Всероссийская олимпиада школьников по математике 2015–2016 учебный год

1. ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 2015–2016 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП
9 класс

2. Задача 1

Натуральное число называется палиндромом,
если оно не изменяется при записывании его
цифр в обратном порядке (например, 626 —
палиндром, а 2015 — нет). Представьте число
2015 в виде суммы двух палиндромов.

3. Решение

Так как 2002 не подходит, значит, большее
слагаемое имеет вид 1AA1. Тогда второе
слагаемое должно заканчиваться на 4, так как
оно равно 2015 – 1AA1,т. е. имеет вид 4B4.
Итак, 2015 – 1AA1 = 4B4.
Запишем 1АА1= 1001+АА0 и 4В4=404+В0
Получаем 2015 − 1001 − 404 = 610 =AA0 + B0 ,
Значит, AA+ В=61, откуда AA = 55, В = 6.
Ответ. 2015 = 1551 + 464

4. Реши самостоятельно

Представьте число 2114 в виде суммы двух
палиндромов.
Ответ. 2114 = 1771 + 343

5. Задачи ЕГЭ

Базовый уровень

6. Задача из ОБ ЕГЭ базового уровня

Задание 19 № 506263. Приведите пример
трёхзначного числа, сумма цифр которого
равна 20, а сумма квадратов цифр делится на
3, но не делится на 9.

7. Решение за­да­ния 19 № 506263.

Решение задания 19 № 506263.
Разложим число 20 на слагаемые различными способами:
20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 +
7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6.
При разложении способами 1−4, 7 и 8 суммы квадратов
чисел не кратны трём. При разложении пятым способом
сумма квадратов кратна девяти. Разложение шестым способом удовлетворяет условиям задачи. Таким образом,
условию задачи удовлетворяет любое число, записанное
цифрами 5, 7 и 8, например, число 578.

8. Задача из ОБ ЕГЭ базового уровня

Задание 19 № 510035. Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном
порядке и получили второе четырёхзначное
число. Затем из первого числа вычли второе и
получили 4536. Приведите ровно один пример такого числа.
Ответ: одно из чисел 9605, 9715, 9825, 9935.

9. Решение за­да­ния 19 № 510035.

Решение задания 19 № 510035.
Число делится на 5, значит, его последняя цифра или 0, или
5. Но так как при записи в обратном порядке цифры также
образуют четырёхзначное число, то эта цифра 5, ибо число
не может начинаться с 0. Пусть число имеет вид abc5 .Тогда
второе число 5cba . Получаем abc5 5cba 4536
Откуда находим, что а=9. Подставим в числа и запишем
разность 9bc5 5cb9 4536
Тогда bc5 cb9 536 Распишем по разрядам
100b 10c 5 (100c 10b 9) 536
90(b c) 4 536
90(b c) 540 b c 6
Возможные пары чисел (b;c) : (6;0), (7;1), (8; 2), (9;3)
Ответ: одно из чисел 9605, 9715, 9825, 9935.

10. Реши самостоятельно

Задание 19 № 506834. Цифры четырёхзначного
числа, кратного 5, записали в обратном порядке и
получили второе четырёхзначное число. Затем из
первого числа вычли второе и получили 1458. Приведите ровно один пример такого числа.
Ответ: одно из чисел 7065, 7175, 7285, 7395.