Старая квантовая теория

1.

Заключительное слово о старой квантовой теории
Старая квантовая теория – эклектичный набор рецептов, специфический для каждой
конкретной задачи. Не на все вопросы можно найти ответ. Например: в какой момент времени
происходит излучение фотона при переходе электрона между разными орбитами?
Обсудить проблему измерения координат у макроскопической материальной точки и у электрона, вращающегося
вокруг ядра.

2.

Связь операторов с наблюдаемыми величинами
Оператор – правило соответствия между функциональными множествами.
Функция – правило соответствия между числовыми множествами.
Постулат.
Всякой наблюдаемой в эксперименте (физической) величине в квантовой механике
сопоставляется оператор.
Рассмотрим физическую величину f, которая принимает дискретные значения. Пример:
возможные значения энергии атома водорода. Пусть этой величине соответствует оператор
. Напишемfˆуравнение на собственные значения этого оператора
fˆ n f n n
Собственные значения f являются значениями физической величины f, измеряемыми в
n
эксперименте.

3.

Требования к операторам, соответствующим наблюдаемым величинам
1. «Квантовомеханические» операторы
определяют правило соответствия между
множествами комплексных функций, т.е.
C , * , * , C C*
2. «Квантовомеханические» операторы должны быть линейными, т.е.
fˆ C1 1 C2 2 C1 fˆ 1 C2 fˆ 2
Задачи: проверить на линейность
Оператор чётности Iˆ x x
ˆ x c cx ,
Оператор изменения масштаба аргумента M
c
Оператор сдвига аргумента Tˆa x x a
Оператор комплексного сопряжения K̂ x * x
c c* 0

4.

Оператор чётности
Iˆ C1 1 x C2 2 x C1 1 x C2 2 x C1Iˆ 1 x C2 Iˆ 2 x
Операторы изменения масштаба и сдвига также являются линейными

5.

Оператор комплексного сопряжения
Kˆ C1 1 C2 2 C1* 1* C2* *2 C1* Kˆ 1 C2* Kˆ 2
Оператор комплексного сопряжения является антилинейным оператором

6.

Эрмитово сопряжённый оператор
Транспонированный оператор
Рассмотрим «скалярное произведение в гильбертовом пространстве» (не пугайтесь,
гильбертово пространство – это «научное» название множества функций, для
которых существует интеграл от квадрата модуля этих функций)
*
ˆ x
dx
x
f
Предположим, что мы каким-то образом
равенство
нашли такой оператор
ĝ, что выполняется
ˆ x dx gˆ * x x
dx
x
f
*
Тогда оператор
ĝ называется транспонированным к оператору fˆ
gˆ fˆ T

7.

Задачи: найти транспонированные операторы для
Оператора чётности Iˆ x x
ˆ x c cx ,
Оператора изменения масштаба аргумента M
c
Оператора сдвига аргумента Tˆa x x a
Оператора производной
d
dx
c c* 0

8.

Транспонирование оператора чётности
Iˆ x x
*
ˆ x dx * x x dx * x x dx Iˆ * x x
dx
x
I
Транспонированный оператор чётности
IˆT Iˆ
Алгебраическое свойство оператора чётности
Iˆ 1IˆT Iˆ 1Iˆ 1 Iˆ 1 IˆT

9.

Транспонирование оператора изменения масштаба аргумента
Mˆ c x c cx , c c* 0
1
*
c cx
d
c
c
*
ˆ x dx * x
dx
x
M
c
Или
*
ˆ x dx Mˆ * x x
dx
x
M
c
1/ c
Транспонированный оператор изменения масштаба аргумента
Mˆ cT Mˆ 1/ c , Mˆ cT Mˆ c 1

10.

Транспонирование оператора сдвига аргумента
Tˆa x x a
ˆ x dx x x a dx * x a x
dx
x
T
a
*
*
Или
ˆ x dx Tˆ * x x
dx
x
T
a
a
*
Транспонированный оператор сдвига аргумента
TˆaT Tˆ a , TˆaT Tˆa 1

11.

Транспонирование оператора производной
*
d
x
d
x
*
*
dx x dx x x dx dx x
Вспоминаем, что мы работаем на множестве квадратично интегрируемых функций
x x
*
0
Поэтому
T
d
d
dx
dx
Задача для самостоятельного решения. Найти оператор, транспонированный к
T
d
2
2
2
?,
r
x
y
z
dr

12.

Определение эрмитова сопряжение
fˆ † fˆ T
*
Эрмитово сопрячь следующие операторы
Оператор чётности
Iˆ x x
ˆ x c cx ,
Оператор изменения масштаба аргумента M
c
Оператор сдвига аргумента
Оператор
c c* 0
Tˆa x x a
1 d
i dx
Операторы, отвечающие наблюдаемым величинам, должны быть эрмитовыми
ˆf † fˆ

13.

Задача для самостоятельного решения
Найти оператор, эрмитово сопряжённый произведению двух эрмитовых операторов
fˆ fˆ , gˆ gˆ ,
†
†
?
ˆˆ
fg
†

14.

Функция, в которой в качестве аргумента фигурирует оператор
F fˆ ?
Определение
Предположим, что функцию F при x=0 можно разложить в ряд Тейлора
F x
n 0
F (n) 0
n!
x , F
n
(n)
0
Тогда
(n)
F
0 ˆ n
ˆ
F f
f
n!
n 0
d nF x
dx n
x 0

15.

Оператор сдвига, как функция оператора производной
Оператор сдвига
(n) x
n 0
n!
Tˆa x x a
n
1
d
n
a
a
x
n 0 n! dx
Пояснение
(2)
d2
d d
x
a
a
x
a a x
2
dx
dx dx
2
2
Какой функции равен ряд в квадратных скобках?

16.

Ряд в квадратных скобках
1 d n
d
ˆ
Ta
a
exp a
n
!
dx
dx
n 0
Задача. Найти явный вид оператора
exp iIˆ ?
Указание. Воспользоваться формулой Эйлера для экспоненты и равенством
Iˆ2 1

17.

Оператор сдвига, как функция оператора производной.
Оператор импульса
Выше было показано, что
1 d
эрмитов оператор
i dx
Перепишем оператор сдвига следующим образом
ia d
ˆ
Ta exp
i
dx
Размерность оператора в квадратных скобках?

18.

Размерность оператора в квадратных скобках
энергия X время = расстояние X импульс
d
i dx импульс
Следствие однородности пространства (т.е., инвариантности законов движения
относительно сдвигов системы координат) – закон сохранения импульса.
Постулируем оператор, соответствующий импульсу частицы (далее оператор импульса)
pˆ
d
,
i dx
pˆ pˆ x , pˆ y , pˆ z
Оператор сдвига
ia pˆ
ˆ
Ta exp
i

19.

Задачи: найти собственные значения
Оператора чётности Iˆ x x
Проекционного оператора
fˆ 2 cfˆ , c c* 0

20.

Собственные значения оператора чётности
Iˆ x x
Уравнение на собственные значения
Iˆ I x I I x
Цепочка равенств
Iˆ2 I x I 2 I x 1 I x I 1

21.

Собственные значения проекционного оператора
fˆ 2 cfˆ
Уравнение на собственные значения
fˆ f x f f x
Цепочка равенств
fˆ 2 f x f 2 f x cf f x
f 0, c

22.

Коммутатор
Свойство ассоциативности
fgˆˆ fˆ gˆ
Определение коммутатора
ˆˆ gf
fˆ , gˆ fg
ˆˆ
Для вычисления коммутатора необходимо подействовать им (коммутатором)
на произвольную функцию. Задача: вычислить коммутатор
d
dx , x ?

23.

Решение
d x
d
d
,
x
x
x
x
x
x
dx dx
dx
Так как функция произвольная, то искомый коммутатор записывают
в следующем виде
d
dx , x 1
Задачи. Вычислить коммутаторы
d2
d 2
ˆ
dx , x ?, dx 2 , x ?, Ta , x ?

24.

Решение
d 2
d 2
d 2
2 d x
I . , x x x x x
2 x x , x 2 x
dx
dx
dx
dx
d 2 x
d x d 2
d2
d2
d
II . 2 , x x 2 x x x
2
,
x
2
dx 2
dx
dx 2
dx
dx
dx

25.

Решение
1 d n a n d n
d
Tˆa , x exp a , x a , x n , x
dx n 0 n! dx n 0 n! dx
dn
dx n , x ?
Полезное равенство
ˆ ˆ , Cˆ ABC
ˆ ˆ ˆ ACB
ˆ ˆ ˆ ACB
ˆ ˆ ˆ CAB
ˆ ˆ ˆ Aˆ Bˆ , Cˆ Aˆ , Cˆ Bˆ
AB
Итерационная процедура
d
1. , x 1
dx
d2
d
2. 2 , x 2
dx
dx
d3 d d2
3. 3 , x
, x ?
2
dx
dx
dx
d4 d d3
4. 4 , x
, x ?
3
dx dx dx

26.

Итерационная процедура. Продолжение
d3 d d2 d d2 d d2
d2
3. 3 , x
, x 2 , x
, x 2 3 2
2
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
d4 d d3 d d3 d d3
d3
4. 4 , x
, x 3 , x
, x 3 4 3
3
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
Коммутатор
dn
d n 1
dx n , x n dx n 1
Таким образом
n
n
a
d
Tˆa , x n , x ?
n 0 n! dx

27.

Ответ
n
n
n
n 1
a
d
na
d
1 d
Tˆa , x n , x
a
a
n 1
n 0 n! dx
n 1 ( n 1)! dx
n 0 n! dx
n 1
a Tˆa

28.

Задача
В предположении о том, что выполняется условие
Aˆ , Aˆ , Bˆ Bˆ , Aˆ , Bˆ 0
доказать равенство
e
Aˆ Bˆ
Aˆ
Bˆ
e e e
[ Aˆ , Bˆ ]/ 2

29.

Решение (Глаубер)
Введём операторную функцию
f e e
Aˆ
Bˆ
Производная
df
d
Aˆ Bˆ
Aˆ ˆ Bˆ
Aˆ ˆ Aˆ
ˆ
ˆ
Ae e e B e A e B e
f
Вычислить
Bˆ ,e Aˆ e Aˆ , Bˆ ?

30.

Из предыдущей задачи
dn
d n 1
d
dx , x 1, dx n , x n dx n 1
Вводим новые обозначения
d
d
Aˆ , Bˆ x, , x 1 Aˆ , Aˆ , Bˆ Bˆ , Aˆ , Bˆ 0
dx
dx
Тогда
dn
d n 1
ˆn ˆ
ˆ n 1 ˆ ˆ
dx n , x n dx n 1 1 A , B nA A, B
Вычислить
e Aˆ , Bˆ ?

31.

Промежуточные вычисления
e
Aˆ
n
n
n 1
(
)
n
(
)
1
n
n
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A , B
,B
A
n 0 n! A A, B A, B
n 0 n !
n 1 ( n 1)!
Результат
e Aˆ , Bˆ e Aˆ Aˆ , Bˆ

32.

Возвращаемся к дифференциальному уравнению
df
d
Aˆ ˆ Aˆ
ˆ
A e Be
f
f ?

33.

Из коммутатора
Aˆ
Aˆ ˆ
Aˆ
ˆ
B e e B e Aˆ , Bˆ
Подставим в уравнение
df
d
Aˆ Bˆ Aˆ , Bˆ f
Промежуточный результат
f C e
Aˆ Bˆ 2 Aˆ , Bˆ / 2
C ?

34.

Окончательный результат
f 1 e e e
Aˆ
Bˆ
Aˆ Bˆ Aˆ , Bˆ / 2

35.

Задача для самостоятельного решения. Найти оператор, транспонированный к
T
d
2
2
2
?,
r
x
y
z
dr
Решение
d
d
r
dr
r
,
r
,
0
dr
2
*
d 2 *
*
2
d
r
r
,
r
r
,
d
r
dr
r
,
r,
0 dr r
0
Условие квадратичной интегрируемости функций
d r r , r r , 0
*
0
Ответ
T
d
d 2
dr
dr r

36.

Задача для самостоятельного решения
Найти оператор, эрмитово сопряжённый произведению двух эрмитовых операторов
fˆ † fˆ , gˆ † gˆ ,
?
ˆˆ
fg
†
Решение
Операция транспонирования
*
ˆ gˆ x dx fˆ T * x gˆ x dx gˆ T fˆ T * x x
dx
x
f
fˆ gˆ
Или
T
gˆ T fˆ T
Операция комплексного сопряжения
fˆ gˆ
T
gˆ T fˆ T gˆ † fˆ †
fˆ gˆ
†
gˆ † fˆ † gˆ fˆ fˆ gˆ