Квантовая теория. Свойства операторов и принцип неопределенности Гейзенберга

1. Квантовая теория

Семестр I
Журавлев В.М.

2. Лекция IV

Свойства операторов и
принцип неопределенности
Гейзенберга

3.

Собственной функцией Ψq,
соответствующей
собственному значению q
оператора Q, называется
функция, являющаяся
решением уравнения
Qˆ q
q
q

4. Свойства операторов, изображающих динамические переменные

Какие операторы допустимы для
изображения переменных?

5.

I. Свойства операторов
I.1 Линейность операторов.
Любая динамическая переменная
изображается линейным
оператором Фредгольма
Q( x' , x' ) = q q ( x' , t ) q* ( x' , t )
q Q
Qˆ (a 1 b 2 ) = aQˆ 1 bQˆ 2 .
1 , 2 Η и a, b C
1
2

6. I. Свойства операторов

I.2 Самосопряженность операторов
Вещественная динамическая переменная
классической механики в квантовой
механике изображается
самосопряженным или эрмитовым
оператором!
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(Q , ) ( , Q ) или Q Q

7.

I.2 Самосопряженность
операторов
*
Q( x' , x' ) = q q ( x' , t ) q ( x' , t )
3
q Q
Поскольку все значения q – вещественные
*
q=q , то ядро оператора - эрмитово:
Q ( x, x' ) = q ( x, t ) q ( x' , t ) =
*
*
q
q Q
q q ( x, t ) ( x' , t ) = Q( x' , x)
q Q
*
q
4

8.

II. Свойства собственных функций
самосопряженных операторов
II.1 Вещественность собственных
значений
Собственные значения эрмитовых
операторов вещественны.
q q*
5

9.

II.1 Вещественность собственных
значений
Qˆ q q q
*
ˆ
ˆ
Q q , q (Q q ) q dx q * q , q q*,
Qˆ , , Qˆ
* ˆ
ˆ
q , Q q q Q q dx q q , q q,
q
q
q
q
q q*
6

10.

II. Свойства собственных функций
самосопряженных операторов
II.2 Ортогональность
Собственные функции эрмитовых
операторов ортогональны:
Qˆ q q q
, dx
q
*
q
q'
q'
qq '
,
, dx (q q' ).
q
*
q
q'
q'
7

11.

II. Свойства собственных функций
самосопряженных операторов
II.2 Ортогональность
Qˆ q q q , Qˆ q ' q' q '
, Qˆ q' , ,
Qˆ , , q , ,0, q q'
q
q'
, Qˆ Qˆ ,
(q ' q ) , , Qˆ Qˆ , 0
q
q'
q
q
q
q'
q'
q
q'
q'
q
q'
q
q'
q
q'
q
q'

12.

II. Свойства собственных функций
самосопряженных операторов
II.3 Собственные функции
самосопряженных операторов –
представляют состояния с
фиксированным
значением соответствующей
динамической переменной
ˆ
Q ( q , Q q ) q
8

13.

Принцип
неопределенности
Когда измерения совместны?

14.

III. Принцип неопределенности
Пусть эрмитовы операторы Aˆ ,Bˆ , Cˆ
связаны соотношением:
[ Aˆ ,Bˆ ] iCˆ
9
Тогда имеет место следующее соотношение:
2
C
( Aˆ A ) ( Bˆ B )
4
2
2
10

15.

III. Принцип неопределенности
I ( ) | Aˆ i Bˆ | dxdydz
2
V
* ˆ
ˆ
ˆ
( A i B ) ( A i Bˆ )dxdydz
V
* ˆ
2
* ˆ
ˆ
ˆ
( A ) A dxdydz ( B ) B dxdydz
V
V
* ˆ
* ˆ
ˆ
ˆ
i ( B ) A i ( A ) B dxdydz
V
0
2
11

16.

III. Принцип неопределенности
2
2
ˆ
A dxdydz A ,
*
V
2
2
ˆ
B dxdydz B
*
V
i [ Bˆ , Aˆ ] dxdydz
V
*
Cˆ dxdydz C
V
*
12

17.

III. Принцип неопределенности
I ( ) 2 0
2 4 0
2
C
A B
4
2
Поскольку:
2
13
[ Aˆ A1̂,Bˆ B1̂] iCˆ
то:
2
C
( Aˆ A ) ( Bˆ B )
4
2
2
14

18.

III. Принцип неопределенности
Пример
Операторы координаты и импульса
p̂ i
x
x̂ x
[pˆ , xˆ ] i x i x
x
x
i
15

19.

III. Принцип неопределенности
Пример
Операторы координаты и импульса
[pˆ , xˆ ] i
16
2
( pˆ p ) ( xˆ x )
4
2
2
17

20.

Свойства
коммутирующих
операторов
Что означает коммутативность?

21.

Теорема 1.
Два произвольных эрмитовых оператора
A и B обладают полным набором общих
собственных функций тогда и только
тогда, когда их коммутатор равен нулю:
[ Aˆ , Bˆ ] 0
18

22.

Теорема I. Доказательство
Прямое утверждение. Пусть операторы
Обладают полным набором общих
собственных функций:
Aˆ k = ak k , Bˆ k = bk k , k = 1,
Тогда:
( Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ ) k = (ak bk bk ak ) k = 0

23.

Теорема I. Доказательство
Поскольку это соотношение
выполняется для всех функций базиса ψk,
то отсюда следует, что коммутатор
равен нулю
( Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ ) = [ Aˆ , Bˆ ] 0

24.

Теорема I. Доказательство
Обратное утверждение. Пусть операторы
коммутируют:
( Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ ) = [ Aˆ , Bˆ ] 0
Тогда пусть Ψk - собственные функции
оператора A:
Aˆ k = ak k , k = 1,2

25.

Теорема I. Доказательство
Имеем:
Bˆ Aˆ k = ak Bˆ k
Тогда функция Φk =BΨk удовлетворяет
уравнению:
Aˆ k = ak k , k = 1,2

26.

Теорема I. Доказательство
Следовательно :
k = k k
Отсюда:
Bˆ k = k k , k = 1,2
Следовательно собственные функции
оператора A являются собственными
функциями оператора B:

27.

Теорема 2.
Два произвольных эрмитовых оператора
A и B обладают хотя бы одной общей
собственной функцией тогда и только
тогда, когда их коммутатор можно
представить в следующем виде:
[ Aˆ , Bˆ ] Dˆ Bˆ
19

28.

Теорема II. Доказательство
Прямое утверждение. Пусть операторы
обладают одной общей собственной
функцией Ψ0:
Aˆ 0 = a0 0 , Bˆ 0 = 0
Тогда:
( Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ ) 0 = 0

29.

Теорема II. Доказательство
Поскольку любой оператор вида
Cˆ Dˆ Bˆ
действует так, что
Cˆ 0 Dˆ Bˆ 0 0
То всегда найдется оператор D такой что
( Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ ) = [ Aˆ , Bˆ ] Dˆ Bˆ

30.

Теорема II. Доказательство
Обратное утверждение. Пусть операторы
удовлетворяют соотношению:
[ Aˆ , Bˆ ] Dˆ Bˆ
20
Тогда пусть Ψ0 - собственная функция
оператора B:
Bˆ 0 = 0
21

31.

Теорема II. Доказательство
Из (20) имеем:
Aˆ Bˆ = Bˆ Aˆ Dˆ Bˆ
а из (21) получаем:
Aˆ Bˆ 0 = Bˆ Aˆ 0 Dˆ Bˆ 0 Bˆ Aˆ 0 0
Следовательно функция Φ0 =AΨ0 удовлетворяет
уравнению:
Bˆ 0 = 0

32.

Теорема II. Доказательство
Следовательно :
0 = k 0
Отсюда:
Aˆ 0 = a0 0
Следовательно собственная функция Ψ0
оператора B является собственной
функцией оператора A.

33.

Теорема II. Следствие
Из (20) имеем:
Bˆ Aˆ = Aˆ Bˆ Dˆ Bˆ
Пусть
Aˆ k = ak k , k = 1,2
Тогда:
Bˆ Aˆ k = Aˆ Bˆ k Dˆ Bˆ k ak Bˆ k

34.

Теорема II. Следствие
Тогда функции Φk =BΨk являются
собственными функциями оператора A1:
ˆ
ˆ
ˆ
A1 A D
22
ˆ D
ˆ ) = a , k = 1,2
(A
k
k
k
ˆ =0
k B
k
23

35.

Пример
Метод Дарбу

36.

Пример.
Рассмотрим следующие операторы:
ˆ
ˆ
A
,
B
(
x
)
2
x
x
24
2
2
Вычислим коммутатор:
Cˆ [ Aˆ , Bˆ ]

37.

Пример.
[ Aˆ , Bˆ ] Aˆ ( Bˆ ) Bˆ ( Aˆ )
2
2 2
x
2
2
( x) ( x) 2
x
x
x
2
2
( x) 2 2
3
x
x
x
3
2
2
2
2
( x) 2 2
3
x
x
x
3
2
2
2
( x) 2
x
x
2
2
( x) 2
x
x
2
При каких условиях коммутатор равен
[ Aˆ , Bˆ ] Dˆ Bˆ ?
25

38.

Пример.
[ Aˆ , Bˆ ] Aˆ ( Bˆ ) Bˆ ( Aˆ )
2
2 2
x
2
2
( x) ( x) 2
x
x
x
3
2
2
2
2
( x) 2 2
3
x
x
x
3
2
2
2
2
( x) 2 2
3
x
x
x
2
2
( x) 2
x
x
2
2
( x) 2
x
x
2
[ Aˆ , Bˆ ] 2
( x) 2
x x
x
2
2
25

39.

Пример.
Ответ:
коммутатор равен
[ Aˆ , Bˆ ] Dˆ Bˆ
если хотя бы одна собственная
функция оператора A является
собственной и для оператора B!

40.

Пример.
Найдем собственные функции
оператора A
2
ˆ
A
p
2
x
2
2
(k , x) ae
kx
be ,
kx
p k
26
27

41.

Пример.
0
ˆ
B 0
( x) 0 0
x
28

42.

Пример.
Отсюда находим:
ln 0
1 0
( x)
0 x
x
29
Или:
1 0
ae be
( x)
k0 k0 x
k0 x
0 x
ae be
k0 x
k0 x
30

43.

Пример.
Результат: если
1 0
ae be
( x)
k0 k0 x
0 x
ae be k0 x
k0 x
k0 x
30
Операторы A и B имеют одну общую
собственную функцию и поэтому
существует оператор D такой, что
[ Aˆ , Bˆ ] Dˆ Bˆ

44.

Пример.
Вычислим оператор D.
Будем искать его в виде оператора
умножения на функцию
ˆ
D v( x)
31

45.

Пример.
Тогда
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
[ A, B] DB 2
( x) 2
x x
x
v( x)
( x) v( x)
v( x) ( x)
x
x
2
Отсюда
2
v( x) 2
, v( x) ( x)
x
x 2
2
2
32

46.

Пример.
Отсюда следует:
I
v( x) 2
,
x
2
2 ( x) 0
2
x
x
33
2
II
34
k0 x
k0 x
ae
be
2
2
,
v( x) 2
2 k0 k0 x
k0 x
x
x ae be
35

47.

Пример.
Окончательно:
k0 x
k0 x
ae
be
2
2
v( x) 2
2 k0 k0 x
k0 x
x
x ae be
k0 x
k0 x
ae be
2 2
2 k0 1
k0 x
k0 x
ae be
v( x) 2 k
2
2
0
ae
4ab
2 2 k 2
,
0
2
k0 x
k0 x 2
ae be
2
4ab
k0 x
be
k0 x 2
,
36

48.

Пример.
Aˆ1 Aˆ Dˆ
2
2
4ab
2
2
2 2
ˆ
A1
v( x)
2 k0
,
2
2
2
x
x
ae k0 x be k0 x
37

49.

Пример.
Aˆ1 Aˆ Dˆ
Являются функции:
(k , x) ( x) (k , x) ( x) ae kx be kx ,
x
x
38

50.

Пример.
Окончательно, функции
kx
(k , x) ( x) ae be kx
x
39
k0 x
k0 x
k0 x
k0 x
ae be
ae be
kx
kx
ae k k0 k x
,
be k k0 k0 x
k0 x
k
x
0
0
ae
be
ae
be
Являются собственными функциями A1
2
4ab
2
2 2
2
2
k
k,
0
2
2
x
ae k0 x be k0 x
40

51.

Следующая лекция
Стационарное уравнение
Шредингера

52.

Следующая лекция:
1. Стационарное уравнение
Шредингера
2. Граничные условия для
стационарного уравнения
Шредингера
3. Одномерное движение