Ранг матрицы. Лекция 2.2

1.

*Лекция 2.2
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

2.

Ранг матрицы.
Определение. В матрице порядка m n минор порядка r
называется базисным, если он не равен нулю, а все
миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не
существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m
или n.
Замечание. В матрице может быть несколько
различных базисных миноров, имеющих одинаковый
порядок.
Определение. Порядок базисного минора матрицы
называется рангом матрицы и обозначается Rg А.
Замечание.
Очень
важным
свойством
элементарных преобразований матриц является то, что
они не изменяют ранг матрицы.
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

3.

Определение. Матрицы, полученные в результате
элементарного
преобразования,
называются
эквивалентными.
Замечание. Надо отметить, что равные матрицы и
эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.
Теорема. Наибольшее число линейно независимых
столбцов в матрице равно числу линейно независимых
строк. Более того, это число равно рангу матрицы А.
Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг
матрицы, то можно существенно упростить процесс
нахождения ранга матрицы.
Замечание.
Ранг
ступенчатой
количеству ее ненулевых строк.
матрицы,
равен
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

4.

Пример. Найти ранг матрицы
Решение. С помощью элементарных преобразований
приведем матрицу A к трапецеидальному виду и первым
шагом поменяем первую и вторую строчки местами:
1 2 2 0
3 1 5 2
1 3 1
2
8 1 13 4
3
1 2
1 l2 3l1 0 5
~
7 l3 l1 0 5
4 l4 8l1 0 15
2 0 3
1 2 10
1 2 10 l3 l2
3 4 28 l4 3l2
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

5.

1
0
0
0
2 2
0
3
3
1 2 2 0
5 1 2 10
~ 0 5 1 2 10
0 0
0
0
0 0 0 10 2
0 0 10 2
Ранг последней матрицы, являющейся трапецеидальной,
равен 3; следовательно, rg A = 3.
Из определения ранга следует, что матрица
является
невырожденной в том и только в том случае, если rgА = n.
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

6.

Решение произвольных систем линейных уравнений.
Определение. Система m уравнений с n неизвестными
в общем виде записывается следующим образом:
(1)
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1 22 2
2n n
2
...............................................
Определение. Если
система имеет хотя бы одно решение, то
1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
она называется amсовместной.
Если система не имеет ни
одного решения, то она называется несовместной.
Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система
называется однородной. Однородная система всегда
совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение .
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

7.

Теорема Кронекера – Капелли.
Теорема: Система совместна тогда и только тогда,
когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной
матрицы.
RgA = Rg
Доказательство:
Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:
a11
a12
a1n b1
a
a
a
b2
21
22
2n
x1
x
... xn
... 2 ...
... ...
a
a
a
m1
m2
mn bm
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

8.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов
есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит
добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А
не
изменяют ранга.
2) Если RgA = Rg , то это означает, что они имеют один и тот
же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная
комбинация столбцов базисного минора, т.е. верна запись,
приведенная выше.
Метод Гаусса.
При решении методом Гаусса расширенную матрицу системы (1)
элементарными преобразованиями приводят к треугольному
виду.
Если то система решений не имеет.
Если то система имеет единственное решение.
Если то система имеет множество решений.
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

9.

Пример. Решить систему методом Гаусса
Решение.
1 4 7 3
1 4 7 3
0
10
19
8
~
0
10
19
8
.
0 7 13 5 10l 7l 0 0 3 6
2
3
RgA = Rg =3, следовательно система совместна, и так как
ранг совпадает с количеством неизвестных, то система
имеет единственное решение.
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

10.

Последней ступенчатой матрице, соответствует
следующая СЛАУ, равносильная исходной системе:
Из последнего уравнения находим , подставив его во
второе уравнение, найдем
и , наконец, подставив
найденные и в первое уравнение, найдем :
Следует иметь в виду, что при решении СЛАУ методом
Гаусса перестановка столбцов приводит к перенумерации
неизвестных.
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

11.

Пример . Решить систем уравнений:
x1 2x 2 3x 3 x 4 4x 5 1,
a) 3x1 4x 2 x 3 2x 4 2,
2x
3x 3 x 4 x 5 6;
1
Решение.
1 2 3 1 4 1
3
4
1
2
0
2
l2 3l1 ~
2 0 3 1 1 6 l 2l
1
3
1 2 3 1 4 1
0
10
10
5
12
5
~
0 4 3 1 7 4 5l 2l
2
3
1 2 3 1 4 1
~ 0 10 10 5 12 5
0 0
5 5 11 30
следовательно система совместна и имеет множество решений.
Замечание.Неизвестные базисные,
свободных неизвестных равно , где )
свободные (количество
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

12.

Перенесем свободные неизвестные в правую часть:
Степень свободы системы равна двум, значит решение
системы выразится через два параметра. Положив и решив
систему из трех уравнений с неизвестными найдем
где
произвольные числа.
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

13.

Запишем общее решение системы
19
19
6
c
c
1
2
6
1
5
5
x1
1
17
17
11
x 11 1
c
c
2
1
2
2 2
5
5 2
2
X x 3
c1 c2
11
1
11
6 c c 6
1
2
x
4
5
0
5
1
x
0
0
5
c1
0
c2
1
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко

14.

Пример . Решить систему уравнений:
Решение.
в результате преобразований появилась
следовательно, система несовместна.
строка
© материалы подготовлены к.ф.-м.н., доц. Н.А. Фоменко