Ранг матрицы

1. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу
a11
a 21
A
....
a
m1
a12
a 22
....
am2
a 1n
.... a 2 n
..... .....
..... a mn
....
Минором к – го порядка матрицы А
называется определитель к – го порядка
с элементами, стоящими на пересечении
любых к строк и к столбцов.
(k min m, n )

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Рангом матрицы r(A)
называется наибольший
из порядков миноров данной
матрицы, отличных от нуля.

3. Элементарные преобразования матриц

Элементарные
преобразования матриц
Вычеркивание
нулевой строки
Прибавление к
одной из строк другой
строки, умноженной
на любое число
Перестановка
двух строк

4.

Теорема 1.
Любую матрицу с помощью
элементарных преобразований
можно привести к
ступенчатому виду.

5.

Теорема 2.
При элементарных
преобразованиях ранг
матрицы не меняется.
СЛЕДСТВИЕ:
Ранг ступенчатой матрицы равен числу
(ненулевых) строк.

6. Пример

Найти ранг матрицы:
1 -3 -1
A= 2 1 4 .
3 -2 3

7.

Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду:
1 -3 -1
2 1 4
3 -2 3
·(-2)
↓
←

8.

Решение.
1 -3 -1
2 1 4
3 -2 3
·(-2)
↓
←
1 -3 -1
0 7 6
3 -2 3

9.

Решение.
1 -3 -1
2 1 4
3 -2 3
·(-2)
↓
←
1 -3 -1
0 7 6
3 -2 3
·(-3)
↓
←

10.

Решение.
1 -3 -1
2 1 4
3 -2 3
·(-2)
↓
←
1 -3 -1
0 7 6
3 -2 3
·(-3)
↓
←
1 -3 -1
0 7 6
0 7 6

11.

Решение.
1 -3 -1
0
7
6
0 7 6
1 -3 -1
·(-1) 0 7 6
↓
0 0 0
←

12.

Решение.
1 -3 -1
0
7
6
0 7 6
1 -3 -1
1 -3 -1
·(-1) 0 7 6
0
7
6
↓
0 0 0
←
ОТВЕТ:r(A)=2

13. Метод Гаусса

Метод последовательного
исключения неизвестных –
наиболее распространенный
метод решения систем
линейных уравнений.

14.

Рассмотрим систему
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
...............................................
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a m n x n bm
С помощью элементарных преобразований
приводим ее к равносильной системе ступенчатого вида:
c11 x1 c12 x2 c1n xn d1
c22 x2 c2 n xn d 2
...............................................
ckr xr ... ckn xn d k

15.

Возможен один из следующих случаев:
1) система не имеет решений
(система несовместна);
2) система имеет
единственное решение;
3) система имеет бесчисленное
множество решений.

16. Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим систему уравнений
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
...............................................
a m1 x1 a m 2 x 2 ... a m n x n bm
Обозначим
a11
a 21
A
....
a
m1
a12
a 22
....
am2
a 1n
.... a 2 n
..... .....
..... a mn
....
a11 a12 .... a1n b1
~ a21 a22 .... a2n b2
A
.... .... .....
.....
am1 am 2 ..... amn b
m

17.

Теорема Кронекера-Капелли:
Система линейных
уравнений совместна
тогда и только тогда, когда
~
r ( A) r ( A)

18. Пример:

Методом Гаусса решить систему уравнений:
x1 2 x2 2 x3 3
2 x1 3 x2 2 x3 5
x 3x 1
3
2

19.

Решение. Запишем расширенную матрицу:
x1 2 x2 2 x3 3
2 x1 3 x2 2 x3 5
x 3x 1
3
2
1 2 2 3
2 3 2 5
0 1 3 1

20.

Решение. Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду:
1 2 2 3 ·(-2)
↓
2 3 2 5 ←
0 1 3 1
1 2 2 3
0 1 2 1
0 1 3 1

21.

Решение.
1 2 2 3
0 1 2 1
0 1 3 1
·(1)
↓
←
1 2 2 3
0 1 2 1
0 0 1 0

22.

Решение.
1 2 2 3
0 1 2 1
0 1 3 1
·(1)
↓
←
1 2 2 3
0 1 2 1
0 0 1 0
r(A)=r(Ã)=3

23.

Решение.
1 2 2 3
0 1 2 1
0 0 1 0
x1 2 x2 2 x3 3
x2 2 x3 1
x3 0 x3 0

24.

Решение.
x1 2 x2 2 0 3
x2 2 0 1
x2 1

25.

Решение. Найдем x1:
x1 2 1 3 x1 1

26.

Решение.
x1=1, x2=1, x3=0 – единственное решение.

27. Окончание лекции