Производная. По материалам, изученным в 10 классе

1.

(По материалам, изученным в 10 классе).

2.

Большинство функций, изучаемых в школьном курсе
алгебры и начал анализа, имеют себе в пару другую
функцию, называемую производная функция от данной,
или просто производная.
Определение производной давалась через пределы.
Посмотрите дома это определение на стр 312 учебника
Мордковича часть 1.

3.

C 0
x 1
(kx b) k
( x )
1
2 x
(x ) n x
n
n 1

4.

(sinx ) cosx
(cosx ) sinx
1
(tgx )
2
cos x
1
(ctgx )
2
sin x

5.

(u v) u v
(С u) C u
(u v) u v u v
u u v u v
2
v
v

6.

1) f ( x) 3x 5 x 2 x 4 x 6
7
5
3
Решение
7
5
3
f (x) 3 (x ) 5 (x ) 2 ( x ) 4 ( x) 6
3 7x 5 5x 2 3x 4 1 0
f (x)
6
4
2
f ( x) 21x 25 x 6 x 4
6
4
2

7.

2) f ( x) (5 sin x x )
6
Решение
f ( x) (5 sin x x )
6
5(sin x) ( x )
6
5 cos x 6 x
5

8.

3) f ( x) 12 x tg ( x)
Решение
f (x) 12 (x ) - (tg(x))
1
f (x) 12 1 2
cos x
1
f (x) 12 2
cos x

9.

f(x) x sin x
4
Решение
4
4
f (x) (x ) sinx x (sin x)
f (x) 4x sin x x cos x
3
4

10.

2x
5) f ( x)
4x 3
Решение
(2x) (4x 3) - 2x (4x 3)
f (x)
(4x 3)2
2(4x 3) - 2x 4 8 x 6 8 x
6
f (x)
2
2
(4x 3)
(4 x 3)
(4 x 3) 2

11.

f(g(x)) f (x) g (x)
Пример
f ( x) ( 5 x 11)
4
Решение
4
f (x) ((-5x 11) ) (5x 11)
f(x) 4 (-5x 11) ( 5) 20 ( 5x 11)
3
3

12.

f(x) cos 5 x
Решение
f (x) (cos5x) (5x) -sin5x 5
f (x) -5sin5x

13.

k f (a) tg

14. Какой угол образует производная?

15. Производная на ЕГЭ (задача В8)

f (x 0 ) tg
tg 0,2
f ( x0 ) tg
Используя определение
f (x0 ) tg
получим
tg 0,2

16. Производная на ЕГЭ (задача В8)

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к
нему в точке с абсциссой x0
функции y = f(x) в точке x.0
Ответ:
tg 1
Найдите значение производной

17. Производная на ЕГЭ (задача В8)

На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите
абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна оси
абсцисс или совпадает с ней.
Ответ: x = - 3

18.

3) К графику функции y = f(x) проведена касательная в
точке с абсциссой x0 3. на рисунке изображен график
производной этой функции. Определите градусную меру
угла наклона касательной.
Решение
tg f ( x0 )
По графику
определяем, что
f ( 3) 1;
tg 1.
Ответ:
135
0

19.

y f ( x0 ) f ( x0 ) * ( x x0 )

20.

Пример
Составить уравнение касательной, проведенной к
графику
функции
графика с абсциссой
y 2 x3 5x 2 2
точке
x0 2.
Решение
y f ( x0 ) f ( x0 ) * ( x x0 )
y ( x) 2 * ( x 3 ) 5 * ( x 2 ) 2 2 * 3x 2 5 * 2 x 0
6 x 2 10 x
y ( x0 ) y (2) 2 * 23 5 * 2 2 2 6
y ( x0 ) y (2) 6 * 2 2 10 * 2 4
y 6 4 * ( x 2) 6 4 x 8 4 x 14
Ответ:
y 4 x 14

21.

S (t ) v(t )
v (t ) a(t )

22.

Пример
Материальная точка движется по прямой
так, что ее скорость в момент времени t равна
v(t ) t 3 2t.
Найдите ускорение точки
времени t = 3.
Решение
a (t ) v (t )
v (t ) (t 2t ) 3 * t 2
3
2
v (3) 3 * 3 2 25
2
Ответ:
a (3) 25
в
момент

23.

Повторить:
1) Таблицу производных.
2) Правила дифференцирования.
3) Алгоритмы нахождения tg
4) Задание на листке по вариантам..

24. Использованные ресурсы:

Открытый банк задач ЕГЭ по математике 2012
http://live.mephist.ru/show/mathege2010/
Обучающая система Д. Гущина «РЕШУ ЕГЭ»
http://reshuege.ru/
Мордкович А.П. П.В. Алгебра и начала анализа (профильный
уровень) 10 класс, М., «Мнемозина», 2006.
Алимов Ш.А.Алгебра и начала анализа 10-11 класс, М.,
«Просвещение»,1999.

25.

Автор:
Заикина Наталья Алексеевна,
учитель математики,
МОУ «СОШ № 5»
г. Саратов