Посторонние корни при решении уравнений

1. Посторонние корни при решении уравнений

11 класс

2. Преобразования, приводящие к появлению посторонних корней

1. При умножении обеих частей уравнения
на выражение, содержащее неизвестные
2.При возведении в чётную степень
3.При использование различных
логарифмических формул, в частности заменяя
, расширяется ОДЗ уравнения
выражением
4.При взаимном уничтожении подобных членов, может произойти
снятие ограничений, при которых уничтожаемые слагаемые должны
иметь смысл, и тем самым может произойти расширение ОДЗ.
5.При решении иррациональных уравнений
Все эти преобразования приводят к образованию новых
корней, которые можно отбросить с помощью проверки или
следить, чтобы равносильность не нарушалась.

3. Появление посторонних корней

1. При умножении обеих частей уравнения
на выражение, содержащее неизвестные,
которое может обращаться в нуль
Пример1. х-1=2
х=3
(х-1)(х-1)=2(х-1)
(х-1)(х-1)-2(х-1)=0
(х-1)(х-1-2)=0
Чем является второе уравнение (х-1)(х-3)=0
для первого и почему?
х-1=0 или х-3=0
х=1 или х=3
Можно ли ставить знак
х=1- посторонний корень
равносильности?
Равносильные ли уравнения?

4. Появление посторонних корней

2. При освобождение от знаменателя в
дробно-рациональных уравнениях
Неверное решение:
Верное решение:
х=1
х=0 или х=1
х=0- посторонний корень

5. Появление посторонних корней

3.При возведении в чётную степень
Пример3. 2х-3=5
Неверное решение:
Верное решение:
2х-3=5
х=-1 или х= 4
х=-1- посторонний корень
2х=5+3
х=4

6. Появление посторонних корней

4. Использование различных
логарифмических формул приводит к
расширению ОДЗ уравнения:
=
=
При потенцировании: т.е. при переходе от
к выражению: f(x)=g(x)
При логарифмировании показательных уравнений

7. Решите уравнение

8. Появление посторонних корней

5. При решении иррациональных уравнений
Неверное решение:
Верное решение:
2х-3=х-2
х=1
х=1- посторонний корень

9. Появление посторонних корней

4.При взаимном уничтожении подобных
членов, может произойти снятие
ограничений, при которых уничтожаемые
слагаемые должны иметь смысл, и тем
самым может произойти расширение ОДЗ.

10. Потеря корней

1. Сокращение обеих частей уравнения на одно и то
же выражение, содержащее переменную
2х(х-1)=5(х-1)
2. Сужение ОДЗ в процессе решения уравнения