Теоретические основы информатики. Представление информации. (Глава 1.3)

1. Глава 1. Теоретические основы информатики

Лекция 1. Информация и общество
Лекция 2. Информация
Лекция 3. Представление информации
Лекция 4. Информационные процессы
Лекция 5. ЭВМ — техническое средство
информатики

2. Лекция 3. Представление информации

Московский государственный университет информатики и программирования
Глава 1. Теоретические
основы информатики
Лекция 3. Представление информации
1.3.1. Понятие о формальном языке
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
1.3.3. Язык логики

3. 1.3.1. Понятие о формальном языке

1.3. Представление информации
1.3.1. Понятие о формальном языке
Символьная и образная информация
Символьная информация
представляет собой сообщение в
виде последовательности знаков,
воспринимаемая человеком в
письменной или речевой форме.
Образная информация — это
сохраненные в памяти ощущения
человека от контакта с источником,
воспринимаемые всеми органами
чувств человека.

4. 1.3.1. Понятие о формальном языке

1.3. Представление информации
1.3.1. Понятие о формальном языке
Классификация языков
Язык — это определенная система символьного представления информации.
Представление информации
Язык — система символьного представления информации
Естественные языки
Языки информатики
Формальные языки
Языки других естественных наук

5. 1.3.1. Понятие о формальном языке

1.3. Представление информации
1.3.1. Понятие о формальном языке
Естественные и формальные языки
Естественные языки — это
исторически сложившиеся языки
национальной речи.
Формальные языки — это
искусственно созданные языки для
профессионального применения.
Для любого языка можно выделить:
– алфавит — множество используемых символов;
– синтаксис — правила записи языковых конструкций (текста на
языке);
– семантика — смысловая сторона языковых конструкций;
– прагматика — практические последствия применения текста на
данном языке.

6. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Системы счисления
Система счисления — это правила образования записи (изображения) чисел с
помощью заданного набора специальных знаков — цифр.
Унарная
Непозиционная
Унарная система
счисления — это
система счисления, в
которой для записи
чисел используется
только один знак.
Непозиционная
система
счисления — каждой
цифре в любом
месте числа
соответствует одно и
то же значение —
количественный
эквивалент.
Позиционная
Позиционная
система
счисления —
значение каждой
цифры в
изображении числа
определяется ее
положением
(позицией) в ряду
других цифр.

7. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Непозиционная система счисления — римская система записи цифр
Базовые числа:
1—
I
5—
V
10 —
X
50 —
L
100 — C
500 — D
1000 — M
Правила записи чисел:
– если цифра меньшего значения стоит справа от
большей цифры, то их значения суммируются;
если слева — то меньшее значение вычитается
из большего;
– цифры «I», «X», «C» и «M» могут следовать
подряд не более трех раз каждая;
– цифры «V», «L», «D» могут использоваться в
записи не более одного раза.

8. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Позиционная система счисления
Алфавитом системы счисления называется совокупность различных цифр,
используемых в позиционной системе счисления для записи чисел.
Основанием системы счисления (величиной алфавита данной системы
счисления) называется величина p, равная отношению веса любого разряда
числа к весу соседнего младшего разряда.
Базис позиционной системы счисления — это последовательность чисел,
каждое из которых задает вес каждого разряда.
Десятичная система счисления:
– алфавит — «0», «1», «2», «3», «4», «5», «6», «7», «8», «9».
– основание системы счисления — 10.
– базис позиционной системы счисления —
…; 0,001; 0,01;
0,1;
1;
10;
100;
…

9. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Сущность позиционного представления чисел
Развернутая форма записи чисел: Для произвольной системы счисления с
основанием p любое число A, удовлетворяющее условию p k A p n , может
быть представлено в виде многочлена:
A a n 1 p
n 1
a n 2 p
n 2
1
0
a1 p a0 p a 1 p
1
a k p
k
n
i
a
p
i
i k
Из коэффициентов ai при степенях основания строится сокращенная запись
числа:
A a n 1a n 2 a1a 0 a 1 a k p k p
Развернутая запись числа по схеме Горнера:
– для целой части A a n 1 p a n 2 p a n 3 p a1 p a 0 ;
1
1
1
1
– для дробной части A a 1 a 2 a1 k a k .
p
p
p
p

10. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Двоичная система счисления:
– алфавит — «0», «1».
– основание системы счисления — 2.
– базис позиционной системы счисления —
…; 1/16;
1/8;
1/4;
1/2;
1;
2;
4;
8;
…
11010,11 2 1 × 24 1 × 23 0 × 2 2 1 × 21 0 × 2 0 1 × 2 1 1 × 2 2 26, 75 10
Таблица сложения, вычитания и умножения в двоичной системе счисления
Сложение
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 10
Вычитание
0 0 0
1 0 1
1 1 0
10 1 1
Умножение
0×0 0
0 ×1 0
1× 0 0
1×1 1

11. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Примеры вычислений в двоичной системе счисления
Примеры
Сложение:
арифметических
1.
1001
действий в двоичной
+1010 системе
10011
счисления
2.
101,011
+1,11_
111,001
Вычитание:
1.
2.
1011
-111
100
101
–10,1
10,1
Умножение:
1.
1011
101
1011
1011__
110111
2.
101,1
_ 1,1_
10,11
_101,1_
1000,01
Деление:
1.
11110|110
-110 |101
110
-110
0
2.
110,01 |101_
-101___ |1,01
1,01
-1,01_
0,00

12. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Примеры для самостоятельного решения
1. Записать числа в виде многочлена и схемы Горнера и
вычислить их в десятичной системе счисления:
1101101 2 ?
11001,101 2 ?
2. Вычислить в двоичной системе счисления:
а.
11101,11
+ 101,1_
б.
г.
10000
–
11,011
1001011,11001|11001
|
в.
101,11
_11,01_

13. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Ответы
1. Записать числа в виде многочлена и схемы Горнера и
вычислить их в десятичной системе счисления:
1101101 2 1 × 26 1 × 25 0 × 2 4 1 × 23 1 × 22 0 × 21 1 × 20
64 32 8 4 1 109 10
1× 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 109
10
11001,101 2 1 × 2 4 1 × 23 0 × 2 2 0 × 21 1 × 2 0 1 × 2 1 0 × 2 2 1 × 2 3
1 1
16 8 1 25, 625 10
2 8
1 1
1
1 × 2 1 2 0 2 0 2 1 1 0 1 × 25, 625 10
2 2
2

14. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Ответы
2. Вычислить в двоичной системе счисления:
а.
11101,11
+ 101,1_
100011,01
в.
101,11
11,01_
1,0111
+ 101,11
1011,1___
10010,1011
б.
10000
–
11,011
1100,101
г. _1001011,11001|11001___
11001_
|11,00001
_11001
11001
_0,11001
0,11001
0,00000

15. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Восьмеричная система счисления:
– алфавит — «0», «1», «2», «3», «4», «5», «6», «7».
– основание системы счисления — 23 = 8.
– базис позиционной системы счисления —
…; 1/256; 1/64;
1/8;
1;
8;
64;
256;
…
756, 25 8 7 × 82 5 × 81 6 × 80 2 × 8 1 5 × 8 2 494, 328125 10

16. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Таблица сложения в восьмеричной системе счисления
0
1
2
3
4
5
6
7 10
0 |
0
1
2
3
4
5
6
7 10
1 |
1
2
3
4
5
6
7 10 11
2 |
2
3
4
5
6
7 10 11 12
3 |
3
4
5
6
7 10 11 12 13
4 |
4
5
6
7 10 11 12 13 14
5 |
5
6
7 10 11 12 13 14 15
6 |
6
7 10 11 12 13 14 15 16
7 |
7 10 11 12 13 14 15 16 17
10| 10 11 12 13 14 15 16 17 20

17. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Таблица умножения в восьмеричной системе счисления
0
1
2
3
4
5
6
7
10
0 |
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 |
0
1
2
3
4
5
6
7
10
2 |
0
2
4
6 10 12 14 16
20
3 |
0
3
6 11 14 17 22 25
30
4 |
0
4 10 14 20 24 30 34
40
5 |
0
5 12 17 24 31 36 43
50
6 |
0
6 14 22 30 36 44 52
60
7 |
0
7 16 25 34 43 52 61
70
10|
0 10 20 30 40 50 60 70 100

18. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Примеры вычислений в восьмеричной системе счисления
Примеры
Сложение:
арифметических
1.
367
действий в двоичной
+1254 системе
1643
счисления
2.
652,33
+6,7_
661,23
Вычитание:
1.
Умножение:
2.
3117
- 632
2265
1.
452
-_20,6
431,2
75
321
75
+ 172
267__
30715
2.
51,6
4,2_
12,34
+247,0_
261,34
Деление:
1.
_334|24
24 |13
_74
74
0
2. _3,52 |2,2
2,2 |1,5
_1,32
1,32
0

19. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Примеры для самостоятельного решения
1. Записать числа в виде многочлена и схемы Горнера и
вычислить их в десятичной системе счисления:
756 8 ?
21,16 8 ?
2. Вычислить в восьмеричной системе счисления:
а.
163,54
+ 56,33_
б. _725
51,7
г.
15,52|2,3
|
в.
11,62
_7,4_

20. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Ответы
1. Записать числа в виде многочлена и схемы Горнера и
вычислить их в десятичной системе счисления:
756 8 7 × 82 5 × 81 6 × 80 7 × 64 5 × 8 6 448 40 6 494 10
7 × 8 5 8 6 494 10
21,16 8 2 × 81 1 × 80 1 × 8 1 6 × 8 2 16 1 0,125 6 × 0, 015625 17 0,125 0, 09375 17, 21875 10
1 1
2 × 8 1 1 × 6 17, 21875 10
8 8

21. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Ответы
2. Вычислить в восьмеричной системе счисления:
а.
163,54
+ 56,33_
242,07
в.
11,62
_7,4_
4,710
+104,36_
111,27
б. _725
51,7
653,1
г. _15,52|2,3
13,7_|5,6
_1,62
1,62
0,00

22. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Шестнадцатеричная система счисления:
– алфавит — «0», «1», «2», «3», «4», «5», «6», «7», «8», «9»,
«A» (10), «B» (11), «C» (12), «D» (13), «E» (14), «F» (15).
– основание системы счисления — 24 = 16.
– базис позиционной системы счисления —
…; 1/4096; 1/256; 1/16;
1;
16;
256;
4096;
B7, D 16 11 ×161 7 ×160 13 ×16 1 176 7 13 × 0, 0625
183 0,8125 183,8125 10
…

23. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Таблица сложения в шестнадцатеричной системе счисления
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F 10
0 |
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F 10
1 |
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F 10 11
2 |
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F 10 11 12
3 |
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F 10 11 12 13
4 |
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F 10 11 12 13 14
5 |
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F 10 11 12 13 14 15
6 |
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F 10 11 12 13 14 15 16
7 |
7
8
9
A
B
C
D
E
F 10 11 12 13 14 15 16 17
8 |
8
9
A
B
C
D
E
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 |
9
A
B
C
D
E
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
A |
A
B
C
D
E
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A
B |
B
C
D
E
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B
C |
C
D
E
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C
D |
D
E
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D
E |
E
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E
F |
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F
10| 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20

24. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Таблица умножения в шестнадцатеричной системе счисления
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
0 |
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 |
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
2 |
0
2
4
6
8
A
C
E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E
20
3 |
0
3
6
9
C
F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D
30
4 |
0
4
8
C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C
40
5 |
0
5
A
F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B
50
6 |
0
6
C 12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A
60
7 |
0
7
E 15 1C 23 2A 31 38 3F 46 4D 54 5B 62 69
70
8 |
0
8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78
80
9 |
0
9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87
90
A |
0
A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96
A0
B |
0
B 16 21 2C 37 42 4D 58 63 6E 79 84 8F 9A A5
B0
C |
0
C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4
C0
D |
0
D 1A 27 34 41 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3
D0
E |
0
E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2
E0
F |
0
F 1E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 E1
F0
10|
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 C0 D0 E0 F0 100

25. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Примеры вычислений в шестнадцатеричной системе счисления
Примеры
Сложение:
арифметических
1.
1A9
действий в двоичной
+21F3 системе
239C
счисления
2.
AF,0E
+3,7_
B2,7E
Вычитание:
1.
Умножение:
2.
3117
- 632
2AE5
1.
45D
-_AA,6
3B2,A
1A
BCD
152
+ 138
11E__
132D2
2.
5D,6
A,2_
B,AC
+3A5,C_
3B1,6C
Деление:
1.
_1B0B|2B
1AE |A1
_2B
2B
0
2. _27,9C|3,4
27,0 |C,3
_0,9C
0,9C
0,00

26. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Примеры для самостоятельного решения
1. Записать числа в виде многочлена и схемы Горнера и
вычислить их в десятичной системе счисления:
A0 E 16 ?
1EF ,1D 16 ?
2. Вычислить в шестнадцатеричной системе счисления:
а.
2DE,A5
+ 11,3E4
б. _725
FA,7
г.
2F,5A|1,D
|
в.
DA,65
_A,F_

27. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Ответы
1. Записать числа в виде многочлена и схемы Горнера и
вычислить их в десятичной системе счисления:
A0 E 16 10 ×162 0 ×161 14 ×160 2560 0 14 2574 10
10 ×16 0 16 14 2574 10
1EF ,1D 16 1 ×162 14 ×161 15 ×160 1 ×16 1 13 ×16 2
256 224 15 0, 0625 0,05078125 495,11328125 10
1
1
1×16 14 16 15 1 13 495,11328125 10
16
16

28. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Ответы
2. Вычислить в шестнадцатеричной системе счисления:
а.
2DE,A5
+ 11,3E4
2EF,E34
в.
DA,65
_A,F__
CC,BEB
+887,F2_
954,BOB
б. _725
FA,7
62A,9
г. _2F,5A|1,D_
1D__ |1A,2
_12,5
12,2
_0,3A
0,3A
0,00

29. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Двоично-десятичная система счисления:
– алфавит в виде тетрад — «0000» (0), «0001» (1), «0010» (2), «0011» (3),
«0100» (4), «0101» (5), «0110» (6), «0111» (7), «1000» (8), «1001» (9).
– основание системы счисления — 10.
– базис позиционной системы счисления —
…; 0,001; 0,01;
0,1;
1;
10;
100;
1000;
…
Используется как вспомогательная система счисления в компьютере
72, 4 10 0111 0010 , 0100 01110010, 0100 2 10

30. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Схема перевода чисел из одной системы счисления в другую
q-ая система
счисления
Арифметика q-ой или
p-ой системы счисления
q-ая система
счисления
Арифметика 10-ой
системы счисления
p-ая система
счисления
p-ая система
счисления
10-ая система
счисления
Арифметика 10-ой
системы счисления

31. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Перевод чисел из q-ой системы счисления в 10-ую
Целая часть
1. Каждая цифра числа в q-ой
системе счисления переводится
в число в десятичной системе
счисления — ai q в ai 10 .
2. Полученные числа нумеруются
справа налево, начиная с
нуля — i 0, 1, 2, K , n 1.
3. Десятичное число,
соответствующее i-ой цифре
исходного числа, умножается на
q i , где i — номер цифры в
исходном числе, и результаты
произведений складываются.
Дробная часть
1. Каждая цифра числа в q-ой
системе счисления переводится
в число в десятичной системе
счисления.
2. Полученные числа нумеруются
cлева направо, начиная с
единицы — i 1, 2, K , n
3. Десятичное число,
соответствующее i-ой цифре
исходного числа, умножается на
q k , где k — номер цифры в
исходном числе, и результаты
произведений складываются.

32. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Перевод чисел из q-ой системы счисления в 10-ую
B0F9(16)
B
0
F
9
1.
11
0
15
9
2.
3
2
1
0
3.
B0F9 16 11 ×163 0 ×162 15 ×161 9 ×160 45305 10
0,B0F9(16)
B
0
F
9
1.
11
0
15
9
2.
1
2
3
4
3.11 ×16 1
0 ×16 2 15 ×16 3 9 ×16 4 0, 6912994384765625 10

33. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Перевод чисел из q-ой системы счисления в 10-ую
B0F9,BOF(16)
Целая часть
Дробная часть
B
0
F
9
B
O
F
11
0
15
9
11
0
15
3
2
1
0
1
2
3
B0F9,BOF 16 11 ×163 0 ×162 15 ×161 9 ×160
11×16 1 0 ×16 2 15 ×16 3 45305,691162109375 10

34. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Примеры для самостоятельного решения
1. Перевести числа из различных систем счисления в десятичную:
а) 10101011,111
2
б) 21012, 22
в) 311, 02
г)
4
3
?
?
703,15 8 ?
д) AFF, 23 16
?
?

35. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Ответы
1. Перевести числа из различных систем счисления в десятичную:
Целая часть
а) 10101011,111 2
Дробная часть
1
0 1 0 1
0 1 1
1 1
1
1
0 1 0 1
0 1 1
1 1
1
7
6 5 4 3
2 1 0
1 2
3
1 × 27 0 × 26 1 × 25 0 × 2 4 1 × 23 0 × 2 2 1 × 21 1 × 2 0
1 × 2 1 1× 2 2 1 × 2 3 171,875 10

36. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Ответы
1. Перевести числа из различных систем счисления в десятичную:
Целая часть
б)
2
1 0
1 2
2
2
2
1 0
1 2
2
2
4
3 2
1 0
1
2
21012, 22 3 2 × 34 1 × 33 0 × 32 1 × 31 2 × 30
8
2 × 3 2 × 3 194 194, 8 10
9
1
2
Дробная часть

37. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Ответы
1. Перевести числа из различных систем счисления в десятичную:
Целая часть
в)
311, 02 4
Дробная часть
3
1 1
0 2
3
1 1
0 2
2
1 0
1 2
1
3 × 4 1 × 4 1 × 4 0 × 4 2 × 4 53 53,125 10
8
2
1
0
1
2

38. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Ответы
1. Перевести числа из различных систем счисления в десятичную:
Целая часть
г)
7
0 3
1 5
7
0 3
1 5
2
1 0
1 2
1
703,15 8 7 × 8 0 × 8 3 × 8 1 × 8 5 × 8
2
1
0
Дробная часть
2
13
451
451, 203125 10
64

39. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Ответы
1. Перевести числа из различных систем счисления в десятичную:
Целая часть
д)
Дробная часть
A
F
F
2 3
10
15
15
2 3
2
1
0
1 2
AFF ,23 10 ×16 2 15 ×161 15 ×160 2 ×16 1 3 ×16 2
35
2815
2815,13671875
256

40. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Перевод чисел из 10-ой системы счисления в p-ую
Целая часть
1. Делим исходное число A на p
(основание новой системы
счисления) нацело и записываем в
качестве нового значения числа A
целую часть результата от деления.
2. Остаток от деления образует
соответствующую цифру в p-ой
системе счисления слева от
полученных ранее цифр в p-ой
записи числа .
3. Выполняем пункты 1. и 2. до тех пор,
пока число A не станет равным
нулю.
4. Выписываем ответ в виде
полученных остатков в обратном
порядке.
Дробная часть
1. Умножаем дробную часть исходного
числа A на p, целая часть
полученного произведения является
первой цифрой после запятой в
искомом числе (целая часть всегда
меньше p).
2. Дробную часть произведения снова
умножаем на p, целую часть
полученного числа заменяем на
цифру в p-ой системе счисления и
приписываем ее справа к результату.
3. Выполняем пункт 2. до тех пор, пока
дробная часть произведения не
станет равной нулю, или не
выделится период.

41. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Перевод чисел из 10-ой системы счисления в p-ую
123(10)=?(3)
0,375(10)=?(2)
A
123
41
13
4
1
0
| Остаток
|
0
|
2
|
1
|
1
|
1
|
Дробная
часть
0,375
0,75
0,5
0
|
|
|
|
|
|
123(10)=11120(3)
Целая
часть
0
1
1
0,375(10)=0,011(2)

42. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Примеры для самостоятельного решения
1. Перевести числа из десятичной системы счисления в заданную:
а)
216,75(10)=?(2)
б)
134,75(10)=?(3)
в)
98,5625(10)=?(8)
г)
19784(10)=?(9)
д)
1456,4375(10)=?(16)

43. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Ответы
1. Перевести числа из десятичной системы счисления в заданную:
Целая часть
а)
216,75(10)=11011000,11(2)
A
216
108
54
27
13
6
3
1
0
| Остаток
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
Дробная часть
Дробная
часть
0,75
0,5
0
|
|
|
|
|
Целая
часть
1
1

44. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Ответы
1. Перевести числа из десятичной системы счисления в заданную:
Целая часть
б)
134,75(10)=11222,(20)(3)
A
134
44
14
4
1
0
| Остаток
|
2
|
2
|
2
|
1
|
1
|
Дробная часть
Дробная
часть
0,75
0,25
0,75
0,25
|
|
|
|
|
|
Целая
часть
2
0
2
0

45. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Ответы
1. Перевести числа из десятичной системы счисления в заданную:
Целая часть
в)
98,5625(10)=142,44(8)
A
98
12
1
0
| Остаток
|
2
|
4
|
1
|
Дробная часть
Дробная
часть
0,5625
0,5
0
|
|
|
|
|
Целая
часть
4
4

46. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Ответы
1. Перевести числа из десятичной системы счисления в заданную:
Целая часть
г)
19784(10)=30122(9)
A
19784
2198
244
27
3
0
| Остаток
|
2
|
2
|
1
|
0
|
3
|

47. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Ответы
1. Перевести числа из десятичной системы счисления в заданную:
Целая часть
A
1456
91
5
0
д)
1456,4375(10)=5B0,7(16)
| Остаток
|
0
|
11 (B)
|
5
|
Дробная часть
Дробная
часть
0,4375
0
|
|
|
|
Целая
часть
7

48. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Перевод чисел между системами счисления с основанием 2, 8, 16
Десятичная
Двоичная
Восьмеричная
Шестнадцатеричная
Двоичная
0
000
0
0
0000
1
001
1
1
0001
2
010
2
2
0010
3
011
3
3
0011
4
100
4
4
0100
5
101
5
5
0101
6
110
6
6
0110
7
111
7
7
0111
8
001000
10
8
1000
9
001001
11
9
1001
10
001010
12
A
1010
11
001011
13
B
1011
12
001100
14
C
1100
13
001101
15
D
1101
14
001110
16
E
1110
15
001111
17
F
1111

49. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Перевод чисел между системами счисления с основанием 2, 8, 16
a)
110001(2)=[110][001](2)=61(8)
б)
110001(2)=[0011][0001] (2)=31(16)
в)
D3(16)=[1101][0011] (2)=11010011(2)
г)
D3(16)=[011][010][011] (2)=323(8)

50. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Примеры для самостоятельного решения
1. Представить числа в заданных системах счисления
Десятичная
Двоичная
Восьмеричная
Шестнадцатеричная
?
1000110111
?
?
?
?
703
?
?
?
?
4DA
?
110011101
?
?
?
?
145
?
?
?
?
3F7
?
101010111
?
?
?
?
547
?
?
?
?
A30
?
1111011
?
?
?
?
120
?
?
?
?
176

51. 1.3.2. Язык чисел (системы счисления)

1.3. Представление информации
1.3.2. Язык чисел (системы счисления)
Ответы
1. Представить числа в заданных системах счисления
Десятичная
Двоичная
Восьмеричная
Шестнадцатеричная
567
1000110111
1067
237
451
111000011
703
1C3
1242
10011011010
2332
4DA
413
110011101
635
19D
101
1100101
145
65
1015
1111110111
1767
3F7
343
101010111
527
157
359
101100111
547
167
2608
101000110000
5060
A30
123
1111011
173
7B
80
1010000
120
50
374
101110110
566
176

52. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Логика — наука, изучающая методы установления истинности или
ложности одних высказываний на основе истинности или ложности других
высказываний. В математической логике содержание рассуждений
отбрасывается, а используется только их форма и логическое значение.
Высказывания и высказательные формы
Высказыванием (суждением) называется повествовательное и утвердительное
предложение, о котором можно сказать в данный момент, что оно истинно или
ложно, но не то и другое одновременно.
Обозначаются высказывания буквами латинского алфавита A, B, C и т. д.
Истинность высказывания выражается через логические величины,
принимающие значения:
True — Истина — 1
False — Ложь — 0.
Высказывательной (пропозициональной) формой называется предложение,
содержащее хотя бы одну переменную и становящееся высказыванием при
подстановке хотя бы одного значения этой переменной.

53. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Логические функции
1
1
0
0
0
Математическая
функция
Предикат
1
Булева функция
Функция одной или нескольких переменных, область определения которой
задана множеством M, а область значений описывается множеством {0, 1}
называется предикатом.
Предикат, аргументы которого могут принимать только значения 0 или 1
(определены на множестве {0, 1}) называется булевой функцией.
Булевы функции задаются:
1) аналитически;
2) при помощи таблиц истинности.

54. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Основные логические операции
1. Логическое отрицание
X A
2. Логическое сложение (дизъюнкция)
X AÚ B
X AÚ B
или
X A B
3. Логическое умножение (конъюнкция)
X AÙ B
или
X A& B

55. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Логическое отрицание — логическая операция «НЕ»
X A
Отрицанием высказывания A называется операция, результат X которой
истинен, когда A ложно, и ложен, когда A истинно.
Таблица истинности
Диаграмма Венна
X A
X A
Изображение на
электронных схемах
Выход
Вход A
1
X A

56. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Логическое сложение — логическая операция «ИЛИ»
X A Ú B, X A B
Логическое сложение (дизъюнкция) это операция над двумя переменными
(A и B), результат X которой истинен, если хотя бы одна из переменных
истинна, и ложен, когда обе переменные ложны.
Таблица истинности
Диаграмма Венна
A
B
Изображение на
электронных схемах
Вход A
Вход B
1 Выход
X AÚ B

57. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Логическое умножение — логическая операция «И»
X A Ù B, X A & B
Логическое умножение (конъюнкция) это операция над двумя
переменными (A и B), результат X которой истинен, только если обе
переменные истинны, и ложен, когда хотя бы одна из переменных
является ложной.
Таблица истинности
А
B
X AÙ B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Диаграмма Венна
A
B
Изображение на
электронных схемах
Вход A
Вход B
& Выход
X AÙ B

58. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Примеры для самостоятельного решения
1. Для нижеприведенных логических функций составить а) таблицу
истинности, б) диаграмму Венна, в) электронную схему:
а)
X AÙ BÚC
б)
X AÙ BÚ AÙC
в)
г)
д)
X AÚ B ÙC
X AÙ BÚ AÙC Ú AÙ B
X AÙ AÚ B Ú C

59. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Составить таблицу истинности, диаграмму Венна, электронную схему
Диаграмма Венна
а)
X AÙ BÚC
X AÙ BÚC
AÙ B
Таблица истинности
A B C
AÙ B X
0 0 0
0
0
0 0 1
0
1
0 1 0
0
0
0 1 1
0
1
1 0 0
0
0
1 0 1
0
1
1 1 0
1
1
1 1 1
1
1
Электронная схема
A
B
C
&
AÙ B
1
X AÙ BÚC

60. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Составить таблицу истинности, диаграмму Венна, электронную схему
Диаграмма Венна
б)
X AÙ BÚ AÙC
AÙ B
AÙ B
AÙC
X AÙ BÚ AÙC
Таблица истинности
A B C
AÙ B AÙ B AÙC X
0 0 0
0
1
0
1
0 0 1
0
1
0
1
0 1 0
0
1
0
1
0 1 1
0
1
0
1
1 0 0
0
1
0
1
1 0 1
0
1
1
1
1 1 0
1
0
0
0
1 1 1
1
0
1
1

61. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Составить таблицу истинности, диаграмму Венна, электронную схему
б)
X AÙ BÚ AÙC
Электронная схема
A
B
C
&
&
AÙ B
AÙC
1
AÙ B
1
X AÙ BÚ AÙC

62. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Составить таблицу истинности, диаграмму Венна, электронную схему
в)
X AÚ B ÙC
Таблица истинности
A B C A B AÚ B AÚ B C X
0 0 0 1 1
1
0
1 0
0 0 1 1 1
1
0
0 0
0 1 0 1 0
1
0
1 0
0 1 1 1 0
1
0
0 0
1 0 0 0 1
1
0
1 0
1 0 1 0 1
1
0
0 0
1 1 0 0 0
0
1
1 1
1 1 1 0 0
0
1
0 0

63. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Составить таблицу истинности, диаграмму Венна, электронную схему
в)
A
X AÚ B ÙC
Диаграмма Венна
B
AÚ B
X AÚ B ÙC
AÚ B
C

64. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Составить таблицу истинности, диаграмму Венна, электронную схему
в)
X AÚ B ÙC
Электронная схема
A
B
C
1
1
1
A
B
C
1
AÚ B
1
AÚ B
&
X AÚ B ÙC

65. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Составить таблицу истинности, диаграмму Венна, электронную схему
г)
X AÙ BÚ AÙC Ú AÙ B
Таблица истинности
A B C A AÙ B
AÙC AÙ B AÙ BÚ AÙC X
0 0 0 1
0
0
0
0
0
0 0 1 1
0
0
0
0
0
0 1 0 1
0
0
1
0
1
0 1 1 1
0
0
1
0
1
1 0 0 0
0
0
0
0
0
1 0 1 0
0
1
0
1
1
1 1 0 0
1
0
0
1
1
1 1 1 0
1
1
0
1
1

66. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Составить таблицу истинности, диаграмму Венна, электронную схему
г)
AÙ B
A
X AÙ BÚ AÙC Ú AÙ B
AÙC
AÙ B
Диаграмма Венна
AÙ BÚ AÙC
X AÙ BÚ AÙC Ú AÙ B

67. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Составить таблицу истинности, диаграмму Венна, электронную схему
г)
X AÙ BÚ AÙC Ú AÙ B
Электронная схема
C
A
B
&
AÙC
&
AÙ B
1
A
1
&
AÙ B
X AÙ BÚ AÙC Ú AÙ B

68. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Составить таблицу истинности, диаграмму Венна, электронную схему
Диаграмма Венна
X AÙ AÚ B Ú C
д)
AÚ B Ú C
AÚ B
X AÙ AÚ B Ú C
Таблица истинности
A B C
AÚ B AÚ B Ú C X
0 0 0
0
0
0
0 0 1
0
1
0
0 1 0
1
1
0
0 1 1
1
1
0
1 0 0
1
1
1
1 0 1
1
1
1
1 1 0
1
1
1
1 1 1
1
1
1
Электронная схема
A
B
C
&
1
AÚ B ÚC
X A Ù AÚ B Ú C

69. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Аксиомы алгебры логики

70. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Свойства дизъюнкции и конъюнкции

71. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Законы алгебры логики

72. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Примеры для самостоятельного решения
1. Используя аксиомы, свойства и законы алгебры логики упростить
выражения:
а)
X AÙ BÚ AÙC
X AÚ B ÙC
в) X A Ù B Ú A Ù C Ú A Ù B
г) X A Ù A Ú B Ú C
б)

73. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Используя аксиомы, свойства и законы алгебры логики упростить
выражения:
а)
X AÙ BÚ AÙC AÚ BÚ AÙC
A Ù 1 Ú A Ù C Ú B AС
Ù СÚ
AÚ
CÙ BÚ
AС
Ù
A
Ú С
Ù
A
Ú C
Ù B
Ú
AС
Ù
A
Ú С
Ù
A
Ú С
Ù
A
Ú C
Ù B
Ú
AС
Ù
A
Ú C
Ù
A
Ú С
Ù
A
Ú С
Ù B
Ú
С Ù AÚ A Ú AÙ C ÚC Ú B
C Ù1Ú A Ù1Ú B C Ú A Ú B

74. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Используя аксиомы, свойства и законы алгебры логики упростить
выражения:
б)
в)
X AÚ B ÙC AÙ B ÙC AÙ B ÙC
1Ù B Ú A Ù C B Ú A Ù C
г)
X AÙ B Ú AÙC Ú AÙ B AÚ A Ù B Ú AÙC
X AÙ AÚ B Ú C A

75. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Виды логических электронных схем
ЭВМ
Электронные схемы
Комбинированные
Комбинационные
схемы — схемы,
выходной сигнал в
которых зависит
только от состояния
входов (наличия
входных сигналов) в
каждый момент
времени.
Накапливающие
Накапливающие
схемы — схемы,
выходной сигнал в
которых зависит как
от входных
сигналов, так и от
состояния схемы в
предыдущие
моменты времени.

76. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Построение логических электронных схем
Задача: при заданных входных переменных и известной выходной
функции необходимо синтезировать логическое устройство,
выполняющее эту функцию
Ограничение: логическое устройство должно состоять из
ограниченного базиса элементов
Критерии оптимальности:
1. Минимум аппаратуры.
2. Минимум типов применяемых элементов.
3. Максимум надежности.

77. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Этапы построения логических электронных схем
1. Составление математической модели (системы
логических уравнений), отображающие
происходящие в схеме процессы.
2. Анализ логических уравнений и получение
минимальной формы для каждой из них в заданном
базисе.
3. Переход от логических уравнений к логической
(структурной) схеме посредством применения
логических операторов.

78. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Обозначения логических функций на электронных схемах
Элемент НЕ
X
1
X
Элемент ИЛИ-НЕ
X1
X2
1
X1 Ú X 2

79. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Примеры для самостоятельного решения
1. Нарисовать электронные схемы упрощенных функций на базе элементов
НЕ, И, ИЛИ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Сравнить со схемами изображенными ранее для
неупрощенных.
а)
X AÙ BÚ AÙC
X AÚ B ÙC
в) X A Ù B Ú A Ù C Ú A Ù B
г) X A Ù A Ú B Ú C
б)

80. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Нарисовать электронные схемы упрощенных функций на базе элементов НЕ, И,
ИЛИ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Сравнить со схемами изображенными ранее для
неупрощенных функций.
а)
X AÙ BÚ AÙC
X AÙ BÚ AÙC
C Ú AÚ B
Электронная схема
Электронная схема
A
B
C
&
&
1
1
A
1
B
1
X
C
1
X

81. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Нарисовать электронные схемы упрощенных функций на базе элементов НЕ, И,
ИЛИ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Сравнить со схемами изображенными ранее для
неупрощенных функций.
б)
X AÚ B ÙC AÙ B ÙC
X AÚ B ÙC
Электронная схема
Электронная схема
A
B
1
1
1
1
A
&
X
1
X
B
C
C
&
1

82. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Нарисовать электронные схемы упрощенных функций на базе элементов НЕ, И,
ИЛИ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Сравнить со схемами изображенными ранее для
неупрощенных функций.
в)
C
X AÙ BÚ AÙC Ú AÙ B
X AÙ BÚ AÙC Ú AÙ B
Электронная схема
&
1
BÚ AÙC
Электронная схема
A
B
X
&
A
C
B
1
&
&
1
X

83. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Нарисовать электронные схемы упрощенных функций на базе элементов НЕ, И,
ИЛИ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Сравнить со схемами изображенными ранее для
неупрощенных функций.
г)
X AÙ AÚ B Ú C
Электронная схема
A
B
C
&
1
X
X A Ù AÚ B Ú C A
Электронная схема
A
C
B
X

84. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Сложные высказывания и сложные логические функции
Сколь угодно сложная логическая функция может быть представлена в
виде:
f X1, X 2 , K , X n
где X 1 , X 2 , K , X n — логические переменные,
принимающие значения 0 или 1.
Логические
переменные
Действительные
Переменная X
действительна, если
значение функции, куда она
входит, изменяется при
изменении значения этой
переменной.
Фиктивные
Переменная X фиктивна,
если значение функции,
куда она входит, не
изменяется при изменении
значения этой
переменной.

85. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Пример табличного задания логической функции трех переменных
X1
0
0
0
0
1
1
1
1
X2
0
0
1
1
0
0
1
1
f X1, X 2 , X 3
0
1
0
1
1
1
1
1
X3
0
1
0
1
0
1
0
1
Логические
переменные
Действительные
X1 и X 3
Фиктивные
X2

86. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Логический базис
Булевы функции могут задаваться аналитически, т. е. в виде формул. При
этом сложные логические функции можно выражать через более простые
логические функции.
Минимальный набор простых логических функций, посредством которого
может быть представлена любая функция алгебры логики (ФАЛ), называется
логическим базисом или полной системой.
Базис минимален, если удаление хотя бы одной функции превращает
систему ФАЛ в неполную.
Минимальные базисы
Базис для практического
использования
И, НЕ
ИЛИ, НЕ
И, ИЛИ, НЕ

87. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Конъюнктивные и дизъюнктивные термы
Xn
Любая таблично заданная логическая функция f X 1 , X 2 , K , может
выражаться через набор конъюнктивных и дизъюнктивных термов или
импликант:
f X 1 , X 2 , K , X n F1 Ú F2 Ú K Ú Fm F1 Ù F 2 Ù K Ù F k
где Fi — конъюнктивный терм; F j — дизъюнктивный терм.
Конъюнктивный терм — это
логическое произведение
переменных и их отрицаний.
Дизъюнктивный терм — это
логическая сумма переменных и
их отрицаний.
Если терм ФАЛ содержит полный
набор переменных, связанных
операцией конъюнкции, он носит
название минтерм
Термы ФАЛ, состоящие из полного
набора переменных, связанных
операциями дизъюнкции,
называются макстермами

88. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Конъюнктивные и дизъюнктивные нормальные формы
Конъюнктивная нормальная
форма (КНФ) — это произведение
дизъюнкивных термов.
Дизъюнктивная нормальная
форма (ДНФ) — это сумма
конъюнктивных термов
ДНФ и КНФ, состоящие только из минтерм и макстерм носят названия
совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ) и,
соответственно, совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ).

89. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Алгоритм получения СДНФ из таблицы истинности
1. Выбрать из таблицы набор переменных X 1 , X 2 , K , X n для которого
справедливо соотношение
f X 1 , X 2 , K , X n 1.
2. Сформировать из этого набора переменных и их отрицаний минтерм, т. е.
произведение переменных или их отрицаний: если переменная набора имеет
нулевое значение, то она берется с отрицанием; переменные, имеющие единичные
значения в данном наборе не инвертируются.
3. Повторить пункты 1 и 2 для всех других наборов таблицы, где логическая функция
равна 1.
4. Построить СДНФ путем логического суммирования полученных минтермов.
Таблица истинности функции
X1
X2
X3
f X1, X 2 , X 3
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
СДНФ:
f 0,0,0 , 0,1,0 , 1,0,0 , 1,0,1 , 1,1,0
Ú X1 Ù X 2 Ù X 3 Ú
Ú X1 Ù X 2 Ù X 3 Ú
Ú X1 Ù X 2 Ù X 3 Ú
Ú X 1 Ù X 2 Ù X 3 .
X1 Ù X 2 Ù X 3 Ú

90. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Алгоритм получения СКНФ из таблицы истинности
1. Выбрать из таблицы набор переменных X 1 , X 2 , K , X n для которого
справедливо соотношение f X 1 , X 2 , K , X n 0 .
2. Сформировать макстерм, т. е. дизъюнктивный набор переменных и их
отрицаний: если переменная данного набора равна 0, то она включается в
сумму без отрицания, а при равенстве 1 она инвертируется.
3. Повторить пункты 1 и 2 для всех наборов переменных, где значение
функции равно 0.
4. Построить СКНФ из полученных дизъюнкций переменных и их отрицаний
путем логического умножения.
СКНФ:
Таблица истинности функции
X1
X2
X3
f X1, X 2 , X 3
f 0,0,1 , 0,1,1 , 1,1,1
0
0
0
1
0
0
1
0
X1 Ú X 2 Ú X 3 Ù
0
1
0
1
0
1
1
0
Ù X1 Ú X 2 Ú X 3 Ù
1
0
0
1
1
0
1
1
Ù X1 Ú X 2 Ú X 3 .
1
1
0
1
1
1
1
0

91. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Примеры для самостоятельного решения
1. Для заданных функций построить СДНФ и СКНФ:
а)
X AÙ BÚC
б)
X AÙ BÚ AÙC
в)
г)
д)
X AÚ B ÙC
X AÙ BÚ AÙC Ú AÙ B
X AÙ AÚ B Ú C

92. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Для заданных функций построить СДНФ и СКНФ:
а)
X AÙ BÚC
Таблица
истинности
A B C
X
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
СДНФ:
СКНФ:
X AÙ B ÙC Ú
X AÚ B Ú C Ù
ÚAÙ B ÙC Ú
Ù AÚ B Ú C Ù
ÚAÙ B ÙC Ú
ÚAÙ B ÙC Ú
ÚAÙ B ÙC
Ù AÚ B Ú C

93. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Для заданных функций построить СДНФ и СКНФ:
б)
X AÙ BÚ AÙC
Таблица
истинности
A B C
X
0 0 0 1
0 0 1 1
СДНФ:
X AÙ B ÙC Ú
ÚAÙ B ÙC Ú
0 1 0 1
ÚAÙ B ÙC Ú
0 1 1 1
ÚAÙ B ÙC Ú
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
ÚAÙ B ÙC Ú
ÚAÙ B ÙC Ú
ÚAÙ B ÙC
СКНФ:
X AÚ B Ú C

94. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Для заданных функций построить СДНФ и СКНФ:
в)
X AÚ B ÙC
Таблица
истинности
A B C
X
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
СКНФ:
X AÚ B Ú C Ù
Ù AÚ B Ú C Ù
Ù AÚ B Ú C Ù
Ù AÚ B Ú C Ù
Ù AÚ B Ú C Ù
Ù AÚ B Ú C
Ù AÚ B Ú C Ù
СДНФ:
X AÙ B ÙC

95. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Для заданных функций построить СДНФ и СКНФ:
г)
X AÙ BÚ AÙC Ú AÙ B
Таблица
истинности
A B C
X
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
СДНФ:
X AÙ B ÙC Ú
ÚAÙ B ÙC Ú
ÚAÙ B ÙC Ú
ÚAÙ B ÙC Ú
ÚAÙ B ÙC
СКНФ:
X AÚ B Ú C Ù
Ù AÚ B Ú C
Ù AÚ B Ú C Ù

96. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Ответы
1. Для заданных функций построить СДНФ и СКНФ:
д)
X A Ù AÚ B Ú C
Таблица
истинности
A B C
X
0 0 0 0
0 0 1 0
СДНФ:
X AÙ B ÙC Ú
ÚAÙ B ÙC Ú
0 1 0 0
ÚAÙ B ÙC Ú
0 1 1 0
ÚAÙ B ÙC
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
СКНФ:
X AÚ B ÚC Ù
Ù AÚ B Ú C Ù
Ù AÚ B Ú C
Ù AÚ B Ú C Ù

97. 1.3.3. Язык логики

1.3. Представление информации
1.3.3. Язык логики
Временные булевы функции
Временная булева функция (ВБФ) это логическая функция
y j X , X , K , X , t , принимающая значение
1
2
n
{ 0, 1}
при
0 £ t £ s 1 , где s — количество интервалов автоматного времени.
Любая периодическая временная булева функция может быть
представлена в аналитическом виде следующим образом:
y j X 1 , X 2 , K , X n , t j0 t0 Ú j1t1 Ú K Ú j s 1t s 1
ji — конъюнктивный терм (или их дизъюнкция) от переменных
X 1 , X 2 , K , X n ; ti — вспомогательная функция, принимающая
значение 1 в момент времени ti и 0 во всех других случаях.
где
Если ВБФ зависит еще и от своих предшествующих значений, то она
называется рекуррентной булевой функцией (РБФ).