Теорема Эйлера и правильные многогранники. 10 класс

1. Теорема Эйлера и правильные многогранники

Автор: Макарова Татьяна Павловна,
учитель математики
ГБОУ средней общеобразовательной школы №618
г. Москвы
Предмет: геометрия
Контингент: 10 класс
Учебник: Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., С.Б. Кардомцев и
др. Геометрия: учебник для 10-11 кл. общеобр. учр.- М.:
Просвещение, 2012.

2.

Правильных многогранников вызывающе
мало, но этот весьма скромный по
численности отряд сумел пробраться в
самые
глубины
различных
наук
Л. Кэрролл

3. Цель:

• Изучить классификацию правильных
многогранников и их свойства
• Проанализировать связь геометрии,
теории чисел и алгебры
• Применять теорему Эйлера к решению
задач
• Развить представления о
многогранниках и мире

4.

Тетраэдр
Икосаэдр
Правильные многогранники
Гексаэдр
Октаэдр
Додекаэдр

5. Многогранники и научные фантазии ученых

• Правильные многогранники в
философской картине мира Платона
• Кубок Кеплера
• Икосаэдро–додекаэдровая
структура Земли

6.

Кубок Кеплера
Сфера орбиты Сатурна
Куб
Сфера орбиты Юпитера
Тетраэдр
Сфера орбиты Марса
Додекаэдр
Сфера орбиты Земли
Икосаэдр
Сфера орбиты Венеры
Октаэдр
Сфера орбиты Меркурия

7.

Исследовательская часть
Таблица 1
Число
Правильный
многогранни гране
вершин
к
й
рёбер
Тетраэдр
4
4
6
Куб
6
8
12
Октаэдр
8
6
12
Додекаэдр
12
20
30
Икосаэдр
20
12
30

8.

Таблица 2
Правильный
многогранник
Число
граней и
вершин (Г + В)
рёбер (Р)
Тетраэдр
4+4=8
6
Куб
6 + 8 = 14
12
Октаэдр
8 + 6 = 14
12
Додекаэдр
12 + 20 = 32
30
Икосаэдр
20 + 12 = 32
30

9.

Леонард Эйлер
(1701-1783)
Немецкий
математик и
физик
Формула Эйлера
(для правильных многогранников)
Г+В-Р=2

10.

Выпуклый
многогранник
называется
комбинаторно правильным, если все его грани имеют
одинаковое число сторон (m) и все его вершины
имеют одинаковую степень (n).
Будем считать, что Комбинаторно правильный
многогранник имеет тип (m, n), если каждая его
грань является m–угольником, а степень каждой
вершины равна n.
Зная, что m, n = или 3, или 4, или 5, отсюда
следует то, что может существовать девять
различных пар (m,n):
(3,3) (3,4) (3,5) (4,3) (4,4) (4,5) (5,3) (5,4) (5,5)

11.

Решая систему уравнений B – P + Г =2,
2P = mГ, 2P = nB относительно чисел B, P и Г,
получаем:
4m
B
2m 2n mn
2mn
P
2m 2n mn
4n
Г
2m 2n mn
Так как В,Г,Р >0 отсюда следует, что 2m+2nmn>0 или :
(m-2)(n-2)<4

12.

Из всех девяти пар чисел (m, n) неравенству
удовлетворяют только следующие пять:
(3, 3), (4, 3), (3, 4), (5, 3), (3, 5).
Таблица 4
Название многогранника
m n
B
P
Г
Тетраэдр
3
3
4
6
4
Гексаэдр
4
3
8 12 6
Октаэдр
3
4
6 12 8
Додекаэдр
5
3 20 30 12
Икосаэдр
3
5 12 30 20

13.

Применение теоремы Эйлера
при решении задач
Задача 1. Футбольный
мяч шьется из кусков кожи
двух типов: пятиугольных и шестиугольных (которые, кроме
формы, отличаются еще и цветом). Можно ли сшить мяч из
одних только шестиугольных кусков?
Решение:
Мяч можно рассматривать как сферу, разбитую на
сферические грани — многоугольники. При этом выполнены
соотношения : B – P + Г = 2; Г = Г3 + Г4 + Г5 + ... ;
B = B3 + B4 + ... Bm ; 2P = 3B3 + 4B4 + 5B5 + ... ;
2P = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + ...
и все следствия из них, в частности, неравенство:
3Г3 + 2Г4 + Г5 ≥ 12.

14.

Из него заключаем, что мяч нельзя сшить только из
шестиугольных кусков.
Ответ: нет, нельзя.
Задача 2.
Если все грани многогранника –
треугольники, то число граней четное. Кроме того, в
этом случае P = 3B – 6, Г = 2B – 4.
Решение:
Из
условия
и
из
равенства
2P = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + ... имеем 2P = 3Г, откуда
следует первое утверждение. Исключая из равенств
B – P + Г = 2 и 2P = 3Г сначала Г, затем P, получим
требуемые равенства:
P = 3B – 6, Г = 2B – 4.
задачи

15. Основные свойства

• Двойственность
• Наличие 3 сфер: вписанной, описанной и
касающейся всех ребер правильного многогранника

16. Практическая часть

Расчет объема додекаэдра
Объем додекаэдра равен:
1
1
V S полн r 12 S 5 r 4 S 5 r
3
3
Где S5 – площадь правильного пятиугольника
2
5a
S5
4tg 36

17.

Найдем значение tg 36° в радианах:
tg 36 5 2 5 .
Подставив это значение, получим значение для S5:
S5
5a
2
4 5 2 5

18.

Найдем r :
Изобразим фрагмент додекаэдра:
биссектор угла с ребром А1А2
перпендикулярен плоскости (О1О2О),
О1ВО2 — линейный угол двугранного
угла с ребром А1А2, ВО — его
биссектриса.
ОО1= ОО2=r, ВО1= ВО2=r0, где r0 — радиус окружности,
вписанной в грань. Тогда
r r0 tg
2
очевидно (из треугольника О1ОВ).

19.

Найдем 2 :
А1А2 — диагональ грани, А1М А3А4,
А2М А3А4. А1МА2 = — искомый,
А1М — расстояние от вершины А1 до
стороны А3А4. М1 — середина А1А2 и так
как
треугольник
А1МА2
—
равнобедренный, то
А1ММ1 =
2
Но d = 2a cos36° ,то есть
A1M1=d/2=a cos36°=a(1+√5)/4.
Из прямоугольного треугольника А1МА3 имеем А1М =
А1А3 sin72°.

20.

То есть:
1 5
A1 M a
10 2 5
8
Из прямоугольного треугольника А1ММ1:
A1M 1
2
sin
2
A1M
10 2 5
Найдем cos
2
:
Осталось найти
cos
tg
tg
2
2
10 2 5
:
2
5 1
sin
cos
2
2
5 1
2

21.

В итоге:
a
a 5 1
r
tg
2tg36
2 4 5 2 5
Окончательно:
a 15 7 5
V
.
4
3
Ответ:
V=a3(15+7√5)/4

22.

Таблица 5
Многогранни
к
Объем
Площадь
поверхности
Тетраэдр
V= (a³√2)/12
S= a²√3
Куб
V= a³
S= 6a²
Октаэдр
V= (a³√2)/3
S= 2a²√3
V=
a³(15+7√5)/4
V=
5a³(3+√5)/12
S=
3a²√5(5+2√5)
Додекаэдр
Икосаэдр
S= 5a²√3

23. Многогранники и живая природа

Феодария
Скелет
этих
одноклеточных
организмов по форме напоминает
икосаэдр. Такая форма помогает
феодариям преодолевать давление
водной толщи.

24. Итоги работы

• Невозможность существования иных
правильных выпуклых многогранников
• Систематизированы свойства
правильных многогранников
• Топология – теорема Эйлера –
геометрия
• Применение при решении задач
• Неживая природа – правильные
многогранники – живая природа

25. Используемая литература

• 1. Смирнова И.М. В мире многогранников. -М,
2010.
• 2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., С.Б.
Кардомцев и др. Геометрия: учебник для 1011 кл. общеобр. учр.- М.: Просвещение, 2012.
• 3. http://virlib-old.eunnet/
• 4. http://school.techno.ru
• 5. http://tmn.fio.ru

26. Спасибо за внимание!