Сходимость знакоположительных рядов

1.

Математический анализ
Раздел: Числовые и функциональные ряды
Тема: Сходимость знакоположительных
рядов

2. §15. Сходимость знакоположительных рядов

ЛЕММА 1 (необходимое и достаточное условие сходимости
знакоположительного ряда).
Знакоположительный ряд сходится последовательность
его частичных сумм ограничена.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ТЕОРЕМА 2 (первый признак сравнения).
Пусть ∑un и ∑vn – знакоположительные ряды, причем
un vn , n N (N ℕ).
Тогда
1) если ряд ∑vn сходится, то и ряд ∑un тоже сходится;
2) если ряд ∑un расходится, то и ряд ∑vn тоже
расходится.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

3.

ТЕОРЕМА 3 (второй признак сравнения).
Пусть ∑un и ∑vn – знакоположительные ряды.
Если при n существует конечный и отличный от нуля
предел отношения их общих членов, т.е.
un
lim
k 0,
n v n
то ряды ∑un и ∑vn ведут себя одинаково по отношению к
сходимости.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

4.

ЭТАЛОННЫЕ РЯДЫ, которые используются в признаках
сравнения:
1
а) гармонический ряд
– расходится;
n
n 1
б)
обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле)
1
n
n 1
если 1,
сходится,
расходится, если 1.
в) ряд геометрической прогрессии
aq
n 1
n 1
сходится,
если q 1,
расходится, если q 1.

5.

ТЕОРЕМА 4 (признак Даламбера).
Пусть ∑un – знакоположительный ряд и существует
u n 1
lim
.
n u n
Тогда
а) если ℓ < 1 , то ряд сходится;
б) если ℓ > 1 , то ряд расходится;
в) если ℓ = 1 , то вопрос о сходимости ряда остается
открытым.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

6.

ТЕОРЕМА 5 (признак Коши).
Пусть ∑un – знакоположительный ряд и существует
lim
n
n
un .
Тогда
а) если ℓ < 1 , то ряд сходится;
б) если ℓ > 1 , то ряд расходится;
в) если ℓ = 1 , то вопрос о сходимости ряда остается
открытым.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Замечания.
1) В обеих теоремах 4 и 5 случай ℓ = включается в ℓ > 1 .
2) В ходе доказательства теорем 4 и 5 показывается, что если
ℓ > 1 , то
lim un 0
n

7.

ТЕОРЕМА 6 (интегральный признак Коши).
Пусть ∑un – знакоположительный ряд,
f(x) – непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая
на [c;+ ) (где c ℕ , c 1) функция такая, что
f(n) = un (для любого n = 1,2,3 …).
Тогда несобственный интеграл
c
f ( x)dx и ряд
ведут себя одинаково относительно сходимости.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
un
n c