Первообразная и интеграл

1. Первообразная и интеграл

ПЕРВООБРАЗНАЯ
И
ИНТЕГРАЛ

2. Первообразная

ПЕРВООБРАЗНАЯ
Функция F(x) называется
первообразной для функции f(x) на
данном промежутке, если для любого x
из этого промежутка F’(x) = f(x).
Пример:
Первообразной для функции f(x)=x на всей
числовой оси является F(x)=x2/2, поскольку
(x2/2)’=x.

3. Основное свойство первообразных

ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПЕРВООБРАЗНЫХ
Если F(x) – первообразная функции f(x), то
и функция F(x)+C, где C – произвольная
постоянная, также является
первообразной функции f(x).
Геометрическая интерпретация
Графики всех
y
x
первообразных данной
функции f(x) получаются
из графика какой-либо
одной первообразной
параллельными
переносами вдоль оси y.

4. Неопределенный интеграл

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Совокупность всех первообразных данной
функции f(x) называется ее неопределенным
интегралом и обозначается f ( x)dx :
f ( x)dx F ( x) C
,
где C – произвольная постоянная.

5. Правила интегрирования

ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
cf ( x)dx c f ( x)dx, c const
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
1
f (ax b)dx F (ax b) C , a 0
a

6. Определенный интеграл

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
В декартовой прямоугольной
системе координат XOY фигура,
ограниченная осью OX,
прямыми x=a, x=b (a<b) и
графиком непрерывной
неотрицательной на отрезке
[a;b] функции y=f(x), называется
криволинейной трапецией

7. Определенный интеграл

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем
отрезок [a;b] на n равных частей. Проведем через
полученные точки прямые, параллельные оси OY.
Заданная криволинейная трапеция разобьется на n
частей. Площадь всей трапеции приближенно равна
сумме площадей столбиков.
S n f ( x0 ) x0 f ( x1 ) x1 ... f ( xn 1 ) xn 1
S Sn
по определению S lim S n , его называют
n
определенным интегралом от функции
b
y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так:
f ( x)dx
a

8. Связь между определенным интегралом и первообразной (Формула Ньютона - Лейбница)

СВЯЗЬ МЕЖДУ ОПРЕДЕЛЕННЫМ
ИНТЕГРАЛОМ И ПЕРВООБРАЗНОЙ
(ФОРМУЛА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА)
Для непрерывной функции
b
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
b
a
a
где F(x) – первообразная функции f(x).

9. Основные свойства определенного интеграла

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
a
f ( x)dx 0
a
b
dx b a
a
b
a
a
f ( x)dx f ( x)dx
b

10. Основные свойства определенного интеграла

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
b
a
c
b
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
b
b
a
a
cf ( x)dx c f ( x)dx, c const
b
b
b
a
a
a
(
f
(
x
)
g
(
x
))
dx
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx

11. Геометрический смысл определенного интеграла

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной
положительной на промежутке [a;b] функции
f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:
b
S f ( x)dx
a

12. Физический смысл определенного интеграла

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
При прямолинейном движении перемещение
s численно равно площади криволинейной
трапеции под графиком зависимости
скорости v от времени t:
t2
S v(t )dt
t1

13. Геометрический смысл определенного интеграла

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной
отрицательной на промежутке [a;b] функции
f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:
b
S f ( x)dx
a

14. Геометрический смысл определенного интеграла

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Замечание: Если функция изменяет знак на
промежутке [a;b] , то
b
S1 S 2 f ( x)dx
a

15. Площадь плоской фигуры,

ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ,
Ограниченной графиками непрерывных
f ( x) g ( x)
функций y=f(x) и y=g(x) таких, что
для любого x из [a;b], где a и b – абсциссы
точек пересечения графиков функций:
b
S ( f ( x) g ( x)) dx
a

16. Объем тела,

ОБЪЕМ ТЕЛА,
полученного в результате вращения вокруг
оси x криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной и
неотрицательной функции y=f(x) на отрезке
[a;b]:
b
V f ( x)dx
2
a