Дифракционная решетка. Лекция 16(2)

1.

Лекция 16. Дифракционная решетка

2.

Вопросы:
Дифракционная решетка и ее устройство
Многолучевая интерференция от дифракционной
решетки
Спектральные характеристики дифракционных
решеток
Дифракция на пространственной решетке
Дифракция рентгеновских лучей
Формула Вульфа – Брэггов
Понятие о рентгеноструктурном анализе

3.

Дифракционная решетка и ее
устройство
Назначение. Дифракционная решетка является важнейшим
спектральным прибором, предназначенным для разложения
сложного (белого) света в спектр, измерения длин волн и
исследования отдельных спектральных компонент (линий).
Устройство. Дифракционная решетка представляет собой
стеклянную (или металлическую) пластинку, на которую с
помощью специальной делительной машины нанесено большое
число (например, n = 600 штр./мм, 1200 штр./мм и др.)
равноотстоящих штрихов одинаковой конфигурации (например,
прямых параллельных друг другу.) Эти штрихи выполняют роль
непрозрачных преград, а промежутки между штрихами – роль
h
щелей.
d
n
d – период решетки; h – ширина решетки, h = N .d, где N – полное число
штрихов

4.

Дифракционная решетка и ее
устройство
Рассмотрим
простейшую
идеализированную
решетку,
состоящую
из
одинаковых
равноотстоящих
щелей
в
непрозрачном экране. Пусть b - ширина каждой щели, a - ширина
непрозрачного участка, тогда период решетки, т. е. расстояние
между соответствующими краями соседних щелей или иначе
сумма (b + a), есть d.
Следует отметить, что от дифракционной решетки
реализуется
многолучевая
интерференция
когерентных
дифрагированных пучков света, исходящих от N щелей решетки
при ее освещении.

5.

Многолучевая интерференция
от дифракционной решетки
Не участвуют в
интерференции
Замечание. Многолучевая интерференция наблюдается и в других
спектральных приборах, например, в интерферометре Фабри - Перо (его
еще называют эталоном Фабри – Перо, имеющим высокостабильный
воздушный зазор) за счет многократного отражения лучей от
параллельных, тщательно отшлифованных поверхностей, имеющих
специальный отражающий слой (с ρ). При этом для интенсивностей
вышедших лучей будет соблюдаться соотношение:
I1 : I2 : I3 : I4 = 1: ρ2: ρ4: ρ8
В результате суперпозиции таких лучей получается резкая картина интерференционные кольца равного наклона, локализованные на
бесконечности или в фокальной плоскости линзы (на экране), имеющие
очень малую толщину (последняя обусловлена высоким коэффициентом
отражения ρ пластин); здесь не возникают дополнительные максимумы
Экран
между главными максимумами.
Линза
I0
I1
P

6.

Многолучевая интерференция
от дифракционной решетки
Дифракционно - интерференционную картину от решетки обычно
наблюдают по методу Фраунгофера, т. е. в параллельных лучах, а практически
в фокальной плоскости объектива. Пусть на решетку падает нормально
плоская монохромная световая волна с λ.
Каждая из щелей в отдельности даст на экране картину, характерную
дифракции Фраунгофера от одной щели. Картины от всех щелей придутся на
одно и то же место экрана (независимо от положения конкретной щели).
Замечание. Если бы колебания,
a
λ φ=0
b
φ
Линза
d
(f)
Экран
приходящие в точку Р от разных
щелей, были некогерентными, то
результирующая картина от N
щелей отличалась бы от картины
от одной щели лишь тем, что
интенсивности всех максимумов
возросли бы в N раз.
P
P0=P (φ0=0)
(фокус)
φ
λ
∆=d∙sinφ
φ
Однако колебания от различных щелей являются более или менее
когерентными, а, следовательно, они будут интерферировать и
дифракционная картина - резко меняется (усложняется).

7.

Многолучевая интерференция
от дифракционной решетки
Замечание. В дальнейшем будем предполагать, что hког падающей волны
намного больше длины (ширины h) решетки, так что колебания от всех
щелей оказываются когерентными, т. е. h ког. >> h.
• Главные максимумы
В середину дифракционной картины (∙) P0 (F – фокус) когерентные
колебания от всех щелей приходят в фазе (при φ0 = 0) и, следовательно,
усиливают друг друга. Т. е., если амплитуда колебаний от одной щели
равна А1, а число щелей N, то результирующая амплитуда А и
соответствующая ей интенсивность I будут: при φ = 0 => АPo = A1 *N,
IPo = I1*N2.
Такой же результат получается и при углах дифракции φ, для которых
оптическая разность хода ∆ лучей (колебаний) от соседних щелей равна
целому числу длин волн, т. е. при условии:
d∙sin φm = m ∙λ, где m = 0, 1, 2,…
(1)
Это условие главных максимумов, формулу (1)
также называют основной формулой дифракционной
решетки.
Замечание. Здесь знаки (±) следуют из симметрии дифракционной
картины относительно нормали к решетке при φ0 = 0.

8.

Многолучевая интерференция от
дифракционной решетки
Замечание. Именно главные максимумы имеют практический интерес;
причем, чем больше N штрихов содержит решетка, тем эти Imax – более узкие
и резкие.
Ряд замечаний.
1. При наклонном падении плоской волны на решетку
d
под углом i к нормали разность хода соответствующих
i
лучей от двух соседних щелей => ∆ = d∙(sin φm – sin i), и
i
тогда направления на главные I , будут определяться
max
φm
φm
из условия: d∙(sin φm – sin i) = ± m∙λ
(2)
Причем углы φm и i должны отчитываться в одном
направлении от нормали (например по часовой стрелке).
φm
2. Для отражательной решетки условие (2) так же
справедливо, только здесь углы φm и i – надо отсчитывать в
противоположенных направлениях.
d
i
3. Условия (1) и (2) главных фраунгоферовых максимумов являются универсальными,
т. е. выполняются для любой формы штриха.

9.

Многолучевая интерференция от
дифракционной решетки
C
N∙δ
R
δ
R
δ
• Интерференционные минимумы
При удалении (∙) Р от центра экрана (фокуса F линзы)
будет расти угол дифракции φ, и, следовательно, ↑ - угол δ
(разность фаз), цепочка векторов будет постепенно
закручиваться и при определенном φ => цепочка замкнется,
а результирующий вектор A → 0; это произойдет, когда
общий угол: N∙δ = 2π.
Замечание. При дальнейшем росте φ цепочка векторов будет периодически то распрямляться
(появление очередного максимума), то – замыкаться (появление очередного интерференционного
минимума), при чем последнее будет происходить при углах:
(N∙δ) = 2π∙m’
(3)
где m’ - целое число, кроме 0, N, 2N … и т. д. (при этих числах => Imax).
Подставив в (3) значение δ из (*) => условие интерференционных минимумов
дифракционной решетки:
где m’ –целое число, кроме 0, N, 2N, 3N…

10.

Многолучевая интерференция от
дифракционной решетки
N-1 N
[P0]
(5)
N+1
δφ
где h= N∙d – ширина решетки.
Вывод. Главные максимумы будут тем уже, чем больше ширина решетки h и меньше
угол дифракции φ; иначе говоря, резкость (узость) главных максимумов
пропорциональна числу штрихов решетки N.
Замечание. Говоря о конкретной решетке, что у нее угловая ширина главного
максимума δφ – мала, следует иметь в виду, что выполняется условие δφ << ∆φ
(угловая ширина между соседними главными максимумами).

11.

Многолучевая интерференция от
дифракционной решетки
• Дифракционные минимумы
На ряду с интерференционными минимумами (4), надо иметь в виду еще
и дифракционные минимумы, обусловленные действием отдельных щелей,
которым, как известно, соответствует условие:
b∙sinφm = ± m∙λ, где b - ширина щелей решетки, m = 1, 2,….
При этом условии все амплитуд-вектора Ai→0, а значит и результирующая
амплитуда в этих направлениях всегда будет равна «0» (даже в том случае,
если этому направлению соответствует главный максимум m-ого порядка).

12.

Многолучевая интерференция от
дифракционной решетки
• Распределение интенсивности
C
в дифракционной картине от решетки
R
Nδ
R
δ
δ

13.

Многолучевая интерференция от
дифракционной решетки
• Распределение интенсивности в дифракционной картине от решетки
Главные максимумы
График интенсивности
от одной щели
Добавочные
максимумы
Интерференционные
минимумы
m=-2 m=-1 m=0 m=1 m=2 m=3
Дифракционный
минимум

14.

Спектральные характеристики
дифракционных решеток
В соответствии с основной формулой (1) положение главных максимумов
зависит от длины волны λ. Поэтому при пропускании через решетку белого
света, все максимумы (за исключением центрального: m = 0) разложатся в
спектр по длинам волн (т.е. начиная с m = 1 будем иметь в каждом порядке
целый набор – спектр цветных максимумов); причем наибольшее
отклонение (от центра картины) в каждом порядке испытывает красная
область спектра (более длинноволновая), а наименьшее – фиолетовая
область.
• Основные характеристики спектрального прибора

15.

Спектральные характеристики
дифракционных решеток
• Основные характеристики спектрального прибора
Линейную дисперсию можно рассчитать как
Dлин.=f ∙ D
Экран (фотопластинка)
Соседние спектральные линии [λ, λ+dλ]

16.

Спектральные характеристики
дифракционных решеток
Замечание. Возможность разрешения близких спектральных линий зависит не только
от расстояния между ними (которое определяется дисперсией D), но также и от
ширины самого спектрального максимума.
Im
Im
Согласно критерию Рэлея, спектральные линии с
разными длинами волн, но одинаковой интенсивности, ≈20% от Im
считаются разрешенными, если главный максимум одной
спектральной линии совпадает с первым минимумом
другой линии. В этом случае между двумя максимумами
λ+δλ
λ
возникает «провал», составляющий ≈ 20% от Im, и линии
еще воспринимаются раздельно.
Итак, согласно критерию Рэлея и
формуле (6), необходимо, чтобы
φ
φm
максимум m-ого порядка (m’ = m∙N)
Эти линии не разрешаются

17.

Спектральные характеристики
дифракционных решеток
Вывод. Разрешающая сила дифракционной решетки пропорциональна порядку
спектра m и числу щелей N. Формула (8) определяет верхний предел разрешающей
способности R.
3. Область дисперсии - ∆λ – это ширина спектрального интервала, при
которой еще нет перекрытия спектров соседних порядков.
Если спектры соседних порядков перекрываются, то спектральный прибор
становится непригодным для исследования соответствующего участка спектра.
Таким образом, при работе со спектрами низких порядков (обычно до 3-го порядка)
дифракционная решетка пригодна для исследования излучения, занимающего
достаточно широкий спектральный интервал.

18.

Дифракция на пространственной решетке
Ранее нами изучалась дифракционная картина от одномерной периодической
структуры, которой является обычная плоская дифракционная решетка.
Определение. Решетки, имеющие две системы взаимно перпендикулярных штрихов,
относятся к двумерным периодическим структурам.
В этом случае от вертикальных
Экран
штрихов следует обычная дифракцион(фотопластинка)
ная картина максимумов, соответстd2
вующих условию: d1∙sinφ1= ± m1∙λ; (m1=
0, 1, 2,…), а горизонтальные штрихи
λ
«разобьют» каждые образовавшиеся
дифрагированные пучки (в горизонтальном направлении) на систему
расположенных уже в вертикальном
направлении максимумов, удовлетвоd1
ряющих условию: d2∙sinφ2= ± m2∙λ; (m2=
0, 1, 2,…).
В итоге получается дифракционная картина, имеющая вид правильно
расположенных пятен, каждому из которых соответствует два целочисленных
индекса: m1 и m2.
Двумерная
решетка

19.

Дифракция на пространственной решетке
Дифракция наблюдается также и на 3-х мерных периодических структурах, т. е.
таких
пространственных
образованиях,
обнаруживающих
периодичность
неоднородностей по 3-м не лежащим в одной плоскости направлениям (например, x,
y, z).
Определение. Такими структурами являются все
кристаллические тела (т. е. их пространственная
A3
d2
кристаллическая решетка).
d1
A1
d3
A2
A4
Для рентгеновских лучей кристаллы служат естественными дифракционными
решетками.

20.

Дифракция рентгеновских лучей
Рассматривается дифракция Фраунгофера в параллельных рентгеновских лучах с λ,
падающих на кристалл под углами (α0, β0, γ0) по отношению к соответствующим его
одномерным структурам, которые ориентированы в пространстве, соответственно,
параллельно осям x, y, z.
Например, для линейной цепочки атомов параллельной оси x.
Разность хода между лучами 1 и 2, рассеянными
2
соседними атомами под углом α, равна ∆ = AD – BC =
λ
1
d1∙(cosα - cosα0).
Углы дифракции α = αm, под которым будут
наблюдаться фраунгоферовы максимумы m-ого
Ai (∥x)
C
B
порядка, определяются из условия:
α0
α
d1∙(cosαm - cosα0)= ± m1∙λ
(*)
A d1
где m1 = 0,1, 2,…
m=2
D
m=1
m=0
С учетом пространственного расположения
данной цепочки атомов – углы αm – будут
образовывать целые «конусы» направлений
на возможные максимумы m-ого порядка
(осью «конусов» направлений является ось,
параллельная x).
α0
α2
α1
α0
(∥x)
(лучи за плоскостью
рисунка)

21.

Дифракция рентгеновских лучей
Аналогично (*) можно записать условия Imax для периодических структур (цепочек
атомов), параллельных осям y и z. Таким образом, при наклонном падении
рентгеновского параллельного пучка на кристаллическую решетку (имеющую
прямоугольное сечение) будут наблюдаться главные максимумы фраунгоферовой
дифракции. При соблюдении, так называемых условий М. Лауэ (немец. физик,1913 г.):
(11)
Система уравнений (10) и (11) оказывается разрешимой лишь для некоторых,
вполне определенных длин волн λ, и именно каждому такому значению λ будет
соответствовать свой максимум (и направления αm, βm , γm).

22.

Формула Вульфа - Брэггов
Русский кристаллофизик Ю.В. Вульф и английские физики У.Г. Брэгг и У.А. Брэгг в
1913 г. независимо показали, что дифракцию рентгеновских лучей на
кристаллической решетке можно рассматривать как результат интерференции
отраженных Х-лучей (зеркальным образом) от системы параллельных
кристаллических плоскостей – атомных слоев, отстоящих друг от друга на
расстояниях d.
Замечание. Вторичные волны, отразившись от разных атомных плоскостей –
когерентны и будут интерферировать между собой.
Если при этом разность хода лучей,
λ
отразившихся от соседних слоев ∆ = ABC = 2d∙sinα
(здесь угол α принято называть углом
скольжения) будет соответствовать целому числу
α
α
длин волн, т. е.
2d∙sinα = ± m∙λ формула Вульфа-Брэггов (12)
α C
A
где m = 1, 2, 3…, то в соответствующих
B
направлениях возникают максимумы.
Замечание. Формула (12) может быть получена
также как следствие из условия Лауэ.
В кристалле можно провести множество систем атомных
плоскостей в различных направлениях и каждая система
может дать максимум, если для нее выполнено условие
(12).
Однако заметную интенсивность дают только те плоскости,
в которых атомы расположены наиболее плотно (на рис.- I).

23.

Понятие о рентгеноструктурном анализе
Дифракция рентгеновских лучей получила развитие в двух прикладных
направлениях.
• Рентгеноскопия (т. е. исследование спектрального состава этого излучения)
• Рентгеноструктурный анализ (т. е. изучение кристаллических структур веществ)
Спектральный состав излучения (т. е. измерение его длин волн) можно
установить с помощью формулы Вульфа-Брэггов, найдя направления на максимумы
при дифракции на кристалле с известной структурой (d).
В рентгеноструктурном анализе разработаны два основных метода.
1. Метод Лауэ, в котором узкий пучок
Фотопластинка немонохроматического рентгеновского излуλ2
чения направляется на исследуемый моноλ1
кристалл. Для каждой системы кристаллических плоскостей в излучении найдется
α2
D
такая длина волны λi, при которой
выполняется условие Вульфа-Брэггов.
«Лауэграмма»
α1
Монокристалл
φ
Кристалл поворачивают своей гранью по
отношению к падающему пучку и исследуют
соответствующие засветки на фотопластинке
(система пятен-максимумов – это так называемая
Взаимное расположение пятен отражает
лауэграмма).
симметрию кристалла (положение атомов).

24.

Понятие о рентгеноструктурном анализе
К
Pтр.
Образец
D (Pb)
А
Окно в
цилиндрической
камере
«Дебайграмма»
Камера с
фотопленкой
2. Метод Дебая – Шерера, в котором
используется узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения; последний направляется на
образец-поликристалл, приготовленный путем прессования из порошка.
В образце с огромным числом
беспорядочно
ориентированных
кристалликов найдется большое
количество таких, для которых
условие
Вульфа-Брэггов
(12)
окажется выполненным, и дифрагированный пучок будет образовывать
«конус» направлений на максимумы –
причем свой для каждой системы
атомных плоскостей (d) и порядка
дифракции m.
Рентгенограмма образца, полученная на фотопленке, имеет вид
системы концентрических колец и
кольцевых сегментов (для «конусов»
больших порядков), ее называют
дебайграммой.