

1. Системы счисления

Системы счисления
Двоичная система счисления
Двоичная арифметика
Системы счисления, используемые в
компьютере
1

2. Системы счисления

Известно много способов представления
чисел.
В любом случае число изображается группой
символов (словом) некоторого алфавита.
Будем называть такие символы цифрами,
символические изображения чисел –
кодами,
правила получения кодов – системами
счисления, которые делятся на
непозиционные и позиционные.
2

3. Непозиционные системы счисления

Непозиционные – значение каждой цифры не
зависит от ее положения.
Примеры:
унарная система – для записи чисел используется
всего один символ (палочка, узелок, зарубка,
камушек), длина записи числа при таком кодировании
связана с его величиной;
римская система счисления;
I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000),
III (3), IV (4), VI (6), XL (40), LX (60), XC (90), CIX (109)
MCMLXXXVI = 1986
3

4. Примеры (продолжение)

Система счисления
Древнего Египта
Старинная Русская система, с
помощью которой сборщики
податей заполняли квитанции об
уплате подати
(Звезда – 1000 р, колесо – 100р,
квадрат – 10р, Х – 1р,
I – копейка)
4

5. Примеры (продолжение)

Славянская нумерация
(или алфавитная) –
числовые значения букв
устанавливались в
порядке славянского
алфавита. Над буквой,
обозначающей число,
ставился специальный
знак ~ («титло»).
Славянская система
счисления сохранилась
в церковных книгах.
5

6. Позиционные системы счисления

Позиционные – значение цифры зависит от ее места в
коде числа.
В привычной нам системе счисления для записи чисел
используются 10 различных знаков. Причина, по
которой десятичная система стала общепринятой –
10 пальцев на руке (вот аппарат для счета, которым
человек пользуется с доисторических времен.
Древнее написание
Каждая цифра обозначает количество углов в ней: 0 –
углов нет, 1 – один угол, 2 – два угла и т.д.
Десятичной системой люди пользовались не всегда.
В разные исторические периоды многие народы
использовали другие системы счисления.
6

7. Другие системы

Двенадцатиричная
система счисления.
Происхождение ее тоже
связано со счетом на
пальцах. Считали большой
палец руки и фаланги
четырех пальцев –
всего их 12.
Мы сталкиваемся с
двенадцатиричной системой
– сервиз на 12 персон,
мебель (12 стульев),
циферблат часов и т.д.
7

8.

Пятиричная система счисления (связано с рукой) (у
африканских племен, в Китае).
Двадцатиричная система счисления – у ацтеков,
майя, кельтов (использовались пальцы рук и ног.)
Сохранились отголоски во Франции (денежная
единица франк = 20 су).
Шестидесятиричная система
счисления –существовала в
древнем Вавилоне.
Отголоски – 1 час = 60 мин,
1о = 60’. Написание чисел выглядит
Система слишком громоздка
и неудобна.
8

9.

Древнегреческая нумерация – числа 1, 2, 3, 4
обозначались черточками |, ||, |||, ||||, число 5
знаком Г, 6, 7, 8, 9 обозначались Г|, Г||, Г|||, Г||||.
Число 10 - ∆. Числа 100, 1000, 10000 – Н, Х, М.
Числа 50, 500, 5000 – комбинации знаков 5 и 10, 5
и 100, 5 и 1000, а именно Г∆, ГН, ГХ. Остальные
цифры писались так:
9

10.

К позиционным системам счисления относятся и
«машинные» системы счисления: двоичная,
восьмеричная , шестнадцатиричная.
Из истории известен курьезный случай с
восьмеричной системой. Шведский король Карл XII
в 1717 году увлекался восьмеричной системой,
считал ее более удобной, чем десятичная, и
намеревался королевским указом ввести ее как
общепринятую. Неожиданная смерть короля
помешала ему осуществить столь необычное
намерение
10

11. Двоичная система счисления

Из всех позиционных систем счисления двоичная
особенно проста. Следует отметить, что она издавна
была предметом пристального внимания многих
ученых. Вот что писал Лаплас об отношении к
двоичной системе великого немецкого математика Лейбница:
«В своей бинарной арифметике Лейбниц
видел прообраз творения. Ему представлялось, что
единица представляет божественное начало, а нуль –
небытие и что высшее существо создает все сущее из
небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его
системе выражают все числа».
Итак, двоичное число представляет собой цепочку из нулей и
единиц. Обычно у него достаточно большое число разрядов.
Быстрый рост числа разрядов – самый существенный
недостаток двоичной системы счисления.
11

12. Примеры

Пример 1, некогда был пруд, в центре которого рос один лист водяной лилии.
Каждый день число таких листьев удваивалось, и на десятый день поверхность
пруда уже была заполнена листьями лилий. Сколько дней понадобилось, чтобы
заполнить листьями половину пруда?. Сосчитайте, сколько листьев выросло к
десятому дню.
Пример 2, на одном из приисков старатели были возмущены действиями Джо
Макдональда – хозяина салуна, принимавшего от них в уплату золотой песок.
Очень уж необычными были гири, с помощью которых тот взвешивал золото: 1, 2.
4, 8, 16, 32, и 64 грамма. Джо утверждал, что с помощью такого набора гирь он
может взвесить любую порцию песка, не превышающую 127 граммов. Прав ли
Джо? Какой наибольший вес могут «взять» такие гири? Как с помощью названных
гирь набрать вес: 25 г., 48 г., 72 г., 105 г. ? Джо прав – 10010 = 11001002 ,
максимальный вес составляет 11111112 = 127 г
64
32
16
8
4
2
1
Двоичная
запись
25
-
-
х
х
-
-
X
11001
48
-
х
х
-
-
-
--
110000
72
х
-
-
х
-
-
-
1001000
105
х
х
-
х
-
-
х
1101001
12

13. Двоичная арифметика

С двоичными числами, как и с десятичными можно производить
арифметические действия.
Сложение. Правила сложения:
0+0=0
0+1=1
1 + 0 =1
1 + 1 = 10 – результат сложения двух единиц: ноль и единица переноса
в старший разряд – 1 основное правило двоичной системы счисления.
Пример. Сложить два двоичных числа 1101112 и 10112 (двойка,
записанная справа от числа указывает на двоичную систему
счисления). Далее будем пользоваться аналогичным обозначением и
для других систем счисления. Складывать будем столбиком:
1101112
+
10112
-------10000102
13

14. Вычитание

Вычитание. Правила вычитания:
0–0=0
1 – 0 =1
1 – 1 =0
10 – 1 = 1 – второе основное правило двоичной системы счисления.
При вычитании многоразрядных чисел может возникнуть необходимость «занять» единицу в старшем
разряде, что дает две единицы в младшем разряде. Нужно отметить, что если в десятичном числе
выделяются разряды единиц, сотен и т.д., то в двоичном числе выделяются разряды единиц, двоек,
четверок…
Пример: 1002 - 112. В числе 1002 выделим следующие разряды:
1 - разряд четверок;
0 – разряд двоек;
0 – разряд единиц.
Вычесть единицу из младшего разряда (единиц) нельзя, перейдем
к следующему разряду (двоек),но и тут тоже ноль, поэтому
перейдем к следующему разряду (четверок). Находящуюся в этом
разряде единицу представим как сумму двух единиц из разряда двоек, т.е.
теперь одну из полученных единиц также представим
как сумму единиц младшего разряда (в разряде двоек
останется одна единица), т.е.
легко выполнить вычитание из уменьшаемого, записанного в таком виде:
Как и в десятичной системе проверить вычитание можно обратным действием
– сложением.
14

15. Умножение

Правила умножения:
0•0=0
0•1=0
1•0=0
1•1=1
умножение двоичных чисел сводится к умножению множимого на
каждый разряд множителя с последующим сдвигом и суммированию
полученных произведений аналогично умножению в десятичной
системе счисления.
Пример. 11012 • 1012
Умножение производим в столбик:
.1101
101
1101
1101__
1000001
15

16. Задание

Задание.
Воспользуйтесь формулой для
перевода чисел из двоичной
системы в десятичную:
1
0001
2
0010
3
0011
4
0100
5
0101
6
0110
7
0111
8
1000
9
1001
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Сложите числа в каждом столбце,
каждой строке или в любой
диагонали и убедитесь, что
данный квадрат - магический
16

17. Системы счисления, используемые в компьютере

Кроме двоичной системы в компьютере также применяются и
восьмеричная и шестнадцатиричная системы.
Обмен информацией между устройствами большинства ЭВМ
осуществляется путем передачи двоичных чисел.
Пользоваться такими числами из-за большой их длины и
зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому
специалисты (программисты и инженеры) на этапах
составления программ, их отладки часто заменяют двоичные
коды на восьмеричные или шестнадцатиричные.
В результате длина исходного слова сокращается в три,
четыре раза соответственно. Это делает информацию более
удобной для рассмотрения и анализа.
17

18. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Пример 1. Перевести десятичное
число в двоичную систему:
Собирая остатки от деления в
направлении, указанном стрелкой,
получим 1910 = 100112
Пример 2. Перевести десятичное
число 173 в восьмеричную систему
счисления.
Снова собираем остатки от деления в
направлении стрелки, получаем 17310 =
2558
Пример 3. Перевести десятичное
число 173 в шестнадцатиричную
систему счисления: (используются
цифры от 0 до 9, а затем афавит
10 – А, 11 – B, 12 – C, 13 – D, 14 – E,
15 – F)
18

19. Общее правило перевода целых чисел из системы счисления с основанием р в систему с основанием q:

последовательно выполнять деление данного числа и
получаемых неполных частных на основание новой системы
счисления до тех пор, пока не получим неполное частное,
меньшее делителя,
полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой
системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой
системы счисления,
составить число в новой системе счисления, записывая его
начиная с последнего остатка.
Перевод числа из двоичной, восьмеричной, шестнадцатиричной
системы:
19

20. Деление

Деление в двоичной системе счисления, как и в
десятичной, основано на сравнении остатка с
делителем в ходе последовательного выполнения
вычитаний и сдвигов.
Пример. Разделить число 10101 на число 111
10101
|111
111
11
111
111
0
20

21. Самостоятельное задание

Перевести числа из одной системы счисления в другую
№вар
Из 10 в 8
из 10 в 16
из 2 в 8
из 2 в 16
из 8 в 10
из 16 в 10
1
208
621
1100000
11001100110
1027
2CA3
Перевести числа из одной системы счисления в другую
№вар
Из 10 в 8
из 10 в 16
из 2 в 8
из 2 в 16
из 8 в 10
из 16 в 10
2
187
575
10011010
1100101011
254
80B
Перевести числа из одной системы счисления в другую
№вар
Из 10 в 8
из 10 в 16
из 2 в 8
из 2 в 16
из 8 в 10
из 16 в 10
3
209
617
100000001
11001100001
376
FC8
Перевести числа из одной системы счисления в другую
№вар
Из 10 в 8
из 10 в 16
из 2 в 8
из 2 в 16
из 8 в 10
из 16 в 10
4
211
562
11010101
11000011101
351
E78
Перевести числа из одной системы счисления в другую
№вар
Из 10 в 8
из 10 в 16
из 2 в 8
из 2 в 16
из 8 в 10
из 16 в 10
5
356
854
1101011
10011010001
265
5F7
Перевести числа из одной системы счисления в другую
№вар
6
Из 10 в 8
из 10 в 16
из 2 в 8
из 2 в 16
из 8 в 10
из 16 в 10
813
957
10001001
11100000110
235
C53
21