Производные высших порядков

1.

До сих пор мы рассматривали производные
функций первого порядка.
Первая производная функции
f (x)
сама является функцией, которая может иметь
производную.

2.

Производной n –го порядка называется
производная от производной n-1 –го порядка.
Обозначается:
f ( x)
f ( x)
(4)
f ( x)
(n)
f ( x)
- производная второго порядка
- производная третьего порядка
- производная четвертого порядка
- производная n -го порядка

3.

Выясним
механический
смысл
второй
производной.
Если точка движется прямолинейно по закону
S=S(t), то
S (t0 )
- есть скорость изменения пути в момент
времени t0.
Следовательно, вторая производная по времени
S (t0 ) S (t0 ) v (t0 )
- есть скорость изменения скорости, или
ускорение, в момент времени t0.

4.

ПРИМЕР.
Найти вторую производную
функции
y x e
2
y x e
2
3 x
2x e
3 x
3 x
x 3e e (2x 3x )
2
3 x
3 x
2

5.

y e (2 x 3x )
3 x
2
3e (2x 3x ) e (2 6x)
3 x
2
3 x
e ( 6x 9x 2 6x) e (9x 2 12 x)
3 x
2
3 x
2

6.

Рассмотрим
три
важнейшие
теоремы
дифференциального исчисления:
теорему Ферма,
теорему Ролля и теорему
Лагранжа.

7.

Если дифференцируемая на промежутке
Х функция y=f(x) достигает
наибольшего или наименьшего
значения во внутренней точке х0 этого
промежутка, то производная функции
в этой точке равна 0:
f ( x0 ) 0

8.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на
промежутке Х и в точке
x0 X
принимает наименьшее значение.
Тогда
f ( x0 x ) f ( x0 )
если
x0 x X

9.

Величина
y f ( x0 x) f ( x0 ) 0
Следовательно
y
0
x
при
x 0
y
0
x
при
x 0

10.

Переходим в этих неравенствах соответственно
к пределу справа и слева:
y
lim
0
x 0
x
и
y
lim
0
x 0
x
По условию функция y=f(x) дифференцируема в
точке х0, следовательно ее предел при x 0
не должен зависеть от способа стремления Δх к
нулю, т.е.
y
y
lim
lim
0
x 0
x x 0 x
f ( x0 ) 0

11.

В точке наибольшего или наименьшего
значения, достигаемого внутри промежутка
Х, касательная к графику функции
параллельна оси Х.

12.

y
y f (x)
x0
x

13.

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет
следующим условиям:
1. Непрерывна на отрезке [a,b].
2. Дифференцируема на интервале (a,b).
3. На концах отрезка принимает равные
значения: f(a)=f(b).

14.

Тогда внутри отрезка существует по
крайней мере одна такая точка ξ, в
которой производная функции равна
нулю:
f ( ) 0

15.

На основании теоремы Вейерштрасса, функция,
непрерывная на отрезке, достигает на нем
своего наибольшего М и наименьшего m
значений.
Если оба этих значения достигаются на концах
отрезка,то они по условию равны: М= m, а это
значит, что функция постоянна на [a,b]. Тогда
f ( x) 0
во всех точках этого отрезка.

16.

Если же хотя бы одно из этих значений
(минимальное
или
максимальное),
достигается внутри отрезка, то по доказанной
ранее теореме Ферма, производная функции в
этой точке равна нулю.
f ( x) 0

17.

Найдется хотя бы одна точка, в которой
касательная к графику функции
параллельна оси Х, в этой точке
производная функции будет равна нулю.

18.

y
y f (x)
a 1
2
x
b

19.

Если же хотя бы одно условие теоремы Ролля
нарушено, то заключение теоремы может
быть неверным.
Например:
1
Отсутствует непрерывность на [a,b].

20.

y f (x)
y
f (a)
f (b)
a
b
x

21.

2
Отсутствует дифференцируемость на (a,b).

22.

y f (x)
y
f (a)
f (b)
a
b
x

23.

3
f (a) f (b)

24.

y
y f (x)
f (b)
f (a)
a
b
x

25.

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет
следующим условиям:
1. Непрерывна на отрезке [a,b].
2. Дифференцируема на интервале (a,b).

26.

Тогда внутри отрезка существует по
крайней мере одна такая точка ξ, в
которой производная функции равна
частному от деления приращения
функции на приращение аргумента на
этом отрезке:
f (b) f (a)
f ( )
b a

27.

Введем новую функцию g(x):
f (b) f (a)
g ( x) f ( x)
( x a)
b a
Эта функция удовлетворяет всем условиям
теоремы Ролля:
Она непрерывна на [a,b], дифференцируема на
(a,b) и на концах отрезка принимает равные
значения:

28.

f (b) f (a)
g (b) f (b)
(b a)
b a
g (b) f (b) f (b) f (a) f (a)
f (b) f (a)
g (a) f (a)
(a a)
b a
0
g (a) f (a)

29.

g (a) g (b)
Следовательно, по
точка
теореме Ролля существует
(a, b)
такая, что
g ( ) 0
или
f (b) f (a)
g ( ) f ( )
( a) 0
b a

30.

f (b) f (a)
g ( ) f ( )
0
b a
отсюда
f (b) f (a)
f ( )
b a

31.

Эту теорему часто записывают в виде:
f ( ) (b a) f (b) f (a)

32.

y
B
y f (x)
A
a
b
x

33.

Если перемещать прямую АВ
параллельно начальному положению,
то найдется хотя бы одна точка
(a, b)
в которой касательная к графику
функции y=f(x) и хорда АВ, проведенная
через концы дуги АВ будут
параллельны.

34.

Если производная функции y=f(x) равна 0
на некотором промежутке Х, то эта
функция постоянна на всем этом
промежутке.

35.

Возьмем на промежутке Х [a,х], тогда по теореме
Лагранжа
f ( ) ( x a) f ( x) f (a)
По условию теоремы
f ( ) 0
0 ( x a ) f ( x) f ( a )

36.

0 f ( x) f ( a )
То есть
f ( x) f ( a )