Векторы. Что такое вектор и как его обазначают

1. ВЕКТОРЫ

2. 1.1Какова разница между векторными и скалярными величинами? Скалярные величины определяются заданием своих численных величин, а

1.1КАКОВА РАЗНИЦА МЕЖДУ ВЕКТОРНЫМИ И СКАЛЯРНЫМИ
ВЕЛИЧИНАМИ?
СКАЛЯРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ ЗАДАНИЕМ СВОИХ ЧИСЛЕННЫХ ВЕЛИЧИН, А
ХАРАКТЕРИЗУЮТСЯ НЕ ТОЛЬКО СВОИМ ЧИСЛОВЫМ ЗНАЧЕНИЕМ, НО И НАПРАВЛЕНИЕМ В
ПРОСТРАНСТВЕ.
1.2. ЧТО ТАКОЕ ВЕКТОР И КАК ЕГО ОБАЗНАЧАЮТ?
ВЕКТОР-ЛЮБОЙ НАПРАВЛЕННЫЙ ОТРЕЗОК. ОБОЗНАЧАЮТ АВ ИЛИ a.
1.3.КАКИЕ ВЕКТОРЫ НАЗЫВАЮТСЯ КОЛЛИНЕАРНЫМИ? ПРИВЕДИТЕ ПРИМЕР СОНАПРАВЛЕННЫХ
И ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫХ.
ЕСЛИ 2 ВЕКТОРЫ ЛЕЖАТ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ ИЛИ НА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ , ТО ТАКИЕ
ВЕКТОРЫ НАЗЫВАЮТЯ КОЛЛИНЕАРНЫМИ(рис 1 )
СОНАПРАВЛЕННЫЕ ВЕКТОРЫ (рис2)
ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫЕ (рис3)
1.4. КАКИЕ ВЕКТОРЫ НАЗЫВАЮТСЯ РАВНЫМИ?
ВЕКТОРЫ НАЗЫВАЮТСЯ РАВНЫМИ, ЕСЛИ ОНИ СОНАПРАВЛЕННЫЕ И ИХ МОДУЛИ РАВНЫ. (рис4)
1.5. КАКАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ РАВЕНСТВОМ ВЕКТОРОВ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПЕРЕНОСОМ?
РАВНЫЕ ВЕКТОРЫ МОЖНО СОВМЕСТИТЬ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПЕРЕНОСОМ,И, ОБРАТНО, ЕСЛИ
ВЕКТОРЫ СОВМЕЩАЮТСЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПЕРЕНОСОМ , ТО ЭТИ ВЕКТОРЫ ПАВНЫ.

3.

1.6. ЧТО ТАКОЕ МОДУЛЬ ВЕКТОРА?
ДЛИНА ОТРЕЗКА АВ НАЗЫВАЕТСЯ МОДУЛЕМ ВЕКТОРА АВ И ОБОЗНАЧАЕТСЯ /AB/.
1.7. ЧТО ВЫ ЗНАЕТЕ О НУЛЕВОМ ВЕКТОРЕ?
НУЛЕВОЙ ВЕКТОР – КОНЕЦ И НАЧАЛО КОТОРОГО СОВПАДАЮТ. ОБАЗНАЧАЕТСЯ 0.
2.1 СФОРМУЛИРУЙТЕ ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА И ПАРАЛЛЕЛОГРАММА СЛОЖЕНИЯ
ВЕКТОРОВ.
ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА
Для того чтобы сложить два вектора a⃗ и b нужно переместить вектор b⃗
параллельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора
a⃗.Тогда их суммой будет вектор c⃗ , начало которого совпадает с началом
вектора a⃗ , а конец — с концом вектора b⃗ (рис1)
ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Для того чтобы сложить два вектора a⃗ и b⃗ нужно переместить их параллельно самим
себе так, чтобы начала векторов a⃗ и b⃗ находились в одной точке. Затем построить
параллелограмм, сторонами которого будут эти вектора. Тогда суммой a⃗ +b⃗ будет
вектор c⃗ , начало которого совпадает с общим началом векторов, а конец — с
противоположной вершиной параллелограмма. (рис2)

4.

2.2 КАКИМИ СВОЙСТВАМИ ОБЛАДАЕТ СУММА ВЕКТОРОВ.
Для любых векторов а , b и с верно:
1.а + b=b + а
2.(а+b)+c=а+(b+c)
2.3. КАК ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ?
Разностью a – b векторов a и b называется такой вектор c, что c + b = a. Если
отложить векторы от одной точки, то разность можно найти по «правилу
треугольника» (рис1)
2.4. 2 ВЕКТОРА ,ИМЕЮЩИЕ РАВНЫЕ МОДУЛИ И ПРОТИВОПОЛОЖНО
НАПРАВЛЕННЫЕ , НАЗЫВАЮТСЯ ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ. (рис2)
2.5. КАК МОЖНО РАЗЛОЖИТЬ ВЕКТОР НА СУММУ СОСТАВЛЯЮЩИХ ПО ДВУМ
ПЕРЕСЕКАЮЩИМСЯ ПРЯМЫМ?
ПУСТЬ ДАНЫ ДВЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ. ТОГДА ЛЮБОЙ ВЕКТОР МОЖНО
РАЗЛОЖИТЬ НА СУММУ СОСТАВЛЯЮЩИХ , РАСПОЛОЖЕННЫХ НА ДАННЫХ
ПРЯМЫХ.

5.

3.1 КАКИМ МОЖЕТ БЫТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЕ K*A, ЕСЛИ: 1) a=0; 2) K=0?
Произведением вектора а≠0 на число к называется вектор , модуль которого равен
числу /к/*/а/ и сонаправлен с вектором а при к>0 , противоположно направлен с
вектором а при к<0. Произведение числа к на вектор а записывают так: к*а.
3.2 КАК УМНОЖИТЬ НЕНУЛЕВОЕ ЧИСЛО НА НЕНУЛЕВОЙ ВЕКТОР?
ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕНУЛЕВОГО ВЕКТОРА НА ЧИСЛО- ЭТО ВЕКТОР, КОЛЛИНЕАРНЫЙ
ДАННОМУ , А МОДУЛЬ РАВЕН МОДУЛЮ ДАННОГО ВЕКТОРА , УМНОЖЕННОМУ НА
МОДУЛЬ ЧИСЛА.
3.3 КАКИМИ СВОЙСТВАМИ ОБЛАДАЕТ УМНОЖЕНИЕ ЧИСЛА НА ВЕКТОР?
Свойства умножения вектора на число:
Если вектор b равен произведению ненулевого числа k и ненулевого вектора a, то
есть b = k · a, тогда:
b || a - вектора b и a параллельны
a↑↑b, если k > 0 - вектора b и a сонаправленные, если число k > 0
a↑↓b, если k < 0 - вектора b и a противоположно направленные, если число k < 0
|b| = |k| · |a| - модуль вектора b равен модулю вектора a умноженному на модуль
числа k.

6.

3.4 ДОКАЖИТЕ ПРИЗНАКИ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ВЕКТОРОВ.
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что a = n · b
2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
ПРИЗНАК неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение
равно нулевому вектору.
3.5. КАКОЕ УСЛОВИЕ ЯВЛЯЕТСЯ НЕОБХОДИМЫМ И ДОСТАТОЧНЫМ ДЛЯ ТОГО , ЧТОБЫ ТОЧКИ A,
B,C ЛЕЖАЛИ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ.
Для того чтобы точка С лежала на прямой АВ , необходимо и достаточно , чтобы существовала
число а такое, что АС=АВ
4.1 КАКОЙ УГОЛ НАЗЫВАЕТСЯ УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ AB И AC ?
УГЛОМ МЕЖДУ ВКТОРАМИ AB И AC НАЗЫВАЕТСЯ УГОЛ BAC. УГЛОМ МЕЖДУ НЕНУЛЕВЫМИ
ВЕКТОРАМИ a И b НАЗЫВАЕТСЯ УГОЛ ,ОБРАЗОВАННЫЙ ПРИОТКЛАДЫВАНИИ ЭТИХ ВЕКТОРОВ
ОТ ОДНОЙ ТОЧКИ. ОБОЗНАЧАЕТСЯ (a,b)
4.2. КАК ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ a И b В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ?
Углом между двумя ненулевыми векторами называется величина заданного ими угла , когда они
отложены от одной точки.

7.

4.3 ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ ДВУХ ВЕКТОРОВ ?
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЯВЛЯЕТСЯ ЧИСЛОМ ИЛИ ВЕКТОРОМ?
СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ ДВУХ ВЕКТОРОВ НАЗЫВАЕТСЯ ЧИСЛО, РАВНОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЮ МОДУЛЕЙ ЭТИХ ВЕКТОРОВ НА КОСИНУС УГЛА МЕЖДУ НИМИ ЭТО
ЧИСЛО.
4.4 СФОРМУЛИРУЙТЕ СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЕ.
1.Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и
только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:
a · a = 0 <=> a = 0
Операция скалярного умножения коммуникативна:
a·b=b·a
Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти
вектора ортогональны:
a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b
Операция скалярного умножения дистрибутивна:
(a + b) · c = a · c + b · c

8.

4.5. КАКОЕ УСЛОВИЕ ЯВЛЯЕТСЯ НЕОБХОДИМЫМ И ДОСТАТОЧНЫМ ДЛЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ
ДВУХ ВЕКТОРОВ?
ДЛЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОНО, ЧТОБЫ ИХ
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАВНЯЛОСЬ НУЛЮ.
4.6. УКАЖИТЕ ПРИНЦИПЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.
1. ВВОДЯ ВЕКТОРЫ В УДОБНОЙ ДЛЯ НАС ФОРМЕ , НУЖНО ПЕРЕПИСАТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С
ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРОВ.
2. ПРЕОБРАЗОВЫВАЯ ЗАДАЧУ , ЗАПИСАННУЮ В ВЕКТОРОЙ ФОРМЕ ,ПОЛУЧАЕМ ЕЕ РЕШИЕМ В
ВЕКТОРНОЙ ФОРМЕ.
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ, ПОЛУЧЕННОЕ В ВЕКТОРНЫХ СООТНОШЕНИЯХ , НУЖНО ПЕРЕВЕСТИ НА
ИСХОДНЫЙ «ЯЗЫК» ЗАДАЧИИ ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.
5.1 СФОРМУЛИРУЙТЕ И ДОКАЖИТЕ ТЕОРЕМУ О РАЗЛОЖЕНИИ ВЕКТОРА ПО ДВУМ
НЕКОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ.
ЕСЛИ НЕНУЛЕВЫЕ ВЕКТОРЫ a И b, ТО ДЛЯ ЛЮБОГО ВЕКТОРA c НАЙДУТСЯ ЧИСЛА x И y ТАКИЕ,
ЧТО ВЫПОЛНЯЕТСЯ РАВЕНСТВО c=xa+yb; ПРИЧЕМ КОЭФФИЦЕНТ РАЗЛОЖЕНИЯ x и y,
ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ ЕДИНСТВЕННЫМ ОБРАЗОМ.

9.

5.2 КАКИЕ ВЕКТОРЫНАЗЫВАЮТСЯ БАЗИСНЫМИ ВЕКТОРАМИ НА ПЛОСКОСТИ?
ИЗ ЭТОЙ ТЕОРЕМЫ ВЫТЕКАЕТ, ЧТО ЛЮБОЙ ВЕКТОР МОЖНО РАЗЛОЖИТЬ ПО ДВУМ
ПРОИЗВОЛЬНЫМНЕКОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ. ЕСЛИ НА ПЛОСКОСТИ ВЫБРАНЫ ТАКИЕ ЖЕ
ДВА НЕКОЛЛИНЕАРНЫХ ВЕКТОРОВ, ТО ОНИ НАЗЫВАЮТСЯ БАЗИСНЫМИ ВЕКТОРАМИ
ПЛОСКОСТИ.
5.3 ЧТО ТАКОЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА И КАК ИХ ОБОЗНАЧАЮТ?
КООРДИНАТАМИ ВЕКТОРА НАЗЫВАЮТСЯ КОЭФФИЦЕНТЫ ЕГО РАЗЛОЖЕНИЯ ПО БАЗИСНЫМ
ВЕКТОРАМ.ОБОЗНАЧЕНИЕ: а=(х;у)
5.4. НАПИШИТЕ КООРДИНАТЫ КООРДИНАТНЫХ ВЕКТОРОВ.
Координаты нулевого вектора равны нулю.
Координаты равных векторов соответственно равны.
Координаты вектора суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат этих
векторов.
Координаты вектора разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих
векторов.
Координаты вектора произведения данного вектора на число равны произведениям
соответствующих координат этого вектора на данное число.

10.

5.5 КАКИЕ СВОЙСТВА КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ ВЫ ЗНАЕТЕ? ДОКАЖИТЕ ИХ.
1.У РАВНЫХ ВЕКТОРОВ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ КООРДИНАТЫ РАВНЫ.
2.ПРИ СЛОЖЕНИИ ВЕКТОРОВ СКЛАДЫВАЮТСЯ ИХ СОТВЕТСТВУЮЩИЕ КООРДИНАТЫ.
3.ПРИ УМНОЖЕНИИ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО ЕГО КООРДИНАТЫ УМНОЖАЮТСЯ НА ЭТО ЖЕ ЧИСЛО.
5.6. КАКОЙ ВЕКТОР НАЗЫВАЕТСЯ РАДИУС-ВЕКТОРОМ ТОЧКИ А?
ЕСЛИ НА ПЛОСКОСТИ Оху ЗАДАНА ТОЧКА А(х;у) , ТО ВЕКТОР ОА НАЗЫВАЕТСЯ РАДИУСВЕКТОРОМ ТОЧКИ А.
5.7. КАК ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА ,ЕСЛИ ЗАДАНЫ КООРДИНАТЫ ЕГО КОНЦОВ ?
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ КАК РАЗНОСТИ СООТВЕТСТВУЮЩИХ КООРДИНАТ
КОНЦА И НАЧАЛА ВЕКТОРА.
5.8. ПО КАКОЙ ФОРМУЛЕ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ МОДУЛЬ ВЕКТОРА?

11.

6.1. КАК МОЖНО ОПРЕДЕЛИТЬ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ ПО ИХ КООРДИНАТАМ?
ЗАПИШИТЕ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ФОРМУЛЫ.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ a=(x1;y1), и b(x2;y2) ОТЛОЖИТЬ ОТ НАЧАЛА
КООРДИНАТ, ТО ОНИ ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ ПО ФОРМУЛЕ: a*b=x1*x2+y1*y2
6.2 НАПИШИТЕ УСЛОВИЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ВЕКТОРОВ.
ВЕКТОРЫ ЯВЛЯЮТСЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ ТОГДА И ТОЛЬКО, КОГДА ИХ СКАЛЯРНОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАВНО НУЛЮ. ДАНЫ 2 ВЕКТОРА a(xa;ya) и b(xb;yb). ЭТИ ВЕКТОРЫ БУДУТ
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ , ЕСЛИ ВЫРАЖЕНИЕ xa xb + ya yb =0
6.3. НАПИШИТЕ УСЛОВИЯ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ВЕКТОРОВ.
1. ДВА ВЕКТОРА a И B КОЛЛИНЕАРНЫ, ЕСЛИ СУЩЕСТВУЕТ ЧИСЛО n ТАКОЕ, ЧТО a = n · b.
2. ДВА ВЕКТОРА КОЛЛИНЕАРНЫ, ЕСЛИ ОТНОЖЕНИЕ КООРДИНАТ РАВНЫ.
3. ДВА ВЕКТОРА КОЛЛИНЕАРНЫ, ЕСЛИ ИХ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАВНО НУЛЕВОМУ
ВЕКТОРУ. (рис1)
6.4. ПО КАКОЙ ФОРМУЛЕ ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ?
РИС1

12.

7.1. КАКОЙ ВЕКТОР НАЗЫВАЕТСЯ НАПРАВЛЯЮЩИМ ВЕКТОРОМ ПРЯМОЙ?
НАПРАВЛЯЮЩИЙ ВЕТОР ПРЯМОЙ- ЭТО ЛЮБОЙ НЕНУЛЕВОЙ ВЕКТОР, ЛЕЖАЩИЙ НА ДАННОЙ
ПРЯМОЙ ИЛИ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ЕЙ ПРЯМОЙ.(рис1)
7.2. КАКАЯ ТОЧКА НАЗЫВАЕТСЯ НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКОЙ ПРЯМОЙ?
ТОЧКА М0 НАЗЫВАЕТСЯ НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКОЙ ПРЯМОЙ l.
7.3. НАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ?
УРАВНЕНИК ПРЯМОЙ,ПРОХОДЯЩИЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ (x1,y1) и (x2,y2),
ЗАПИСЫВАЕТСЯ ТАК:
7.4. ЧТО ТАКОЕ ВЕКТОР НОРМАЛИ ПРЯМОЙ? НАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ПО ТОЧКЕ И
ВЕКТОРУ НОРМАЛИ.
ВЕКТОР НОРМАЛИ- ЭТО ВЕКТОР, КОТОРЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРЕН ДАННОЙ ПЛОСКОСТИ .
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ПО ВЕКТОРУ НОРМАЛИ: а(Х-Х0)+в(У-У0)=0
7.5. ПО КАКОЙ ФОРМУЛЕ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ?
Рис 2
7.6. КАК ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ?
РАССТОЯНИЕ ОТ Т. ДО ПРЯМОЙ –РАВНО ДЛИНЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА ОПУЩЕННОГО ИЗ Т. НА
ПРЯМУЮ.
d = |A·Mx + B·My + C|
√A2 + B2

13.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!