Средние величины и показатели вариации

1. ТЕМА 5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

5.1. Средняя величина: понятие и виды
5.2.Средняя арифметическая: способы
расчета и ее свойства
5.3. Способы расчета средней гармонической
5.4. Структурные средние: мода и медиана
5.5. Показатели вариации

2. Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего количественного признака на единицу

совокупности в
определенных условиях места и
времени.

3. Виды средних величин:

Степенные средние (к ним
относятся средняя арифметическая,
средняя гармоническая, средняя
квадратическая, средняя
геометрическая);
Структурные средние (мода и
медиана).

4. Степенные средние рассчитываются по формуле

х
Степенные средние рассчитываются
по формуле
х R
x
n
R
где x − индивидуальное значение усредняемого
признака;
R − показатель степени средней;
n − число признаков (единичной совокупности);
∑ − сумма.

5. Виды простых средних:

Значение
R
-1
0
Формула
х
n
1
x
х n x1 x2 x3 xn n Пх
Наименование простой
средней
простая гармоническая
простая геометрическая
где П - произведение
1
х
х
n
простая арифметическая
2
x 2
х
n
простая квадратическая

6. Средняя арифметическая – это частное от деления суммы индивидуальных значений признака всех единиц совокупности на число единиц

совокупности.

7. Виды средней гармонической:

2. Средняя гармоническая взвешенная
рассчитывается по формуле:
w1 w2 w3 ... wn
w
х
wn
w
w1 w2 w3
...
x
x1 x 2 x3
xn
где w(xf) – весь объем явления.

8. Средняя арифметическая простая применяется в двух случаях:

когда каждая варианта встречается
только один раз в ряду
распределения;
когда все частоты равны между
собой.

9. Средняя арифметическая взвешенная используется, когда частоты не равны между собой:

х1 f1 х2 f 2 х3 f 3 ... хn f n xf
х
f1 f 2 f 3 ... f n
f
где f1, f2, f3, …fn − частоты или веса (числа,
показывающие, сколько раз встречаются
индивидуальные значения признака).

10. Свойства средней арифметической:

1. Средняя величина от постоянной величины
равна ей самой:
Ā = A.

11. Свойства средней арифметической:

2. Произведение средней величины на сумму
частот
равно
сумме
произведения
вариантов на их частоты:
х f x f

12. Свойства средней арифметической:

3. Если каждую варианту увеличить или
уменьшить на одну и ту же величину, то
средняя
величина
увеличится
или
уменьшится на эту же величину:
( x A) f
x A
f

13. Свойства средней арифметической:

4. Если каждую варианту увеличить или
уменьшить в одно и то же число раз, то
средняя
величина
увеличится
или
уменьшится в то же число раз:
( x A) f
x A
f

14. Свойства средней арифметической:

5. Если
все
частоты
увеличить
или
уменьшить в одинаковое число раз, средняя
величина не изменится:
x ( A f ) А х f x f
x
А f
A f
f

15. Свойства средней арифметической:

6. Средняя величина суммы равна сумме
средних величин:
х у x у

16. Свойства средней арифметической:

7. Сумма отклонений всех значений признака
от средней величины рана нулю.

17. Виды средней гармонической:

1. Средняя гармоническая простая
рассчитывается по формуле:
n
х
1
x

18. Для интервального ряда с равными интервалами мода рассчитывается по формуле:

f M f M 1
Мо х0 iM
( f M f M 1 ) ( f M f M 1 )
где x0 − начальная (нижняя) граница модального
интервала;
iM, iM-1, iM+1 − величина соответственно модального,
до- и послемодального интервалов
fM, fM-1, fM+1 − частота модального, до- и
послемодального интервалов соответственно.

19. Мода (Mo) − наиболее часто встречающееся значение признака у единиц совокупности.

20. Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле:

х1 х2 х3 ... хn x
х
n
n
где x1, x2, x3, …xn − индивидуальные значения
признака (варианты);
n − число единиц совокупности (вариант).

21. Модальный интервал – это интервал, который имеет наибольшую частоту.

22. Медиана (Me) – это значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные части по

числу единиц: одна
часть имеет значения признака
меньше медианы, а другая
больше медианы.

23. Ранжированный ряд – это расположение значений признака в порядке возрастания или убывания.

24. В дискретном ранжированном ряду, где каждая варианта встречается один раз, а число вариант нечетное номер медианы определяется

по формуле:
N Mе
n 1
2
где n – число членов ряда.

25. В дискретном ранжированном ряду, где каждая варианта встречается несколько раз, номер медианы определяется по формуле:

N Mе
f
2

26. Для интервального ряда медиана рассчитывается по формуле:

f
S Mе 1
2
Ме х0 i Me
f Mе
где x0 − нижняя граница медианного интервала;
iMe − величина медианного интервала;
∑f −общее число единиц совокупности;
S Me-1 − накопленная частота до медианного
интервала;
fMe − частота медианного интервала.

27. Медианный интервал – это такой интервал, в котором его накопленная частота равна или превышает полусумму всех частот ряда.

28. Вариация признака – это различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности.

29. Показатели вариации подразделяются на:

1) Абсолютные:
размах вариации;
среднее линейное отклонение;
среднее квадратическое отклонение;
дисперсия.
2) Относительные:
коэффициент осцилляции;
коэффициент вариации;
относительное линейное отклонение.

30. Размах вариации (R) показывает, на какую величину изменяется значение признака:

R xmax xmin
где xmin – максимальное значение признака;
xmax – минимальное значение признака.

31. Среднее линейное отклонение определяется:

d
d
x x
n
– простое
x x f
f
– взвешенное

32. Дисперсия (σ2) определяется:

( х х )
n
2
2
( х х ) f
f
2
2
– простая
– взвешенная

33. Среднее квадратическое отклонение (σ) определяется:

( х х )
n
2
( х х ) f
f
2
– простое
– взвешенное

34.

35.

36.

37.

38. При достаточно большой численности совокупности (200 наблюдений) и нормальном распределении единиц совокупности число групп с

равными
интервалами можно определить по
формуле Стерджесса:
n 1 3,322 lg N
где N – число единиц совокупности.