Лекция №1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Литература

Определение функции двух переменных

Обозначения:

Опр. Областью определения функции z = f(x, y)

Пример

График функции

Примеры графиков функций 2-х переменных

Поверхности и линии уровня

2. Предел функции 2-х переменных

Пример

3. Непрерывность функции 2-х переменных

4. Частные приращения и производные первого порядка функции двух переменных

Определение.

Аналогично частной производной функции "z" по независимой переменной y называется конечный предел

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных

Пример

При вычислении ∂"z" /∂y переменная x считается постоянной величиной:

5. Полное приращение и полный дифференциал функции

Пример

Применение полного дифференциала к приближённым вычислениям

Пример

6. Производная сложной функции

Аналогично, если z = f(u, v, w), где u = u (x), v = v (x) и w = w(x) являются функциями независимой переменной x, то

2) случай двух независимых переменных .

Пример.

7. Производная неявной функции

Пример 1.

2) Случай двух независимых переменных

Пример

8.Частные производные высших порядков

Определение. Частные производные (∂^2 z)/∂y∂x и (∂^2 z)/∂x∂y называются смешанными частными производными 2- го порядка.

Пример

9. Производная по направлению. Градиент.

Производная по направлению. Градиент.

Производная по направлению. Градиент.

Теорема

Механический и геометрический смысл производной по направлению

Градиент функции

Свойства градиента

Пример

10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Опр. 2. Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.

Т.к. вектор нормали N ⃗∥ (grad"F" ) ⃗, то соответствующие координаты векторов пропорциональны, т.е., если N ⃗ =

2) Если функция (поверхность) задана явно: z = f(x, y), где частные производные 〖(∂"z" /∂x)〗_(M_0 ) и 〖(∂"z" /∂y)〗_(M_0 )

Замечание.

11. Экстремум функции двух переменных.

Определение. Точки, в которых частные производные ∂"z" /∂x и ∂"z" /∂y равны нулю или не существуют, называются критическими.

Достаточные условия существования экстремума функции

Лекция №1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Литература

Определение функции двух переменных

Обозначения:

Опр. Областью определения функции z = f(x, y)

Пример

График функции

Примеры графиков функций 2-х переменных

Поверхности и линии уровня

2. Предел функции 2-х переменных

Пример

3. Непрерывность функции 2-х переменных

4. Частные приращения и производные первого порядка функции двух переменных

Определение.

Аналогично частной производной функции "z" по независимой переменной y называется конечный предел

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных

Пример

При вычислении ∂"z" /∂y переменная x считается постоянной величиной:

5. Полное приращение и полный дифференциал функции

Пример

Применение полного дифференциала к приближённым вычислениям

Пример

6. Производная сложной функции

Аналогично, если z = f(u, v, w), где u = u (x), v = v (x) и w = w(x) являются функциями независимой переменной x, то

2) случай двух независимых переменных .

Пример.

7. Производная неявной функции

Пример 1.

2) Случай двух независимых переменных

Пример

8.Частные производные высших порядков

Определение. Частные производные (∂^2 z)/∂y∂x и (∂^2 z)/∂x∂y называются смешанными частными производными 2- го порядка.

Пример

9. Производная по направлению. Градиент.

Производная по направлению. Градиент.

Производная по направлению. Градиент.

Теорема

Механический и геометрический смысл производной по направлению

Градиент функции

Свойства градиента

Пример

10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Опр. 2. Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.

Т.к. вектор нормали N ⃗∥ (grad"F" ) ⃗, то соответствующие координаты векторов пропорциональны, т.е., если N ⃗ =

2) Если функция (поверхность) задана явно: z = f(x, y), где частные производные 〖(∂"z" /∂x)〗_(M_0 ) и 〖(∂"z" /∂y)〗_(M_0 )

Замечание.

11. Экстремум функции двух переменных.

Определение. Точки, в которых частные производные ∂"z" /∂x и ∂"z" /∂y равны нулю или не существуют, называются критическими.

Достаточные условия существования экстремума функции

3.89M

Категория: $Математика$ Математика

Похожие презентации:

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Основные понятия функции нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Основные понятия функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных

Функция нескольких переменных

Функция нескольких переменных

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных. (Тема 5)

Функции нескольких переменных. (Тема 5)

Полный дифференциал функции нескольких переменных

Полный дифференциал функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных

Полный дифференциал функции нескольких переменных. (Лекция 2)

Полный дифференциал функции нескольких переменных. (Лекция 2)

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных. (Лекция 1)

1. Лекция №1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.
2.
3.
4.
5.
6.
Определение функции нескольких переменных.
Предел и непрерывность.
Частные производные и полный дифференциал.
Производная сложной функции.
Производная неявной функции.
Частные производные и дифференциалы высших
порядков.
7. Производная по направлению и градиент.
8. Экстремумы функций двух переменных.

2. Литература

1. Д. Письменный «Конспект лекций по
высшей математике», Ч.1, Ч.2.
2. Н.С. Пискунов «Дифференциальное и
интегральное исчисления», Т. 1, 2.
3. М.В. Ишханян «Математический анализ»,
Ч.1, 2.
4. Минорский В.П. «Сборник задач по высшей
математике».

3.

1. ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.
1.1. Определение, способы задания
А) Табличное задание функции
y1
y2
...
ym
x1
z11
z12
…
z1m
x2
z21
z22
…
z2m
...
…
…
…
…
xn
zn1
zn2
…
znm

4.

Б) Графическое задание функции (номограммы)
z
y=y1
y=y2
y=y3
y=ym
0
a
b
x

5.

В) Аналитическое задание:
z f ( x, y )
я
y
0
D
x
D --
область определения

6. Определение функции двух переменных

Если каждой паре (

English Русский Правила