Тригонометрические уравнения. Однородные тригонометрические уравнения

1. Тригонометрические уравнения Однородные тригонометрические уравнения

Математика
10 класс
МБОУ СШ №12
Учитель: Шудраков Николай Николаевич

2. Однородные тригонометрические уравнения первой степени

Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 называют
однородным тригонометрическим
уравнением первой степени.
Если a ≠ 0, b ≠ 0, то для решения обе части
уравнения разделим на cos x, и получим:

3. Пример 1.

Решите уравнение:

4. Пример 1. Решение

Разделим обе части на
Получим:
Ответ:
,

5. Пример 2.

Решите уравнение:

6. Пример 2. Решение

По формулам приведения преобразуем обе
части уравнения:
Получим

7. Пример 2. Решение

Разделим обе части на
Ответ:
,

8. Однородные тригонометрические уравнения второй степени

Уравнение вида
a sin2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0
называют однородным тригонометрическим
уравнением второй степени.

9. Алгоритм решения уравнения

a sin2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0
Если a≠0, c≠0, то:
1. Уравнение решается делением обеих его
частей на cos 2 x и последующим
введением новой переменной z=tg x

10. Алгоритм решения уравнения

a sin2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0
Если a=0 ( или c=0), то:
2. Уравнение решается методом
разложения на множители: за скобки
выносим cos x (или sin x)
Решаем два уравнения:
и

11. Пример 3.

Решите уравнение:

12. Пример 3. Решение

Разделим обе части на
, получим:
Введем новую переменную z=tg x:
Решив квадратное уравнение получим:
,

13. Пример 3. Решение

Значит
,
Из первого уравнения получаем:
, т.е.
Из второго уравнения находим:
Ответ:
,
,

14. Пример 4.

Решите уравнение:

15. Пример 4. Решение

Выносим за скобку
:
Решаем два уравнения:
и
из первого уравнения находим

16. Пример 4. Решение

Делим обе части на
Ответ:
,
:
,

17. Пример 5.

Решите уравнение:

18. Пример 5. Решение

Обратим внимание на то, что уравнение в
правой части содержится не 0, а 2. Значит это
не однородное уравнение.
Преобразуем по основному
тригонометрическому тождеству:

19. Пример 5. Решение

Подставив в изначальное уравнение
полученное выражение получим:
Приведем к виду однородного
тригонометрического уравнения второй
степени:

20. Пример 5. Решение

Разделим обе части почленно на
Введем новую переменную
:
:
Решив квадратное уравнение, получим:

21. Пример 5. Решение

Итак,
Ответ:
,