Электромагнитные волны

1. Электромагнитные волны

Волновое уравнение
электромагнитного поля
Плоская электромагнитная волна
Связь мгновенных значений Е и Н
Энергия электромагнитной волны
Импульс электромагнитной волны

2. Волновое уравнение электромагнитного поля

Из уравнений Максвелла
следует вывод о
существовании
электромагнитных волн.
Рассмотрим однородную
нейтральную
непроводящую среду
(ρ=0, j=0) :
Продифференцируем второе уравнение по времени
и затем используем первое уравнение

3.

Мы воспользовались формулой
[a[bc]] = b(ac) – c(ab), и тем что
Е 0 . Аналогичные преобразования
можно проделать и для вектора H.
В результате получаем два
волновых уравнения:
Если ε=1 и µ=1 ( в вакууме), то коэффициент ε0 µ0 в
уравнении есть величина связанная со скоростью
распространения электромагнитной волны:
в1 2 E c
1
8 м Тогда скорость
c
3 10
.
E
2
с среде равна: 2
0 0
t
2
1 2E
1 H
H 2
E 2 2
2
t
t
2

4. Плоская электромагнитная волна

Направим ось Х перпендикулярно волновым поверхностям
плоской волны. При этом Е и Н не будут зависеть от у и z, и
соответствующие производные будут равны нулю. Тогда
уравнения
Максвелла
:
ex
ey
ez
x y z 0 H x e x H y e y H z e z
Ex
ex
Ey
ey
Ez
ez
Hx
Hy
Hz
x y z 0 E x ex E y e y E z ez
E x E y E z
0,
x
y
z
H x H y H z
0
x
y
z

5.

примут
вид:
E z
0 H y ,
x
E y
0 H z ,
x
E x
0
x
H x
0
t
H z
0 E y ,
x
H y
0 E z ,
x
H x
0
x
E x
0
t
Отсюда следует, что Ех и Нх не зависят ни от х, ни от t.
Это значит, что отличные от нуля Ех и Нх могут быть
только однородными постоянными полями,
накладывающимися на поле волны. А в самой волне
они равны нулю. Это значит, что электромагнитная волна
является поперечной.

6.

Кроме того, векторы Е и Н в электромагнитной волне
взаимно ортогональны. Возьмём пару уравнений
E y
x
0 H z
H z
0 E y
x
Из них видно, что изменение во времени магнитного поля,
направленного вдоль оси Z, порождает электрическое поле
Еу вдоль оси У. И наоборот. Ни поля Еz, ни поля Ну при
этом не появляется, а это и значит, что Е ┴ Н.
Связь мгновенных значений Е и Н
Когда плоская волна распространяется вдоль положительноE yслучае
E y (tможно
x / записать
),
го направления оси Х, то . в общем
E y E y (t x / ),
H z E y H z (Et y x / ). E y 1
,
ВведяHобозначение
φ =).t - x/v, найдём
x производные:
x
H
(
t
x
/
z
z
H z H z H z
E y E y E y 1
1.
,
t
t
x
x

7.

Подставив эти выражения в уравнение
получим
H z
1 E y
0
E y
H z
0 0
0
Проинтегрировав, получим
E y
x
0 H z ,
E y
H z
0
0
0 E y 0 H z const
где константа обусловлена наличием постоянного
электрического и магнитного полей. Нас интересует только
переменное поле, поэтому константу положим равной нулю:
0 E y 0 H z
Последнее означает: Е и Н взаимно ортогональны,
изменяются синфазно – одновременно достигают
максимума и одновременно обращаются в нуль. Они
составляют правовинтовую систему с направлением
распространения волны.

8.

Если бы волна распространялась в отрицательном
направлении, то Е и Н изменялись бы в противофазе:
0 E y 0 H z
хотя сами вектора и составляли бы по-прежнему
правовинтовую систему.
Все рассуждения не зависят от выбора направления
распространения, поэтому в дальнейшем будем опускать
индексы у и z перед проекциями векторов.
Уравнение плоской гармонической электромагнитной
волны будет иметь вид:
E EE m cos(
cos( tt kx
kx),),
E
m
H H
Hmm cos(
cos( t t kx
kx) )
H

9. Энергия электромагнитной волны

В обычной изотропной среде плотность энергии
электромагнитного поля равна сумме плотностей
2
2
2
2
E
H
E
E
EH
энергий:
2
0
0
0
0
w
0 E 0 0 EH
2
2
2
2
Умножив на скорость волны, получим плотность потока
энергии: S w EH
Векторы Е и Н взаимно ортогональны. Направление вектора
[EH] совпадает с направлением переноса энергии, поэтому
можно определить вектор плотности потока энергии так
S EH
его надо называть вектором Пойнтинга.
Интенсивность I бегущей волны равна, по определению,
среднему значению плотности потока энергии <S> :
1 0 2
2
2
I S w 0 Em cos ( t kx)
Em
2 0

10. Импульс электромагнитной волны

Перенос энергии волной сопровождается и переносом
импульса. Из теории относительности известно, что импульс
объекта с нулевой массой покоя движущегося со скоростью
света (фотона): P W , где W- энергия фотона
c
электромагнитной волны.
Связь для плотности импульса и плотности энергии (величин
отнесённых к единице объёма) будет та же самая:
w S / EH
p
2
c
c
c
т.к. (v=c)
Если падающая нормально на поверхность волна полностью
поглощается, то единице площади поверхности за dt
сообщается импульс, заключённый в цилиндре с площадью
основания, равной единице, и высотой cdt, т.е.

11.

w
dp cdt wdt
c
Но импульс, сообщаемый единице поверхности в
единицу времени, равен давлению p* на поверхность
тела . В случае гармонической волны эта величина
пульсирует с большой частотой, и практический
интерес представляет только её среднее значение по
времени:
*
p w
Рассмотрим механизм передачи импульса телу, т.е. как
возникает давление. Электрическое поле волны
Возбуждает в теле ток плотности j=σЕ, а магнитное поле
волны будет действовать на него по закону Ампера –
с силой, объёмная плотность которой равна
Fед j B EB
Отсюда следует, что сила действует в направлении
распространения волны.