Производная и ее применение

1. Производная и ее применение Занятие №1

1

2. Определение

Производной функции в данной точке
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при
условии ,что приращение аргумента
стремится к нулю
2

3. Производные основных элементарных функций

=
(

4. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

5. НАЙДИТЕ ПРОИЗВОДНУЮ

1)
3 4 3
f ( x) x 2 x x 5
4
3
2
f ( x) 1 3ответ
x 6x 1
2 ответ
2)
3)
1
f ( x) 310
e
ответ
х
f ( x) 10e ln 4 x
x
x
f ( x) sin 5 x
f ( x)
5 sin 10 x
4 ответ
2
4)
5)
f ( x) 2 10 х 12 х
x
f ( x) 2
3
x
2
5
ответ
In2 30 x 12

6.

1) f ( x) 3x 5 x 2 x 4 x 6
7
5
3
Решение
7
5
3
f (x) 3 (x ) 5 (x ) 2 ( x ) 4 ( x) 6
3 7x 5 5x 2 3x 4 1 0
f (x)
6
4
2
f ( x) 21x 25 x 6 x 4
6
4
2

7.

2) f ( x) (5 sin x x )
6
Решение
f ( x) (5 sin x x )
6
5(sin x) ( x )
6
5 cos x 6 x
5

8.

3) f ( x) 12 x tg ( x)
Решение
f (x) 12 (x ) - (tg(x))
1
f (x) 12 1 2
cos x
1
f (x) 12 2
cos x

9.

f(x) x sin x
4
Решение
4
4
f (x) (x ) sinx x (sin x)
f (x) 4x sin x x cos x
3
4

10.

2x
5) f ( x)
4x 3
Решение
(2x) (4x 3) - 2x (4x 3)
f (x)
(4x 3)2
2(4x 3) - 2x 4 8 x 6 8 x
6
f (x)
2
2
(4x 3)
(4 x 3)
(4 x 3) 2

11.

f(g(x)) f (x) g (x)
Пример
f ( x) ( 5 x 11)
4
Решение
4
f (x) ((-5x 11) ) (5x 11)
f(x) 4 (-5x 11) ( 5) 20 ( 5x 11)
3
3

12.

f(x) cos 5 x
Решение
f (x) (cos5x) (5x) -sin5x 5
f (x) -5sin5x

13. Геометрический смысл производной

состоит в
том, что значение производной функции y = f (x)
в точке x равно угловому коэффициенту
касательной к графику функции в точке с
абсциссой x.
13

14.

ααααα′

15.

f ′ (x) < 0
tg α < 0
α- тупой

16.

Геометрический смысл производной

17.

18.

19. 12. На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной

20.

S (t ) v(t )
v (t ) a(t )

21.

Пример
Материальная точка движется по прямой
так, что ее скорость в момент времени t равна
v(t ) t 3 2t.
Найдите ускорение точки
времени t = 3.
Решение
a (t ) v (t )
v (t ) (t 2t ) 3 * t 2
3
2
v (3) 3 * 3 2 25
2
Ответ:
a (3) 25
в
момент