Двугранный угол. (10-11 класс)

1.

2.

Повторение
a
А
Н
А
Расстояние от точки до
прямой – длина
перпендикуляра,
опущенного из точки А на
прямую.
Н
Расстояние от точки до
плоскости – длина
перпендикуляра

3.

Из точки В к плоскости проведена наклонная, равная 12 см.
Угол между наклонной и ее проекцией на плоскость равен
300. Найти расстояние от точки В до плоскости.
В
?
12 см
С
300
M

4.

Из точки В к плоскости проведены две наклонные, которые
образуют со своими проекциями на плоскость углы в 300.
Угол между наклонными равен 600. Найдите расстояние
между основаниями наклонных, если расстояние от точки В
до плоскости равно 6 .
В
6
2 6
2 6
С
А
300
?
300
M

5.

Из точки В к плоскости проведены две наклонные, которые
образуют со своими проекциями на плоскость углы в 300.
Угол между наклонными равен 900. Найдите расстояние
между основаниями наклонных, если расстояние от точки В
до плоскости равно 6 .
В
2 6
6
С
300
А
?
2 6
300
M

6.

Из точки В к плоскости проведены две наклонные, длины
которых равны 12 и 8 6. Их проекции на плоскость
относятся как 2 : 3. Найдите расстояние от точки В до
плоскости.
В
12
?
8 6
С
А
M

7.

Через вершину С треугольника АВС проведена прямая СМ,
перпендикулярная к его плоскости. Угол С равен 300.
Найдите расстояния: 1) от точки А до прямой ВС;
2) от точки М до прямой ВС, если АС = 12 см, а АМ = 2 3 см.
М
П-Р
А
В
F
СВ АF
П-я
TTП
300
С
СВ MF
Н-я
АF и МF –
искомые расстояния

8.

Планиметрия
Стереометрия
Углом на плоскости мы
называем фигуру,
образованную двумя
лучами, исходящими из
одной точки.
А
В
С
А
В
С
Двугранный угол

9.

Двугранным углом называется фигура, образованная
прямой
a и двумя полуплоскостями с общей границей
a, не принадлежащими одной плоскости.
Прямая a – ребро двугранного угла
a
Две полуплоскости – грани двугранного угла

10.

Двугранный угол АВNМ, где ВN – ребро, точки А и М
лежат в гранях двугранного угла
D
Угол РDEK
S
O
А
Р
N
F
В
К
X
M
E
Угол SFX – линейный угол двугранного угла

11.

Алгоритм построения линейного угла.
Угол РОК – линейный угол двугранного угла РDEК.
D
Градусной мерой двугранного
угла называется градусная мера
его линейного угла.
O
Р
К
E
Плоскость линейного угла ( РОК ) DE

12.

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.
Лучи ОА и О1А1 – сонаправлены
Лучи ОВ и О1В1 – сонаправлены
O
А
В
Углы АОВ и А1О1В1 равны,
как углы с сонаправленными
сторонами
O
А1
1
В1

13.

Двугранный угол может быть прямым, острым, тупым

14.

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – равнобедренный.
АС ВМ
В
H-я
TTП
АС NМ
П-я
П-р
А
К
N
M
П-я
С
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК

15.

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – прямоугольный.
АС ВС
H-я
TTП
АС NС
П-я
В
П-р
А
К
С
N
Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК

16.

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – тупоугольный.
АС ВS
H-я
TTП
АС NS
П-я
В
П-р
А
К
С
S
N
Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК

17.

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – прямоугольник.
А
TTП
DС BС
H-я
DС NС
П-я
В
D
П-р
К
С
N
Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВDСК

18.

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – параллелограмм, угол С острый.
DС ВM
H-я
TTП
DС NM
П-я
А
В
D
П-р
К
M
П-я
N
С
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

19.

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – параллелограмм, угол С тупой.
TTП
DС ВM
А
H-я
DС NM
П-я
В
П-р
К
D
N
С
M
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

20.

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – трапеция, угол С острый.
TTП
DС ВM
H-я
А
DС NM
П-я
В
П-р
К
D
N
M
С
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

21.

№ 166. Неперпендикулярные плоскости и
пересекаются по прямой МN. В плоскости из точки А
проведен перпендикуляр АВ к прямой МN и из той же точки А
проведен перпендикуляр АС к плоскости . Докажите, что
угол АВС – линейный угол двугранного угла АМNC.
А
МN АB
H-я
TTП
MN ВС
П-я
П-р
N
В
П-я
С
M
Угол АВС – линейный угол двугранного угла АМNC

22.

№ 167. В тетраэдре DАВС все ребра равны, точка М –
середина ребра АС. Докажите, что угол DМВ – линейный
угол двугранного угла ВАСD.
D
А
В
M
С

23.

№ 168. Двугранный угол равен . На одной грани этого угла
лежит точка, удаленная на расстояние d
d от плоскости другой
грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра
двугранного угла.
В
?
А
N

24.

№ 169. Даны два двугранных угла, у которых одна грань
общая, а две другие грани являются различными
полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих
двугранных углов равна 1800.
А
F
О
В