Основы электродинамики напрвляющих систем. Уравнения Максвелла

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Уравнения
МАКСВЕЛЛА

2.

Основные уравнения электромагнитного
поля, называемые уравнениями
Максвелла, обобщают
два основных закона электротехники:
закон полного тока и
закон электромагнитной индукции.

3.

Закон полного тока
устанавливает количественное
соотношение между напряженностью
магнитного поля H и током I
I j ( p )dS
Э
S
Э
H
(
p
)
dl
j
(
p
)
ndS
L
S

4. Первое уравнение Максвелла

• Согласно закону полного тока линейный
интеграл напряженности магнитного
поля по любому замкнутому контуру
равен полному току, протекающему
через поверхность, ограниченную этим
контуром. Полный ток складывается из
токов смещения и токов проводимости:
dl I I см I np
H
L

5.

Закон электромагнитной индукции
(закон Фарадея)
устанавливает соотношение между
напряженностью
электрического поля Е и магнитным потоком Ф
S
d
E ( p, t )dl
H
(
p
,
t
)
ndS
L
dt S

6. Второе уравнение Максвелла

• В соответствии с законом электромагнитной
индукции, открытым Фарадеем,
электродвижущая сила, возникающая в
контуре при изменении магнитного потока Ф,
пронизывающего поверхность,
ограниченную контуром, равна скорости
изменения этого потока со знаком минус:
dФ
dl
E
L
dt

7. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

• Эти уравнения часто используются для
решения практических задач
H
rot E
j H
t
a
E
rot H E a
E j a E
t
• К уравнениям Максвелла также относят еще
два вспомогательных уравнения:
divE /
divH 0

8. Основные уравнения электромагнитного поля для гармонических колебаний в комплексной форме

rot H E j a E
rot E j aH
где E – плотность тока проводимости (в
металлических массах);
- плотность тока смещения (в диэлектрике)
aE
j•

9. Уравнения Максвелла для «чистых» проводников

• При рассмотрении процессов в
проводниках током смещения можно
пренебречь и расчетные формулы
приобретут вид
rot H E
rot E j H
а

10. Распространение электромагнитного поля

j Э
rot H
H
rotE

11. Уравнения Максвелла для диэлектриков и световодов

• В диэлектрических направляющих системах
(диэлектрические волноводы, световоды), а
также в атмосфере преобладают токи смещения
и для их анализа пользуются следующими
уравнениями
rot H cm j a E
rot E j aH

12.

Волновые уравнения в векторной форме.
Уравнения Максвелла образуют систему
взаимосвязанных дифференциальных уравнений
первого порядка, решение которых с учетом
граничных условий в некотором случае весьма
затруднительно. Для преодоления указанных
трудностей переходят к более простой форме
записи уравнений. Для её получения применяют к
обеим частям уравнения операцию rot.
Отсюда получают:
rotrot H j a rot E
rotrot H j a ( i H )

13.

rotrot H j (-j H )
rotrot H ( H ) ( H ) H
2
rotrot H grad divH H
2
k c j c
divH 0
j ( j )
к – коэффициент распространения в среде (комплексная величина:
α – коэффициент затухания; β – коэффициент фазы)
H k H 0; E k E 0
2
2
2
2

14. Уравнения Максвелла в цилиндрической системе координат для проводников

Так как направляющие системы имеют
цилиндрическую конструкцию, то наиболее часто
записывают уравнения Максвелла в цилиндрической
системе координат (оси z, r, ), при этом ось z
совмещают с осью направляющей системы

15.

После дифференцирования Нr по и H по r и
подстановки полученных производных в предыдущие
уравнения получим

16. Компоненты электромагнитного поля в цилиндрической системе координат:

17. Составляющие вектора Пойнтинга:

18. Запас электромагнитной энергии в объеме V

19. Теорема Умова-Пойнтинга

Теорема Умова - Пойнтинга характеризует
баланс энергии электромагнитного поля.
Левая часть этого выражения характеризует
расход электромагнитной энергии за единицу
времени, правая часть показывает, на что
расходуется за единицу времени заключенная
в объеме энергия.

20. Вектор Умова-Пойнтинга

Количество энергии, распространяющейся в
единицу времени через единичную площадку,
перпендикулярную направлению потока энергии,
выражается векторной величиной называемой
вектором Умова-Пойнтинга
(чаще вектором Пойнтинга)