Невозможно отобразить презентацию
ФизикаПохожие презентации:
Лекция 14. Вычисление межплоскостных расстояний. Вычисление углов между плоскостями
Лекция 14 Темы лекции: 1.Вычисление межплоскостных расстояний.
2.Вычисление углов между плоскостями.
Лекция 14 Слайд 1 Вычисление межплоскостных расстояний При реализации различных экспериментальных методов необходимо уметь рассчитывать межплоскостное рассто- яниеdhkl – расстояние между двумя соседними плоскостями семейства атомных плоскостей , заданных индексами Миллера ( hkl).
Прежде чем получить расчетные формулы, обратим внимание на следующие моменты, которые помогут при расчете.
Лекция 14 Слайд 2 Исходя из определения индексов Миллера плоскости, данного в предыдущем параграфе, следует, что атомная плоскость (hkl ) является ближайшей к узлу решетки, который выбран за начало координат в КГСК, из семейства атомных плоскостей {hkl}.
Через узел, выбранный за начало координат, можно провести атомную плоскость, параллельную плоскости(hkl ), и эти две плоскости будут соседними.
Отсюда вытекает следующий простой способ вычисленияdhkl.
Лекция 14 Слайд 3 ПустьN0 – единичный вектор , определяющий положение нормали к плоскости (hkl ).
Эта плоскость пересекает порождающий вектор решетки, напримера1 , в точке, определяемой векторома1/h .
Поэтому,d=N0·(a1/h ).
Аналогично получаемd=N0·(a2/k ) иd=N0·(a3/l).da1/hN0(hkl) [[000]] Лекция 14 Слайд 4 Таким образом имеем систему векторных уравнений Из векторной алгебры известно, что решение такой системы относительно вектора N0 есть гдеV – объем элементарной ячейки, построенной на векторах а1,а2 и а3.=dldkdh302010aNaNaN [][][][]VdlVdkVdhdldkdh213232121320aN+=+= Лекция 14 Слайд 5 Отсюда, с учетом того, что N0 – единичный вектор, получаем выражение для вычисления 1/dhkl (именно эта величина нам будет необходима в дальнейшем).
Используя тождество Лагранжа [ab]⋅ [cd] = (a⋅ c)(b⋅ d) – (b⋅ c)(a⋅d) [][][][][][]Vklhlhklkhdhkl/2/12/121321321321212131323232⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=a Лекция 14 Слайд 6 получаем если элементарная ячейка задана своими параметрами, то()[]()[]()[] ()()()[] ()()()[]Vklhlhklkhdhkl/2/12/12321213132312123132121231212323232⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−+⋅−+⋅−=a()Vbcklac hlab hkabcbalcakcbhdhkl/] cosα cosβosβc2βcosγcosαcos2γcosβcosαcos2γsinβsinαsin[/12/12−+−+−+= Лекция 14 Слайд 7 Используя выражение дляV , получаем или()αcosγcosβcos2βcosγcosαcos2γcosβcosαcos2γsinβsinαsinω12−+−+−+=bcklachlabhkclbkahdhkl()αcosγcosβcos2βcosγcosαcos2γcosβcosαcos2γsinβsinαsinω2−+−+−+=bcklachlabhkclbkahdhkl Лекция 14 Слайд 8 Например, для ПК-решетки ( a = b = c;α =β =γ = 90o;ω = 1) .
Из этого выражения видно, что максимально возможное значение межплоскостного расстояния , равноеа , отвечает семейству атомных плоскостей {100}.2lkhadhkl+= Лекция 14 Слайд 9 Используя единичный вектор нормали к плоскости можно получить выражение для угла между плоскостями , заданными индексами Миллера (h1k1l1 ) и (h2k2l2).
Пусть межплоскостное расстояние для первого семейства естьd1, а для второгоd2.
Соответственно единичный вектор нормали к первой плоскостиN0(1) = (h1d1[a2a3] +k1d1[a3a1] +l1d1[a1a2])/V, а ко второйN0(2) = (h2d2[a2a3] +k2d2[a3a1] +l2d2[a1a2])/V.
Лекция 14 Слайд 10 Уголϕ между плоскостями есть угол между нормалями к этим плоскостям, поэтому так какN0(1) иN0(2) единичные вектора.())2(0)1(02)2(02)1(0)2(0)1(0 arccosN⋅=⋅=ϕ Лекция 14 Слайд 11 Подставив выражения для N0(1) и N0(2) , получим Квадрат векторных произведений .
Для вычисления скалярных векторных произведений опять воспользуемся тождеством Лагранжа.
()()⋅+⋅+⋅+=ϕ][][][][][][][][][1 arccos1321212121213212121321212121212121321212321212adlkdlkdlhdlhdkhdkhdldkdhV)(sin|][2jijijia∧= Лекция 14 Слайд 12 После соответствующих алгебраических преобразований, используя параметры элементарной ячейкиa,b,c,α,β,γ, получаемα−γβ+β−γα+γ−βα+γ+β+α=ϕ)cos (cos)cos (cossin arccos1212121212121212bclklkaclhlhabkhkhclbkahVdcba Лекция 14 Слайд 13 Так какV =abcω, где то окончательноγcosβcosαcos2γcosβcosαcos12+−=ωα−γβ+β−γα+γ−βα+γ+β+αω=ϕ)cos (cos)cos (cossin arccos121212121212121bclklkaclhlhabkhkhclbkahd Лекция 14 Слайд 14 Некоторые частные случаи ПК-решетка Простая тетрагональная решетка+=ϕ212121212121 arccoslkhlkhlkh+=ϕ212121212121 arccosclakhclakhclakh Лекция 14 Слайд 15 Простая моноклинная решеткаγ−+γ−+γ+−γ+=ϕcos2cos2cossin
2.Вычисление углов между плоскостями.
Лекция 14 Слайд 1 Вычисление межплоскостных расстояний При реализации различных экспериментальных методов необходимо уметь рассчитывать межплоскостное рассто- яниеdhkl – расстояние между двумя соседними плоскостями семейства атомных плоскостей , заданных индексами Миллера ( hkl).
Прежде чем получить расчетные формулы, обратим внимание на следующие моменты, которые помогут при расчете.
Лекция 14 Слайд 2 Исходя из определения индексов Миллера плоскости, данного в предыдущем параграфе, следует, что атомная плоскость (hkl ) является ближайшей к узлу решетки, который выбран за начало координат в КГСК, из семейства атомных плоскостей {hkl}.
Через узел, выбранный за начало координат, можно провести атомную плоскость, параллельную плоскости(hkl ), и эти две плоскости будут соседними.
Отсюда вытекает следующий простой способ вычисленияdhkl.
Лекция 14 Слайд 3 ПустьN0 – единичный вектор , определяющий положение нормали к плоскости (hkl ).
Эта плоскость пересекает порождающий вектор решетки, напримера1 , в точке, определяемой векторома1/h .
Поэтому,d=N0·(a1/h ).
Аналогично получаемd=N0·(a2/k ) иd=N0·(a3/l).da1/hN0(hkl) [[000]] Лекция 14 Слайд 4 Таким образом имеем систему векторных уравнений Из векторной алгебры известно, что решение такой системы относительно вектора N0 есть гдеV – объем элементарной ячейки, построенной на векторах а1,а2 и а3.=dldkdh302010aNaNaN [][][][]VdlVdkVdhdldkdh213232121320aN+=+= Лекция 14 Слайд 5 Отсюда, с учетом того, что N0 – единичный вектор, получаем выражение для вычисления 1/dhkl (именно эта величина нам будет необходима в дальнейшем).
Используя тождество Лагранжа [ab]⋅ [cd] = (a⋅ c)(b⋅ d) – (b⋅ c)(a⋅d) [][][][][][]Vklhlhklkhdhkl/2/12/121321321321212131323232⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=a Лекция 14 Слайд 6 получаем если элементарная ячейка задана своими параметрами, то()[]()[]()[] ()()()[] ()()()[]Vklhlhklkhdhkl/2/12/12321213132312123132121231212323232⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−+⋅−+⋅−=a()Vbcklac hlab hkabcbalcakcbhdhkl/] cosα cosβosβc2βcosγcosαcos2γcosβcosαcos2γsinβsinαsin[/12/12−+−+−+= Лекция 14 Слайд 7 Используя выражение дляV , получаем или()αcosγcosβcos2βcosγcosαcos2γcosβcosαcos2γsinβsinαsinω12−+−+−+=bcklachlabhkclbkahdhkl()αcosγcosβcos2βcosγcosαcos2γcosβcosαcos2γsinβsinαsinω2−+−+−+=bcklachlabhkclbkahdhkl Лекция 14 Слайд 8 Например, для ПК-решетки ( a = b = c;α =β =γ = 90o;ω = 1) .
Из этого выражения видно, что максимально возможное значение межплоскостного расстояния , равноеа , отвечает семейству атомных плоскостей {100}.2lkhadhkl+= Лекция 14 Слайд 9 Используя единичный вектор нормали к плоскости можно получить выражение для угла между плоскостями , заданными индексами Миллера (h1k1l1 ) и (h2k2l2).
Пусть межплоскостное расстояние для первого семейства естьd1, а для второгоd2.
Соответственно единичный вектор нормали к первой плоскостиN0(1) = (h1d1[a2a3] +k1d1[a3a1] +l1d1[a1a2])/V, а ко второйN0(2) = (h2d2[a2a3] +k2d2[a3a1] +l2d2[a1a2])/V.
Лекция 14 Слайд 10 Уголϕ между плоскостями есть угол между нормалями к этим плоскостям, поэтому так какN0(1) иN0(2) единичные вектора.())2(0)1(02)2(02)1(0)2(0)1(0 arccosN⋅=⋅=ϕ Лекция 14 Слайд 11 Подставив выражения для N0(1) и N0(2) , получим Квадрат векторных произведений .
Для вычисления скалярных векторных произведений опять воспользуемся тождеством Лагранжа.
()()⋅+⋅+⋅+=ϕ][][][][][][][][][1 arccos1321212121213212121321212121212121321212321212adlkdlkdlhdlhdkhdkhdldkdhV)(sin|][2jijijia∧= Лекция 14 Слайд 12 После соответствующих алгебраических преобразований, используя параметры элементарной ячейкиa,b,c,α,β,γ, получаемα−γβ+β−γα+γ−βα+γ+β+α=ϕ)cos (cos)cos (cossin arccos1212121212121212bclklkaclhlhabkhkhclbkahVdcba Лекция 14 Слайд 13 Так какV =abcω, где то окончательноγcosβcosαcos2γcosβcosαcos12+−=ωα−γβ+β−γα+γ−βα+γ+β+αω=ϕ)cos (cos)cos (cossin arccos121212121212121bclklkaclhlhabkhkhclbkahd Лекция 14 Слайд 14 Некоторые частные случаи ПК-решетка Простая тетрагональная решетка+=ϕ212121212121 arccoslkhlkhlkh+=ϕ212121212121 arccosclakhclakhclakh Лекция 14 Слайд 15 Простая моноклинная решеткаγ−+γ−+γ+−γ+=ϕcos2cos2cossin