Лекция 15. Производные высших порядков

1.

Математика
Лекция 15

2.

Производные высших порядков
Производная у функции y=f(x) так же является функцией
аргумента х и называется производной первого порядка.
Если у =f (x) дифференцируема, то ее производная называется
производной второго порядка функции y и обозначается у .
d 2 y d dy
Другие обозначения: f ( x), 2 , .
dx dx dx
Производная от производной второго порядка (если она
существует) называется производной третьего порядка: у =(у ) .
И т.д.
Производной n-го порядка (или n-ой производной) называется
производная от производной (n 1) порядка: y(n)=(y(n-1)) .
Производные порядка выше первого называются производными
высших порядков.

3.

Начиная с производной 4-го порядка, производные обозначают
римскими числами или арабскими числами в скобках:
y IV , y (4)
yV , y (5)
Пример 1. Найти производную 10-го порядка для функций
y ex , y x ex.

4.

Производные высших порядков неявно заданной функции
Пусть функция y(x) задана неявно функции в виде уравнения
F(x, y)=0.
Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное
уравнение относительно у , получим производную первого
порядка.
Далее продифференцируем по х первую производную, получим
вторую производную неявной функции (в нее войдут х, у, у ).
Подставляя найденное значение у в выражение второй
производной, выражаем у через х и у.
Аналогично поступаем для нахождения остальных производных
высшего порядка.

5.

Пример 2. Найти y , если хy y 2 0.

6.

Производные высших порядков от функции, заданной
параметически
x x(t ),
Пусть функция задана параметрическими уравнениями
y y (t ).
yt
Первая производная определяется формулой y x .
xt
Находим вторую производную:
x ) t ytt xt yt xtt
(
y
y xx ( y x ) x ( y x ) t t x
.
3
xt
( xt )
ytt xt yt xtt
Таким образом, y xx
.
3
( xt )
Аналогично вычисляют производные 3, 4 и т.д. порядков.

7.

x cos t ,
Пример 3. Найти y xx , если
y sin t.

8.

Основные теоремы дифференциального исчисления.
Правило Лопиталя
Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и
прикладное значение. В их формулировке фигурирует некоторая
«средняя» точка, поэтому иногда их называют теоремами о
среднем.
Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b],
дифференцируема на интервале (a, b) и на концах отрезка
принимает одинаковые значения f(a)=f(b). Тогда найдется хотя
бы одна точка с (a, b), в которой производная равна нулю, т.е.
f (с)=0.

9.

Геометрический смысл теоремы Ролля
Если выполнены условия теоремы,
то на графике функции y=f(x)
найдется хотя бы одна точка,
в которой касательная
к графику функции
параллельна оси Ox.

10.

Теорема Коши. Пусть функции f(x) и g(х) непрерывны на отрезке
[a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), причем
х (a, b) g (х) 0. Тогда найдется хотя бы одна точка с (a, b)
f (b) f (a) f (c)
.
такая, что
g (b) g (a) g (c)
Теорема Лагранжа. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке
[a, b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда найдется хотя
бы одна точка с (a, b) такая, что f (b) f (a) f (c)(b a). (*)
Формулу (*) называют формулой Лагранжа или формулой
конечных приращений.

11.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа
Если выполнены условия теоремы,
то на графике функции y=f(x)
найдется хотя бы одна точка,
в которой касательная к кривой
параллельна секущей AB
(f(a)=A, f(b)=B).
Следствие 1. Если производная функции равна нулю на некотором
промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.
Следствие 2. Если две функции имеют равные производные на
некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на
постоянное слагаемое.

12.

Пример. Доказать, что arcsin x arccos x , x [ 1, 1].
2

13.

Правило Лопиталя
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей
0
вида или (выводится с помощью теоремы Коши).
0
Теорема Лопиталя. Пусть функции f(x) и g(х) непрерывны и
дифференцируемы в окрестности точки х0 и g (х) 0. Тогда, в случае
0
неопределенности или предел отношения этих функций
0
при х х0 равен пределу отношения их производных, если
f ( x)
f ( x)
lim
.
последний предел существует: lim
x x0 g ( x )
x x0 g ( x )

14.

Замечания.
1. Теорема справедлива и в случае, когда х .
2. Если производные f (x) и g (х) удовлетворяют тем же условиям,
что и функции f(x) и g(х), то теорему можно применить еще раз.
Пример. Вычислить предел, используя правило Лопиталя:
lim x 2 e 2 x
x

15.

Формула Тейлора
Рассмотрим функцию y=f(x). Формула Тейлора позволяет
приближенно представить функцию f(x) в виде многочлена и дать
оценку погрешности этого приближения.
Теорема 1. Если функция f(x) определена в некоторой
окрестности точки х0 и имеет в ней производные до (n+1)-го
порядка включительно, то для любого х из этой окрестности
найдется точка с (х0, х) такая, что справедлива формула
f ( x0 )
f ( x0 )
f ( x0 )
( x x0 )
( x x0 ) 2
( x x0 )3 ...
1!
2!
3!
f ( n ) ( x0 )
f ( n 1) (c)
n
( x x0 )
( x x0 ) n 1 (1).
n!
(n 1)!
f ( x) f ( x0 )
Формула (1) называется формулой Тейлора для функции f(x).

16.

Эту формулу можно записать в виде f(x) = Pn(x) + Rn(x), где
(n)
f ( x0 )
f ( x0 )
f
( x0 )
Pn ( x) f ( x0 )
( x x0 )
( x x0 ) 2 ...
( x x0 ) n
1!
2!
n!
( n 1)
f
(c )
( x x0 ) n 1
называется многочленом Тейлора, а Rn ( x)
(n 1)!
называется остаточным членом формулы Тейлора, записанным в
форме Лагранжа.
Rn(x) определяет погрешность приближенного равенства
f(x) Pn(x).

17.

Теорема 2 (об остаточном члене в форме Пеано).
Пусть функция f(x) n раз дифференцируема в окрестности
точки х0. Тогда остаточный член формулы Тейлора имеет вид:
Rn(x) = о((х х0)n) при х х0
и называется остаточным членом в форме Пеано.
о((х х0)n) бесконечно малая более высокого порядка, чем
((х х0)n.

18.

При х0=0 получаем частный случай формулы Тейлора –
формулу Маклорена:
f (0)
f (0) 2
f ( n ) (0) n f ( n 1) (c) n 1
f ( x) f (0)
x
x ...
x
x
1!
2!
n!
( n 1)!
где с находится между 0 и х.
Пример. Вычислить число е с точностью 0,01.
(2),

19.

Запишем формулу Маклорена для некоторых элементарных
функций
2
3
n
c n 1
x
x
x
x
e
x
e x 1 ... Rn ( x), Rn ( x)
o( x n );
1! 2! 3!
n!
( n 1)!
x3 x5
( 1) n 1 x 2 n 1
( 1) n x 2 n 1 cos c
sin x x ...
R2 n 1 ( x), R2 n 1 ( x)
o( x 2 n 1 );
3! 5!
(2n 1)!
(2n 1)!
x2 x4
( 1) n x 2 n
( 1) n 1 x 2 n 2 cos c
cos x 1 ...
R2 n ( x), R2 n ( x)
o( x 2 n );
2! 4!
(2n)!
(2n 2)!
x 2 x3
( 1) n 1 x n
( 1) n x n 1
n
ln(1 x) x ...
Rn ( x), Rn ( x)
o
(
x
);
n 1
2 3
n
(n 1)(1 c)
2
n
kx
k
(
k
1)
x
k
(
k
1)...(
k
n
1)
x
(1 x) k 1
...
Rn ( x),
1!
2!
n!
k (k 1)...(k n)(1 c) k n 1 x n 1
Rn ( x)
o( x n ).
(n 1)!

20.

В некоторых случаях формулу Тейлора (Маклорена) удобно
использовать для вычисления пределов, при этом остаточный
член Rn(x) записывают в форме Пеано.
Свойства о-малых при х х0
o( х n )
1. lim
0;
n
x 0
x
2. о1(хn) о2(хn) = о(хn);
3. хm о(хn) = о(хn+m);
o( х n )
n m
4.
o
(
x
) (n m);
m
x
5. (о(хn)) m = о(хn m).

21.

Пример. Вычислить предел, используя формулу Тейлора
cos x e
lim
x 0
x4
x2 2