Векторы на плоскости. 9 класс

1. Работа по геометрии на тему “Векторы на плоскости”

Выполнил ученик 9 “В” класса школы гимназии №5
Максутов Фарух

2. С наступающим новым годом!!!

Пусть вам щедрее светит солнце!
И от всех кто это рядом, и вдали,
Шлем мы вам привет - от всех учеников
И поклон от неба до земли!
За ласку, доброту, заботу,
Хотим мы всех благодарить.
Собрать бы все цветы на свете
И вам нынче подарить!
3доровья вам! К чертям недуг!
Живите сто лет, не зная слез,
И коль трудно будет вдруг,
Мы просим Вас не вешать нос!

3. Векторы на плоскости

1)скаляр-величина, каждое значение которой может быть выражено
одним числом.
2) Вектор-направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого
указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом
обозначают
3) Коллинеа́рность — отношение параллельности векторов:
два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат
напараллельных прямых или на одной прямой
сонаправленые
противополож
вектор
4) Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны
6)длина
7) Нулевой вектор (нуль-вектор) — вектор, начало которого совпадает с
его концом. Нулевой вектор имеет норму 0 и обозначается или . Нулевой
вектор определяет тождественное движение пространства, при котором
каждая точка пространства переходит в себя.

4. Сложение и вычитание векторов

.
.
Сложение и вычитание векторов
1) Для того чтобы сложить два вектора a⃗ и b⃗ (рис. 3, а) нужно переместить вектор b⃗
параллельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора a⃗ Тогда их суммой будет вектор c⃗ ,
начало которого совпадает с началом вектора
a⃗ , а конец — с концом вектора b⃗
Для того чтобы сложить два вектора a⃗ и b⃗ нужно переместить их параллельно самим себе так, чтобы начала векторов a⃗ и b⃗
находились в одной точке). Затем построить параллелограмм, сторонами которого будут эти вектора Тогда суммой a⃗
, начало которого совпадает с общим началом векторов, а конец — с противоположной вершиной параллелограмма .
+b⃗
будет векторc⃗
3)Переместительным свойством
4) Разностью a – b векторов a и b называется такой вектор c, что c + b = a. Если отложить векторы от одной точки, то
разность можно найти по «правилу треугольника»: .
5) когда они параллельны (или лежат на обной прямой) , равны (по длине) и направлены в РАЗНЫЕ стороны
6)

5. Умножение вектора на число

1)нулевым k · a = {k · ax; k · ay}
2) k · a = {k · ax ; k · ay ; k · az}
3) Если вектор b равен произведению ненулевого числа k и ненулевого вектора a, то есть b = k · a, тогда:
b || a - вектора b и a параллельны
a↑↑b, если k > 0 - вектора b и a сонаправленные, если число k > 0
a↑↓b, если k < 0 - вектора b и a противоположно направленные, если число k < 0
|b| = |k| · |a| - модуль вектора b равен модулю вектора a умноженному на модуль числа k
5)для того чтобы точка Cлежала на прямой A,B, необходимо и достаточно чтобы существовало число а
такоe, что вектор AC=а вектор AB

6. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

произведений чисел:
Угол между векторами.
Скалярное произведение векторов
1)угол BAC НАЗЫВАЕТСЯ УГЛОМ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ AB и AC
2)
3)скалярное произведение двух векторов называется число,равное произведению модулей этих векторов на
косинус угла между ними,т.е скалярное произведение векторов равно a · b = |a| · |b| · cos φ
Скалярное произведение произведение векторов является вектор
4)свойства скалярного произведения
1)для любых векторов
верное равенство
2)для любых векторов
и любого дейсвительного числа aверное равенство (а )b=а(
3) 2)для любых векторов а,b и с верное равенство
5) Для перпендикулярности двух ненулевых векторов
6)
и
необходимо и достаточно,
чтобы их скалярное произведение равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось
равенство
)

7. Координаты векторов

1) Любой вектор р (сверху р модуль-стрелочка) и можно разложить, и притом единственным образом, по
двум данным неколлинеарным векторам а (модуль) и b(модуль) р (модуль) =ха (модуль) =yb(модуль)
2) Ба́зис— множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства
может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого
множества — базисных векторов.
3) координаты вектора - это построенные вектора с помощью вспомогательных векторов i и j равными 1,
располагаются на координатной плоскости обозночение
Формула определения координат вектора для плоских задач
В случае плоской задачи вектор AB заданный координатами точек A(Ax ; Ay) и B(Bx ; By) можно найти воспользовавшись
следующей формулой
AB = {Bx - Ax ; By - Ay}
Формула определения координат вектора для пространственных задач
В случае пространственной задачи вектор AB заданный координатами точек A(Ax ; Ay ; Az) и B(Bx ; By ; Bz) можно найти
воспользовавшись следующей формулой
AB = {Bx - Ax ; By - Ay ; Bz - Az}
Формула определения координат вектора для n -мерного пространства
В случае n-мерного пространства вектор AB заданный координатами точек A(A1 ; A2 ; ... ; An) и B(B1 ; B2 ; ... ; Bn) можно
найти воспользовавшись следующей формулой
AB = {B1 - A1 ; B2 - A2 ; ... ; Bn - An}

8. Уравнение прямой плоскости

Прямая (прямая линия) - это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её
точками.
Уравнение прямой на плоскости
Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида
A x+B y+C= 0
где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

9. Уравнение прямой плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду y=k x+b где k - угловой коэффициент равный тангенсу угла,
образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ .
Уравнение прямой в отрезках на осях
Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами (a, 0) и (0,b), то она может быть найдена используя
формулу уравнения прямой в отрезках

10. Уравнение прямой плоскости

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости
Если прямая проходит через две точки A(x1,y1) и B(x2,y2), такие что x1 ≠x2 иy1 ≠y2 то уравнение прямой можно найти,
используя следующую формулу
Параметрическое уравнение прямой на плоскости
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом
где (x0,y0) - координаты точки лежащей на прямой,{l,m}- координаты направляющего вектора прямой.

11. Расстояние между двумя точками

Определение.
Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, что соединяет эти точки.
Формулы вычисления расстояния между двумя точками:
Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xa, ya) и B(xb, yb) на плоскости:
AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2
Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb) в пространстве:
AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2 + (zb - za)2

12. Расстояние между двумя точками

Вывод формулы для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости
Из точек A и B опустим перпендикуляры на оси координат.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆ABC. Катеты этого треугольника равны:
AC = xb - xa;
BC = yb - ya.
Воспользовавшись теоремой Пифагора, вычислим длину отрезка AB:
AB = √AC2 + BC2.
Подставив в это выражение длины отрезков AC и BC, выраженные через координаты точек A и B, получим формулу для
вычисления расстояния между точками на плоскости.
Формула для вычисления расстояния между двумя точками в пространстве выводится аналогично

13. Расстояние между двумя точками

Определение.
Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости
Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(Mx, My) до прямой можно найти, используя
следующую формулу